量子統(tǒng)計力學(xué)經(jīng)典習(xí)題(大題)

1、一.簡述理想波色氣體波色愛因斯坦凝聚產(chǎn)生的原因及其特征。 解：產(chǎn)生的原因：理想玻色系統(tǒng)最突出的特征是粒子間存在統(tǒng)計吸引，因此玻色粒子傾向于具有相同的量子數(shù)。對一個粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)，這一性質(zhì)導(dǎo)致出現(xiàn)玻色愛因斯坦凝聚。玻色子具有整體特性，在低溫時集聚到能量最低的同一量子態(tài)(基態(tài))；而費米子具有互相排斥的特性，它們不能占據(jù)同一量子態(tài)，因此其它的費米子就得占據(jù)能量較高的量子態(tài)，原子中的電子就是典型的費米子。在1924年玻色和愛因斯坦就從理論上預(yù)言存在另外的一種物質(zhì)狀態(tài)玻色愛因斯坦冷凝態(tài)，即當(dāng)溫度足夠低、原子的運動速度足夠慢時，它們將集聚到能量最低的同一量子態(tài)。此時，所有的原子就象一個原子一樣，具有完全

2、相同的物理性質(zhì)。根據(jù)量子力學(xué)中的德布洛意關(guān)系，db=h/p。粒子的運動速度越慢（溫度越低），其物質(zhì)波的波長就越長。當(dāng)溫度足夠低時，原子的德布洛意波長與原子之間的距離在同一量級上，此時，物質(zhì)波之間通過相互作用而達到完全相同的狀態(tài)，其性質(zhì)由一個原子的波函數(shù)即可描述； 當(dāng)溫度為絕對零度時，熱運動現(xiàn)象就消失了，原子處于理想的玻色愛因斯坦凝聚態(tài) 特征：玻色愛因斯坦凝聚是粒子凝聚到k=0的狀態(tài)，本質(zhì)上是粒子在動量空間的凝聚，而不是坐標(biāo)空間的凝聚，實質(zhì)上是一級相變，具有一級相變的特征。這種凝聚來源于體系的量子力學(xué)效應(yīng)，即波函數(shù)的對稱性，它與粒子間是否存在相互作用無關(guān)。但是，玻色愛因斯坦凝聚只能出現(xiàn)在粒子數(shù)固

3、定的系統(tǒng)中，對于總粒子數(shù)N不等于常數(shù)的系統(tǒng)，不可能出現(xiàn)這樣的凝聚。例如，光子聲子便是這樣的系統(tǒng)。二. （7.1）通過研究占有數(shù)的數(shù)量級，試證明：我們把級數(shù)（7.1.2）式中的有限的項數(shù)與的部分合并，或者把它們包括在對的積分之內(nèi)，這對（7.1.6）式右邊的各個部分都是無差別的。 解: 考察其中任一項 (和歸一化的分立譜) 為三項不同時為零的整數(shù)的平方和又 當(dāng) 時,即: (從數(shù)量級來看加上后無影響又考慮的積分形式, 從數(shù)量級看: 加上后無影響.三、（8.1）設(shè)用虛線表示在低溫下的費米分布，如圖8.11所示，該虛線在處與實際曲線相切。試證明：除了有關(guān)的數(shù)值因子變成4/3而不是之外，這個近似表示會給出

4、費米氣體低溫比熱的“正確”結(jié)果。解:設(shè)狀態(tài)密度為常數(shù),則,分析低溫下,用斜線代曲線所得的與下的的差別,可圖解性的得出 與前面結(jié)果有因子,的差別四.寫出經(jīng)典集團展開法中下圖5-集團基本單元的相應(yīng)的表達式。13245解：13245五量子集團展開法與經(jīng)典集團展開法所得的配分函數(shù)實質(zhì)上有何異同？解：要具體了解兩種展開的最后所的配分函數(shù)，我首先需要分別來推導(dǎo)兩種展開法： 從書本我們可以知道經(jīng)典集團展開法的系統(tǒng)配分函數(shù)可以寫為（中間進行了一些近似）： （1）對于粒子的動量部分的積分與經(jīng)典理想氣體的情況相同，積分后可以寫為： （2）其中是分子的平均熱波長，而且： （3）而（3）式子代表位形配分函數(shù)。而 （4

5、）從經(jīng)典的集團展開法中得到： （5）將（5）代入（4）式得： （6）最后得出系統(tǒng)的配分函數(shù)為： （7）上面講述的是經(jīng)典集團展開法所得到的配分函數(shù)，接下來從量子力學(xué)的角度來討論：量子力學(xué)的系統(tǒng)的哈密頓量為： （8） 系統(tǒng)的配分函數(shù)為； （9）其中各是系統(tǒng)的正交完備函數(shù)組，而則表示位置坐標(biāo).引入概率密度算符,他的矩陣元寫為： （10）這樣（9）式可以寫成： (11)而是量子集團展開法的位形配分函數(shù)，通過量子的集團展開法，我們可以得到 (12) 而集團積分的表達式為： （13）有（12）和（13）式可以得出配分函數(shù)： （14）六求伊辛模型中用長程序參量及短程序參量表示的哈密頓量H解：A.首先我們寫出

6、伊辛模型的哈密頓量：設(shè)有N個自旋，處于金格點位置上，每個自旋只能取向上或者向下兩個態(tài)，并且我們只考慮近鄰自旋之間的相互作用，這樣的自旋系統(tǒng)稱為伊辛模型，系統(tǒng)的哈密頓量為： （1）其中代表第i個格點位置的自旋,取值為+1或者-1,分別對應(yīng)于自旋向上或者向下。表示對一切可能的求和，J為與交換積分成正比的耦合常數(shù)。為了研究上述的模型，我們引入下列變量： ：向上的自旋數(shù) ：向下的自旋數(shù) ：向上的自旋的近鄰對數(shù) （2） ：向下的自旋近鄰對數(shù) ：向上的自旋與向下自旋的近鄰對數(shù)這五個變量滿足下面的關(guān)系式：, (3),由此可見， ， ， 這五個變量中只有兩個是獨立的。我們選和為獨立變量，則有下面的三個表達式：

7、， （4）。于是可以得出： (5) (6)將（5）和（6）帶入（1）中，可以得出： (7)為了進一步研究（7）式，我們來定義長程序參量 (8)如果 ,則 ；如果，則。這兩種情形都具有完全的長程序。從（8）可以得到下面的式子：。 （9） 于是 (10)這樣（7）可以寫成 (11)接下來，我們定義一個短程序參量 (12)將（12）帶入（11）可以得出： (13)這樣（13）式就是用長程序參量和短程序參量表示的伊辛模型的系統(tǒng)哈密頓量。七單軸各向異性鐵磁體和普通的流體是否具有相同的臨界行為？為什么？解：首先來分析一下各向異性鐵磁體的臨界現(xiàn)象： 對于鐵磁系統(tǒng)而言，它們的四個熱力學(xué)函數(shù)在臨界點附近的臨界指

8、數(shù)，它們的定義是：序參量 （1）熱容 （2）磁化率 （3）態(tài)方程 （4）上述（1）（3）式是外場為零的情況下所的得到的臨界指數(shù)，而（4）式是t=0時的特殊情況。其中（1）（3）式的t都用絕對值，表示可能大于0，（從高溫接近臨界點）也可能小于0（從低溫接近臨界點），它表示不論系統(tǒng)從高溫還是低溫接近臨界點，臨界行為都相同，因為他是用同一臨界指數(shù)表示的。 下面來普通的流體（氣液）相變的臨界行為序參量 （靠近的汽液共存區(qū)） （5）熱容 （在的臨界密度處） （6）等溫壓縮率 （7）序參量 (8) 在（8）式中的P是之靠近臨界壓強的壓強值。通過分別求鐵磁相變和普通的相變，我們都是用了四個熱力學(xué)函數(shù)的臨界行為的臨界指數(shù)來描述兩種臨界行為的，所以說二者具有相同的臨界行為。在加上關(guān)聯(lián)函數(shù)和關(guān)聯(lián)長度的臨界指數(shù)和，所以可以從這六個指數(shù)算出理解指數(shù)，這也從實驗上證明了，二者具有相同的臨界行為。八.坐標(biāo)空間中的重正化群可以分為哪幾個步驟？解：在介紹步驟之前，我們來講述一下重正化群的基本思想：在臨界點，關(guān)聯(lián)長度接近無窮大。因此，體系應(yīng)具有尺度變換下的不變性。由此，不去直接計算配分函數(shù)，而是找尺度變換下的不變性，從而確