一元二次方程根與系數(shù)

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系說課稿教學(xué)內(nèi)容：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（人教版）九年級(jí)上冊(cè)第二十一章第三節(jié)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)計(jì)理念：根據(jù)教材內(nèi)容在教學(xué)中滲透高效課堂的思想，注重過程數(shù)學(xué)，注重創(chuàng)新教學(xué)，注重問題意識(shí)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)探索并獲取知識(shí)，教師是組織者、引導(dǎo)者、參與者。教材簡析：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后通過4個(gè)例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡

2、化一些計(jì)算的知識(shí)。例如，求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理（韋達(dá)是法國數(shù)學(xué)家）。根與系數(shù)的關(guān)系是初中代數(shù)中的一個(gè)重要定理。這是因?yàn)橥ㄟ^根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級(jí)階段，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題，如二次三項(xiàng)式的因式分解，解二元二次方程組；根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。通過近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出：根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來，形

3、成難度系數(shù)較大的壓軸題。通過根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。2、能力目標(biāo)：通過根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)過程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。3、情感目標(biāo)：通過情境教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)

4、數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)疑點(diǎn)及解決辦法：1、重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。2、難點(diǎn)：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語言表述，以及由一個(gè)已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)。3教學(xué)疑點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。4解決辦法:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，必須注意b2-4ac0這個(gè)前提條件，而應(yīng)用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)不為零。因此，解題時(shí)，要根據(jù)題目分析題中

5、有沒有隱含條件。教學(xué)對(duì)象分析：本課的教學(xué)對(duì)象是初中九年級(jí)學(xué)生，學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，所以，在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，如：教學(xué)課件，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們?cè)诂F(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。教學(xué)資源：多媒體課件教法與學(xué)法：（一）教法1、充分以學(xué)生為主體進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生多實(shí)踐，從實(shí)踐中反思過程，讓學(xué)生經(jīng)歷根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)生發(fā)展過程，并從中體驗(yàn)成功的樂趣。2、采用“實(shí)踐（練習(xí)）觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程教學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。3、分小組討論交流，多

6、渠道信息反饋。4、問題引探，啟發(fā)誘導(dǎo)，進(jìn)行創(chuàng)新教學(xué)。（二）學(xué)法指導(dǎo)1、引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。2、指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。3、指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。教學(xué)過程設(shè)計(jì)：（一）問題引探問題1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值決定什么？b2-4ac的取值呢？同學(xué)們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根還有其它關(guān)系？今天我們進(jìn)一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。板書課題：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問題2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計(jì)算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象

7、）？出示卡片問題3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-8=0并根據(jù)問題2和以上的求解填寫下表請(qǐng)觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？問題4.請(qǐng)根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：_。問題5.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并用文字語言敘述說明。分小組討論以上的問題，并作出推理證明。若方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根為x1=，x2=。則 x1+x2=+=；x1x2= 板書：如果ax2+bx+c=0（a0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。由此得出一元二次方程的根

8、與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學(xué)生用自己的語言表述這種關(guān)系，來加深理解和記憶。板書：問題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)）二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況；當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。設(shè)計(jì)意圖：1、本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。2、本設(shè)計(jì)

9、遵循由特殊到一般，從實(shí)踐到理論（即從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)）的認(rèn)知規(guī)律。3、本設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的反思過程，使學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化、格式化。（二）嘗試發(fā)展多媒體展示：試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2=_ x1x2=_（2）3x2+5x=0 x1+x2=_ x1x2=_（3）5x2+x-2=0 x1+x2=_ x1x2=_（4）5x2+kx-6=0 x1+x2=_ x1x2=_ （此試一試作為鞏固知識(shí)而用）嘗試題1、已知方程6x2+kx-5=0的一個(gè)根為-1，求它的另一個(gè)根及k的值。組織學(xué)生自己分析解決，然

10、后一學(xué)生板演，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。學(xué)生練習(xí)：P322。嘗試題2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個(gè)根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。討論：解上面問題的思路是什么？得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; .(將平方和、倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式)（三）拓展創(chuàng)新1、在嘗試2中能否求（x1x2）的值？2、已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且ab，能否求a+b與ab的值？設(shè)計(jì)意圖：1、“試一試”是引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性；（4）小題是起過渡作用設(shè)計(jì)。2、嘗試

11、題1、2讓學(xué)生討論完成或獨(dú)立完成，可以看書完成，其系數(shù)與例題有別。3、“拓展創(chuàng)新”中是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性教學(xué)設(shè)計(jì)，也是開放性教學(xué)，使有的學(xué)生的奇異思維得到發(fā)展。（四）師生共同歸納小結(jié)：本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a0時(shí)，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關(guān)代數(shù)式的值。（五）作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)：P33A 1、2 B 1（1）鞏固練習(xí)：已知等腰三角形的兩邊長a、b是方程x2-kx+12=0的兩個(gè)根，此三角形的

12、另一條邊c=4,求這個(gè)等腰三角形的周長。2、已知關(guān)于x的方程x22mx+ m2=0.其中x1、x2分別是一個(gè)等腰三角形的腰和底邊的長.（1）求證這個(gè)方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根差的絕對(duì)值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個(gè)等腰三角形的邊長。3、已知關(guān)于x的方程x23x-8=0的兩根分別是x1、x2，求：（1）x1- x2的值（2）x12+ x22的值板書設(shè)計(jì)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2+bx+c=0（a0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。問題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況；當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。教學(xué)設(shè)計(jì)思路說明：1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ)。2以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，