第八章 非線性預(yù)測(cè).ppt

1、第八章 非線性預(yù)測(cè),8.1 季節(jié)性波動(dòng)曲線預(yù)測(cè) 在實(shí)際中，許多商品，尤其是消費(fèi)品，都是隨著“季節(jié)”的變化而改變其市場(chǎng)的需求情況，如服裝、食品等。這就稱為季節(jié)性波動(dòng)。同樣的產(chǎn)品，在一個(gè)時(shí)期（往往是以年為時(shí)期）內(nèi)的銷售曲線是呈周期性變化的。這類曲線可以利用線性回歸來進(jìn)行建立預(yù)測(cè)模型。 一、收集原始數(shù)據(jù)（取樣本點(diǎn)） 1、取2n個(gè)樣本點(diǎn) 為了表現(xiàn)出周期性變化規(guī)律，一般要取兩個(gè)以上的周期樣本點(diǎn),例1：某企業(yè)將2003年、2004年各月份的產(chǎn)品銷售量統(tǒng)計(jì)如下表，試建立季節(jié)性預(yù)測(cè)模型，且預(yù)測(cè)2005年1、6、8月份的銷售量。 2003年： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 銷量 5

2、9.1 55 50.2 46.9 46.2 46.1 46.5 47.2 49.5 53.1 64.4 66.2 2004年： 月份 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 銷量 65.6 63.2 59.2 55.7 54.3 53.7 54 54.8 56.3 62.6 69.1 71.9,解：一、作圖 在直角平面系中作出抽樣點(diǎn)的離散圖，并且光滑地連成曲線。 銷售量 B A 時(shí)間 0 n/2 n 3n/2 取點(diǎn)后在直角平面上描點(diǎn),并光滑地連接成曲線(見上圖),二、確定長(zhǎng)期趨勢(shì)波動(dòng) 長(zhǎng)期趨勢(shì)波動(dòng)的確定一般有兩種方法： 1、兩點(diǎn)法 取兩點(diǎn)坐標(biāo)：A（第一個(gè)周期的中

3、點(diǎn)，前n個(gè)抽樣點(diǎn)的平均值） B（第二個(gè)周期的中點(diǎn)，后n個(gè)抽樣點(diǎn)的平均值） 根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，建立直線方程式： (1) 例1中，計(jì)算2003年的平均銷售量為： 2004年的平均銷售量為： 于是得到兩點(diǎn)：A（6，52.95） B(18，60.03) 利用兩點(diǎn)式求得直線方程為:,2、線性回歸法 利用已得到的個(gè)抽樣點(diǎn)進(jìn)行線性回歸，將得到回歸直線方程： (2) 例1中，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是24個(gè)，于是計(jì)算得到 ； ； ； 根據(jù)一元線性回歸公式計(jì)算得到 以及直線方程,得到長(zhǎng)期趨勢(shì)的直線方程之后（上述兩種方法中，無論用哪一種方法得到的均可以。這里我們不妨取 ），將 各代入模型計(jì)算值 ： 2003年： 月份 1

4、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 銷量 49.1 50.1 50.6 46.9 46.2 46.1 46.5 47.2 49.5 53.1 64.4 66.2 2004年： 月份 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 銷量 65.6 63.2 59.2 55.7 54.3 53.7 54 54.8 56.3 62.6 69.1 71.9 由上面計(jì)算出來的 是表明按照回歸方程 各點(diǎn)值，它隱去了曲線各周期內(nèi)的季節(jié)性變化情況。,四、確定季節(jié)性系數(shù) 計(jì)算公式： (3) （其中為抽樣點(diǎn)的值，為回歸趨勢(shì)值） 在例題中，我們?nèi)〉臉颖军c(diǎn)是兩個(gè)完全循環(huán)周期，因

5、而應(yīng)該將各周期中的相同月份的季節(jié)性系數(shù)進(jìn)行平均，取平均值作為預(yù)測(cè)模型的季節(jié)性系數(shù)： 月份xj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 03年 aj 1.19 1.10 0.99 0.91 0.89 0.88 0.88 0.88 0.91 1.06 1.16 1.18 04年 aj 1.16 1.10 1.02 0.95 0.92 0.90 0.90 0.90 0.92 1.01 1.18 1.14 均值 * 1.18 1.10 1.01 0.93 0.91 0.89 0.89 0.89 0.915 1.035 1.17 1.16,根據(jù)兩個(gè)周期的季節(jié)性系數(shù)相加后取平均值得到：,五、

6、建立季節(jié)性波動(dòng)預(yù)測(cè)模型,(4) 在例題中，我們得出,六、預(yù)測(cè) 在例題中，我們要預(yù)測(cè)2005年1月、6月、8月份的銷售量，故有： 2005年1月： 2005年6月： 2005年8月：,8.2 修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè),一、修正指數(shù)曲線 對(duì)于取得的一組樣本點(diǎn)序列 ,如果 分布成下面形狀，就可以用修正指數(shù)曲線模型擬合 1、修正指數(shù)曲線模型 修正指數(shù)曲線的表達(dá)式為： (5) 式中K,a,b，是三個(gè)參數(shù)，且a0， 0b1 2、修正指數(shù)曲線圖像 在 中,x代表時(shí)間（一般為年次）,(以原始資料中最初年份為0,依次遞增,y表示趨勢(shì)值, K,a,b為待定參數(shù),其圖形如下:,3、函數(shù)取值表 為了求出參數(shù)K,a,b,我們將

7、時(shí)間序列xj(j=1,2,m)按年次分為相等的三個(gè)部分（即：將抽樣點(diǎn)分為三個(gè)相等的部分）。 如果m不是3的倍數(shù)，則可以在各段接頭（首尾）處重復(fù)一年或兩年（一次或兩次）。 y k K+a 0 (修正指數(shù)函數(shù)) x,設(shè)抽樣點(diǎn)分段后每段有n個(gè)點(diǎn)（年），于是從第0年開始，根據(jù) 的表達(dá)式，列出表如下： 年份 xj 的值 yj-yj-1的值 0 K+a 1 K+ab a(b-1) 2 K+ab2 ab(b-1) 第一部分 3 K+ab3 ab2(b-1) . n-1 K+abn-1 abn-2(b-1),年份 xj的值 Y=+abxj的值 yj-yj-1的值 n K+abn abn-1(b-1) n+1

8、K+abn +1 abn(b-1) 第二部分 n+2 K+abn +2 abn+1(b-1) . 2n-1 K+ab2n -1 ab2n-2(b-1) 2n K+ab2n ab2n-1(b-1) 第三部分 2n+1 K+ab2n+1 ab2n(b-1) 2n+2 K+ab2n+2 ab2n+1(b-1) . 3n-1 K+ab3n-1 ab3n-2(b-1),二、修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型 1、我們記 表示第一個(gè)年觀測(cè)值之和； 表示第二個(gè)年觀測(cè)值之和； 表示第三個(gè)年觀測(cè)值之和,2、把上表中取值結(jié)果代入公式 于是得到： = = = = = =,3、推導(dǎo) = =,將上面兩式相除，有 得到： (6) 將(

9、6)代入 = 得到: (7) 再將(6)和(7)代入公式 S1= 便有: (8),三、修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)計(jì)算程序,1、取時(shí)間序列的樣本點(diǎn) ，并將樣本點(diǎn)按時(shí)間序列（按年或其它時(shí)間段）編號(hào)：0，1，2，,分為三個(gè)相等的部分，每個(gè)部分包含個(gè)樣本點(diǎn)。 若 ，則可在每部分的相接處重復(fù)1-2次。 2、計(jì)算參數(shù)K,a,b 3、寫出修正指數(shù)曲線回歸方程： 4、預(yù)測(cè)。,例2；某新產(chǎn)品的銷售資料如下表所示，試建立預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)2006年的銷售量。 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 銷售量 150 250 380 540 790 900 1100 年份 1999 2000

10、2001 2002 2003 2004 銷售量 1350 1600 1650 1700 1710 1720 解：因?yàn)闃颖军c(diǎn)的數(shù)目是13個(gè)，不是3的倍數(shù)，所以在分段時(shí)要重復(fù)用到有些樣本點(diǎn)，分段及編號(hào)如下表：, 年份 1992 1993 1994 1995 1996 銷售量 150 250 380 540 790 xj 0 1 2 3 4 年份 1996 1997 1998 1999 2000 銷售量 790 900 1100 1350 1600 xj 5 6 7 8 9 年份 2000 2001 2002 2003 2004 銷售量 1600 1650 1700 1710 1720 xj 10

11、11 12 13 14,計(jì)算數(shù)據(jù)（注意這里=5） =2110 =5740 =8380 回歸模型為 預(yù)測(cè) 因?yàn)?006年對(duì)應(yīng)于時(shí)間序列中的x=16，代入回歸方程得出： =1756.2,四、可化為修正指數(shù)曲線模型的其它曲線,1、邏輯曲線方程 (9) 作變換： ； 得出： 再作變換： ； ； ； 便得到邏輯 曲線預(yù)測(cè)模型： (10),2、戈鉑茲曲線方程 (11) 兩邊取對(duì)數(shù): 作變換: ； ； 便得出戈鉑茲曲線預(yù)測(cè)模型： (12) 戈鉑茲曲線又稱生長(zhǎng)曲線，反映了事物的生長(zhǎng)過程,如科學(xué)發(fā)展的過程正如此。 第二個(gè)生長(zhǎng)過程 第一個(gè)生長(zhǎng)過程,8.3一般可化為直線模型的曲線預(yù)測(cè),一、曲線預(yù)測(cè)一般程序和步驟 在

12、實(shí)際中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并不是線形關(guān)系，而是非線性關(guān)系，這時(shí)，就要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)（原始資料統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)），選配適當(dāng)?shù)那€來進(jìn)行回歸。在一些曲線的回歸過程中，是通過將曲線化為直線進(jìn)行回歸的。曲線模型的線性演化過程的程序如下： 第一步：收集原始資料，得出一組經(jīng)驗(yàn)點(diǎn) ； 第二步：在直角平面oxy坐標(biāo)系中作出經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)的離散圖； 第三步：分析離散圖，選擇適當(dāng)?shù)那€模型與之?dāng)M合；,第四步：將曲線模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之成為線性模型； 第五步：求出線形回歸方程；（得出參數(shù)值） 第六步：還原成曲線模型； 第七步：回歸（預(yù)測(cè)）。 例3：下表是某產(chǎn)品連續(xù)十年來的銷售情況，試建立回歸模型，并預(yù)測(cè)2006年的銷售量。

13、 年 份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 序 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 銷售量 5 12 20 29 40 50 63 74 86 96,解：先將觀察點(diǎn)繪成離散圖 這個(gè)圖形呈冪函數(shù)的形狀，因而選取 作為擬合曲線進(jìn)行回歸。 對(duì)于 兩邊取對(duì)數(shù)： 作變換： ； ； ； 便有直線模型 計(jì)算 = ， 列表如下：,樣本值xj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.3 0.48 0.6 0.7 0.780.84 0.9 0.95 1 樣本值 yj 5 12 20 29 40 50 63 74 86 96 0.7 1.08 1.3 1.46 1.6 1.7 1.8 1.87 1.931.98 ； ； ； 依線性回歸公式有：,得到線性回歸方程式： 查反對(duì)數(shù)表還原a,b： 故有： 于是，得到原問題的曲線回歸模型為： 預(yù)測(cè)，因?yàn)?006年對(duì)應(yīng)于序列數(shù)12，所以有：,二、常見幾類基本初等函數(shù)的表達(dá)式及圖像,1、冪函數(shù) 表達(dá)式： 步驟： （1）兩邊取對(duì)數(shù) （2）作變換 得出線性回歸模型： 由樣本點(diǎn) 計(jì)算出 ， 求出a*及b*，并查反對(duì)數(shù)表還原a及b，就可以得到冪函數(shù)回歸方程式：,2、指數(shù)函數(shù) 表達(dá)式： 步驟： （1）兩邊取對(duì)數(shù) （2）作變換 得出線性回歸模型： 由樣本點(diǎn) 計(jì)算出