11頁輔助線-初二三角形常見輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題

1、.數(shù)學(xué)專題 三角形中的常用輔助線課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實(shí)際問題的能力。三、考點(diǎn)分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一， 是今后學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)。 判斷三角形全等的公理有 sas、asa、aas、sss和 hl，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。典型例題人說幾何

2、很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一

3、”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。例 1：如圖， abc是等腰直角三角形， bac=90， bd平分 abc交 ac于點(diǎn)d，ce垂直于 bd，交 bd的延長(zhǎng)線于點(diǎn) e。求證： bd=2ce。.思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路 ：要求證 bd=2ce，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛衎d平分 abc的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程 ：證明：延長(zhǎng)ba ，ce 交于點(diǎn) f，在bef和bec中， 1= 2， be=be ， bef= bec=90 ， bef bec， ef=ec，從而 cf=2ce 。又 1+ f= 3+

4、 f=90，故 1= 3。在 abd 和 acf中， 1= 3， ab=ac ， bad= caf=90 ， abd acf， bd=cf ， bd=2ce 。解題后的思考： 等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例 2：如圖，已知abc 中， ad 是 bac 的平分線， ad 又是 bc 邊

5、上的中線。求證：abc是等腰三角形。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)。2）解題思路 ：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了 ad 又是 bc 邊上的中線這一條件，而且要求證 ab=ac ，可倍長(zhǎng) ad 得全等三角形，從而問題得證。解答過程：.證明：延長(zhǎng)ad 到 e，使 de=ad ，連接 be 。又因?yàn)?ad 是 bc 邊上的中線，bd=dc又 bde= cdabedcad，故 eb=ac ， e= 2， ad 是 bac 的平分線 1= 2， 1= e ，ab=eb，從而 ab=ac，即ab

6、c是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線， 常加倍延長(zhǎng)此線段， 再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例 3：已知，如圖， ac平分 bad， cd=cb，abad。求證： b+adc=180。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路 ：因?yàn)?ac是 bad的平分線，所以可過點(diǎn) c作 bad的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程 ：證明：作 ceab于 e，cf ad于 f。a

7、c平分 bad，ce=cf。在 rt cbe和 rt cdf中，ce=cf， cb=cd，. rt cbertcdf， b=cdf， cdf+adc=180， b+adc=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例 4：如圖，abc中，ab=ac， e 是 ab上一點(diǎn)， f 是 ac延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連ef交 bc于 d，若 eb=cf。求證： de=df。思路分析 ：1）題意分析 ： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路 ：因?yàn)?de

8、 、df 所在的兩個(gè)三角形deb與dfc不可能全等，又知 eb=cf ，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過e 作 eg/cf，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：.證明：過 e 作 eg/ac交 bc于 g，則 egb= acb，又 ab=ac， b=acb， b=egb， egd=dcf，eb=eg=cf， edb= cdf， dge dcf，de=df。解題后的思考： 此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例 5：abc中， bac=60， c=40，ap平分 bac交 bc于 p，bq平分 abc交 ac于 q，求證： ab+bp=bq+a

9、q。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路 ：本題要證明的是ab+bp=bq+aq。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證。可過 o作bc的平行線。得 ado aqo。得到 od=oq， ad=aq，只要再證出 bd=od就可以了。解答過程 ：證明：如圖（ 1），過 o作 od bc交 ab于 d， ado=abc=180 60 40=80，又 aqo= c+qbc=80， ado=aqo，.又 dao=qao， oa=ao， ado aqo，od=oq，ad=aq，又 od bp， pbo=dob，又

10、 pbo=dbo， dbo=dob，bd=od，又 bpa= c+pac=70，bop= oba+ bao=70， bop=bpo，bp=ob，ab+bp=ad+db+bp=aq+oq+bo=aq+bq。解題后的思考：（1）本題也可以在 ab上截取 ad=aq，連 od，構(gòu)造全等三角形， 即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（ 2），過 o作 odbc交 ac于 d，則 ado abo從而得以解決。如圖（ 5），過 p 作 pdbq交 ac于 d，則 abp adp從而得以解決。.小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同

11、的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 6：如圖甲， adbc，點(diǎn) e 在線段 ab上， ade=cde， dce= ecb。求證： cd=ad+bc。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2）

12、解題思路： 結(jié)論是 cd=ad+bc，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在 cd上截取 cf=cb，只要再證 df=da即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的。解答過程 ：證明：在 cd上截取 cf=bc，如圖乙. fce bce（sas）， 2=1。又 adbc， adc+bcd=180， dce+cde=90， 2+3=90， 1+4=90， 3=4。在 fde與 ade中， fde ade（asa），df=da，cd=df+cf，cd=ad+bc。解題后的思考： 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)， 一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條

13、中的一條， 然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。1）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。.小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍

14、半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運(yùn)算法則是什么？同步練習(xí)全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例一有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 1：已知 ad為 abc的中線，且 1 2, 3 4, 求證： becfef。anef1 2 34bdc圖 1二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)a加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。ef例：如圖 2：ad為 abc的中線

15、，且 1 2，23 3 4，求證： becfef4c1bdm圖2.三、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 3：ad為 abc的中線，求證： abac2ad。abdce圖 3練習(xí)：已知 abc，ad是 bc邊上的中線，分別以 ab邊、 ac邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 4， 求證 ef2ad。eabdc圖4四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 5：在 abc中， ab ac， 1 2， p 為 ad上任一點(diǎn)。求證： ab acpb pc。a1 2pndb圖 5e五、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 6：已知 acbd，ad ac于 a ，bc bd于 b，求證： adbcabodc圖6fcm.六、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 7：ab c