高考復(fù)習(xí)數(shù)列通項公式的幾種求法及高考真題

1、數(shù)列通項公式的求法1.觀察法：已知數(shù)列的前幾項，要求寫出數(shù)列的一個通項公式，主要從以下幾個方面來考慮，一是對數(shù)列的項進行分拆以后，尋找分拆項之間的規(guī)律；二是如果數(shù)列中出現(xiàn)正負(fù)項相間的話，則需用或來調(diào)節(jié)；三是和等差與等比數(shù)列相聯(lián)系，利用特殊數(shù)列求解。例1、求下列數(shù)列的一個通項公式。 1，0，1，03，33，333，3333 11，103，1005，100072前n項和法（知求） 1、若數(shù)列的前n項和，求該數(shù)列的通項公式。2、若數(shù)列的前n項和，求該數(shù)列的通項公式。3、已知數(shù)列的前項和，且滿足，求數(shù)列的通項公式。3.形如型（累加法）（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(

2、n)為n的函數(shù)時，用累加法.例 1.已知數(shù)列an滿足,證明例2.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式. 例3.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式.注意：形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項來分求通項.例1. 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式.4.形如型（累乘法）（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比且=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法. 例1、在數(shù)列中 ，求數(shù)列的通項公式。練

3、習(xí)、在數(shù)列中，求。5.形如型（取倒數(shù)法）例1. 已知數(shù)列中，求通項公式 例2若數(shù)列中，求通項公式.6形如,其中)型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),利用待定系數(shù)法求出A例1已知數(shù)列中，求通項.練習(xí).若數(shù)列中，,求通項公式。7.形如型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）(1)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時，即：，累加即可若時，即：，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型6來解，1、已知，求。2、已知數(shù)列中，求通項公式。8

4、.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時 用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.（2）當(dāng)時 用待定系數(shù)法.例2. 已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.9. 形如(其中p,r為常數(shù))型（1）p0， 用對數(shù)法.（2）p0， 用對數(shù)法.（2）p0時 用迭代法.例1. 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習(xí) 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式.答案：例2（江西2005）已知數(shù)列，（1）證明 （2）求數(shù)列的通項公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化

5、為上面類型（1）來解.練習(xí)：1.（2014全國大綱卷.文17）數(shù)列滿足，.（）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（）求的通項公式；2（全國II）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，解：設(shè)的公比為q，由，所以得由、式得整理得解得所以 q2或q2將q2代入式得，所以將q2代入式得，所以3（全國卷I）已知為等比數(shù)列，求的通項式。解: 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 則q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 當(dāng)q1=, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 當(dāng)q=3時, a1= , 所以an=3n1=23n3. 4（安徽卷）在等差數(shù)列中，前項和滿足條件， 求數(shù)

6、列的通項公式；解：設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，又，所以。5（遼寧卷）已知等差數(shù)列的前項和為求q的值；解法一：當(dāng)時，,當(dāng)時,.是等差數(shù)列,4分解法二：當(dāng)時,當(dāng)時,.當(dāng)時,.又,所以,得4分6（全國卷I）設(shè)數(shù)列的前項的和，求首項與通項；解: 由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,7.（福建卷）已知數(shù)列a滿足a=1,a=2a+1(nN)求數(shù)列a的通項公式；解析：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。 解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。即8（福建卷）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（I）證明：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。（II）解：由（I）得9（江西卷）已知數(shù)列an滿足：a1，且an求數(shù)列an的通項公式；解： 將條件變?yōu)椋?，因此1為一個等比數(shù)列