三角函數公式及推導

1、三角函數公式及推導,三角函數公式及推導,1-誘導公式（之一）：,常用的誘導公式有以下幾組：公式一：設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot,公式二：設為任意角，+的三角函數值與的三角函數值之間的關系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot,公式三： 任意角與 -的三角函數值之間的關系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot,公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數值之間的關系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot,1-誘

2、導公式（之二）：,公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數值之間的關系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot,公式六之一：/2及3/2與的三角函數值之間的關系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tan,公式六之二 sin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kz),規(guī)律總結上面這些誘導公式可以概

3、括為：對于k/2(kz)的個三角函數值，當k是偶數時，得到的同名函數值，即函數名不改變；當k是奇數時，得到相應的余函數值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變）然后在前面加上把看成銳角時原函數值的符號。（符號看象限）,上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把視為銳角時，角k360+（kz），-、180，360-所在象限的原三角函數值的符號可記憶水平誘導名不變；符號看象限。各種三角函數在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦” 這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“”； 第二象

4、限內只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內切函數是“”，弦函數是“”； 第四象限內只有余弦是“”，其余全部是“”,口訣總結,公式七：額外的定義 （也是重要的呀）,2-同角三角函數基本關系,同角三角函數的基本關系式 倒數關系:tan cot1sin csc1cos sec1,商的關系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec,平方關系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2() 證明：,同角三角函數關系六角形記憶法 六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。（1）倒

5、數關系：對角線上兩個函數互為倒數；（2）商數關系：六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰 的兩個頂點上函數值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的 三角函數值的乘積）。由此，可得商數關系式。（3）平方關系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上 的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的 平方。,3-兩角和差公式,兩角和與差的三角函數公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin tantantan（）- 1tan tan tantantan（） 1tan tan,（和差公式的證明） 兩角差的余弦,令A

6、O=BO=r 點的橫坐標為,點A縱坐標為,點B的坐標為,兩式相等，化簡（或對照得）：,由余弦定理得：,兩角和的余弦,兩角和的正弦,兩角差的正弦,兩角和的正切,兩角差的正切,由兩角差的余弦得,4-二倍角公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式（也稱為：升冪縮角公式）,正弦的二倍角公式： 表示一：sin22sincos 證明：因為 sin( +)=sincos+cossin，令= ， 所以，可得：sin2=2sincos,表示二：（以正切表示二倍角） sin2= 2tan 1+tn2 證明： sin2=2sincos=2 (sin /cos ) .cos2 =2tan/(sec2 ) = 2tan/(1

7、+tan2 ),余弦二倍角公式： 表示一： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 證明：因為由和角公式：cos( +)=coscossinsin， 令= 所以，可得： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2,表示二： cos2= 1-tan2 1+tan2 證明：cos2=2cos21 = (2/sec2)1 =2/(1+tan2 ) 1 =(1-tan2 )/(1+tan2 ),2tan tan2 1tan2 證明：因為由和角公式： tan( +)= (tan +tan )/(1-tan.tan )， 令= ， 所以，可得： 2tan tan2 1tan2,

8、正切的二倍角公式,結論：利用tan可以將sin2，cos2，tan2表示出來，,整理如下： (a) sin2= 2tan /(1+ tan2 ) (b) cos2=(1- tan2 )/ (1+tan2 ) (c) tan2=2tan / (1-tan2 ) 用三角形直觀表示如下：（圖）,6-半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（也稱：降冪擴角公式）,或也可表示為： 1cos sin2(/2) 2 1cos cos2(/2) 2 1cos tan2(/2) 1cos,7-萬能公式,萬能公式推導 附推導：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因為cos2(

9、)+sin2()=1）再把*分式上下同除cos2()，可得sin2tan2/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。,8-三倍角公式,三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3= 3sin 4sin3 證明：sin3 =sin(+2)=sincos2+cossin2 =sin(12sin2)+cos(2sincos) = sin(12sin2)+2sincos2 = sin(12sin2)+2sin(1sin2) = 3sin 4sin3,(b)cos3=4cos3 3cos 證明： cos3=cos(+2)=coscos2sinsi

10、n2 =cos(2cos21)sin(2sin cos) = cos(2cos21)2sin2cos = cos(2cos21)2(1cos2)cos =4cos3 3cos,三倍角的正切公式 因為：sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos 3tantan3所以：tan3 13tan2,三倍角公式推導,正切三倍角公式推導：（證明） tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得：tan3(3

11、tantan3()/(1-3tan2(),正弦三倍角公式推導（證明） sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3(),余弦三倍角公式推導：（證明） cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos,三倍角公式聯想記憶 記憶方法：諧音、聯想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數)，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）

12、注意函數名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。,9-積化和差公式,積化和差公式推導（之一） 附推導：首先,我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sin

13、a*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2,積化和差推導（證明之二）：,10-和差化積公式,和差

14、化積的公式推導：好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b 設為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2),11-輔助角公式,其中 的象限由 的符號確定。,12-任意三角形面積公式：,13-余弦定理：,任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。,證明：,（證完）,14-正弦定理,c為ABC外接圓的直徑,同理,對邊與對角正弦之比相等，且為外接圓的半徑的兩倍,15-海倫公式（任意三角形已知三邊求面積）,證明,證畢（公式）,a,b ,c 為三角形的三邊，A， B， C為三邊所對應的三個角,16-特殊的三角函數值（表）,17：其它一些恒等變換的有用公式：也必須熟記,(a)cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 (b) cos=2cos2 1=12sin2