沈陽師范大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院數(shù)學分析16-1

1、1 平面點集與多元函數(shù),2 二元函數(shù)的極限,3 二元函數(shù)的連續(xù),第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù),1 平面點集與多元函數(shù),一 平面點集,三 多元函數(shù)的概念,一、平面點集,1. 鄰域:,以點 X0 = (x0, y0)為中心, 以 為半徑的圓內部點的全體稱為 X0 的 鄰域.,即,記 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 稱為 X0 的去心 鄰域.,如圖,U (X0, ), (X0, ),當不關心鄰域半徑時, 簡記為U (X0 )和 (X0).,2. 內點:,設 E 是一平面點集, X0 = (x0, y0)E, 若存在鄰域 U(X0 , ) E , 則稱 X0 為 E 的內點.,E 的全

2、體內點所成集合稱為 E 的內部, 記為E0.,D = (x, y)| x2 + y2 1 ,如圖,易知, 圓內部的每一點都是 D 的內點. 但圓周上的點不是 D 的內點.,又如 z = ln (x+y)的定義域 D = (x, y)| x+y 0,易見, 直線上方每一點都是D的內點. 即 D=D,但直線上的點不是D的內點.,3. 邊界點:,設 E 是一平面點集, X0 = (x0, y0)是平面上一個點. 若 X0的任何鄰域 U(X0 , )內既有屬于 E 的點, 又有不屬于 E的點, 則稱 X0 為 E 的邊界點.,E 的全體邊界點所成集合稱為 E 的邊界. 記作 E.,如, 例2中定義域

3、D 的邊界是直線 x +y = 0 上點的全體. 例1中定義域 D 的邊界是單位圓周 x2 + y2 = 1上的點的全體. 如圖,E 的邊界點可以是 E 中的點, 也可以不是 E 中的點.,D,4. 開集,設 E 是一平面點集, 若 E 中每一點都是 E 的內點.,即 E E0, 則稱 E 是一個開集.,由于總有 E0 E, 因此, E E0 E = E0,故也可說,比如, 例2中 D 是開集, (D = D0 ), 而例1中 D 不是開集.,若E = E0 , 則稱 E 是一個開集.,規(guī)定, , R2為開集.,又比如, E 如圖,若 E 不包含邊界, 則 E 為開集.,若 E 包含邊界, 則

4、 E 不是開集.,結論: 非空平面點集 E 為開集的充要條件是 E 中每一點都不是 E 的邊界點. 即 E 不含有 E 的邊界點.,證:,必要性. 設 E 為開集, X E,由開集定義知 X 為 E 的內點. 故 X 不是 E 的邊界點.,充分性. 若 E 中每一點都不是 E 的邊界點.,要證 E 為開集.,X E,由于 X 不是 E 的邊界點.,故必存在X的一個鄰域U(X, ),在這個鄰域 U(X, )內或者全是 E 中的點. 或者全都不是 E 中的點, 兩者必居其一.,由于X E, 故后一情形不會發(fā)生.,因此, U(X, )內必全是 E 中的點. 故 X E0, 即, E E0 , 所以

5、E 是開集.,5. 連通集,設 E 是一非空平面點集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折線將它們連接起來, 則稱 E 為連通集.,如圖,X,Y,E 連通,從幾何上看, 所謂 E 是連通集, 是指 E 是連成一片的. E 中的點都可用折線連接.,下例中的 D 都是連通集.,如圖：,6. 開區(qū)域(開域),設 E 是一平面點集.,比如, 例1中 D 是開區(qū)域.,如圖.,從幾何上看, 開區(qū)域是連成一片的, 不包括邊界的平面點集.,若 E 是連通的非空開集, 則稱 E 是開區(qū)域.,7. 閉區(qū)域 (閉域),若 E 是開域, 記,稱為閉區(qū)域.,如圖.,從幾何上看, 閉區(qū)域是連成一片的. 包括邊界的平

6、面點集.,(本書把)開區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.,8. 設 E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 則稱 E 為有界集. 否則稱 E 為無界集.,易見, 例1中 D 是有界集, 它是無界開區(qū)域, 而例2中 D 是無界集, 它是有界閉區(qū)域.,9. 聚點.,設 E 是平面點集, X0 是平面上一個點. 若X0的任一鄰域內總有無限多個點屬于 E . 則稱 X0 是E 的一個聚點.,從幾何上看, 所謂 X0 是 E 的聚點是指在 X0 的附近聚集了無限多個 E 中的點. 即, 在 X0 的任意近傍都有無限多個 E 中的點.,如圖,1. 聚點定義也可敘述為: 若 X0 的任一鄰域內至少含有

7、 E 中一個異于 X0 的點. 則稱 X0 為 E 的 一個聚點. (自證).,2. E 的聚點 X0可能屬于 E , 也可能不屬于E .,3. E 的內點一定是 E 的聚點.,4. 若 E 是開區(qū)域. 則 E 中每一點都是 E 的聚點.,即, 區(qū)域中的任一點都是該區(qū)域,的聚點.,鄰域, 內點, 邊界點, 開集, 連通, 有界, 開區(qū)域, 閉區(qū)域, 聚點這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間 R3 中去, 且有類似的幾何意義. 它們還可推廣到 4 維以上的空間中去, 但不再有幾何意義.,（3）點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E,例如,(0, 0) 是聚點但不屬于集合,例如,邊界上的點都是聚點

8、也都屬于集合,（4）n 維空間,實數(shù) x,數(shù)軸點.,數(shù)組 (x, y),實數(shù)全體表示直線(一維空間),平面點,(x, y) 全體表示平面(二維空間),數(shù)組 (x, y, z),空間點,(x, y, z) 全體表示空間(三維空間),推廣：,n 維數(shù)組 (x1, x2, , xn),全體稱為 n 維空間，記為,n 維空間中兩點間距離公式,設兩點為,特殊地，當 n =1, 2, 3時，便為數(shù)軸、平面、空間兩 點間的距離,n 維空間中鄰域概念：,區(qū)域、內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義,三 多元函數(shù)的概念,回憶,點集 D -定義域，,- 值域.,x、y -自變量，z -因變量.,1.二元函數(shù)的定義,與