4.1 復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).ppt

1、1,4.1 復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),為一復(fù)數(shù)列，,設(shè),4.1.1 復(fù)數(shù)列的極限,定義1（收斂數(shù)列）：,其中,為一確定的復(fù)數(shù)。,，又,（無(wú)論多么?。?，,定的,在nN時(shí)成立，,正整數(shù)N，使,如果對(duì)任意給,相應(yīng)的能找到一個(gè),2,是收斂數(shù)列，并且收斂于,記作：,收斂于,數(shù)列,（4.1.1）,如果復(fù)數(shù)列,不收斂，,則稱(chēng),發(fā)散。,2、充要條件：,的充要條件是：,復(fù)數(shù)列,那么說(shuō)復(fù)數(shù)列,有極限,3,收斂于,以及數(shù)列,收斂于 b 。,（1）必要性、,若,收斂于,，由不等式,及,由實(shí)數(shù)收斂的比較法知，,數(shù)列,均收斂。,（2）充分性、,若數(shù)列,分別收斂于,4,和,，則有,4.1.2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),1、定義2（復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)）：

2、,設(shè),為一復(fù)數(shù)列表達(dá)式,（4.1.2）,5,稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，,其最前面的n項(xiàng)的和,稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和。,若部分和數(shù)列,收斂，,那么說(shuō)級(jí)數(shù)收斂，,且極限,稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和，,記為,若部分和數(shù)列發(fā)散，那么說(shuō)級(jí)數(shù)發(fā)散。,6,2、收斂的必要條件：,因?yàn)閺?fù)數(shù)收斂的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的收斂問(wèn)題，,而由實(shí)數(shù)列收斂的必要性即得。,定理：,如果,收斂，,那么,也收斂且不等式,成立.,證：,由于,7,由比較判別法，,若,收斂，則必有級(jí)數(shù),收斂，,因?yàn)?與,成立,收斂,收斂.,又由于不等式,8,即,如果,定義3、,收斂,那么稱(chēng)級(jí)數(shù),絕對(duì),因此得出級(jí)數(shù)(4.1.2)絕對(duì)收斂的充要條件是:,收斂,非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù),稱(chēng)為條件收斂級(jí)數(shù).,9,級(jí)數(shù),及,絕對(duì)收斂.,例1.,下列數(shù)列是否收斂?,(1),(2),解:,(1) 由于,當(dāng),時(shí),所以,因此,發(fā),散.,10,(2) 因?yàn)?所以數(shù)列,收斂,且,例2,(1),下列數(shù)列是否收斂?是否絕對(duì)收斂?,(2),(3),11,解:,(1),因此級(jí)數(shù)發(fā)散.,(2) 因?yàn)?12,收斂,因此,絕對(duì)收斂.,(3),收斂,也收斂，,故原