無窮級數(shù)與微分方程相關(guān)知識簡介(ppt 58頁).ppt

1、無窮級數(shù),一、數(shù)項級數(shù),二、冪級數(shù),討論斂散性,求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。,1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義：,給定一個數(shù)列,將各項依,即,稱上式為無窮級數(shù)，,其中第 n 項,叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和,稱為級數(shù)的部分和.,次相加, 簡記為,收斂 ,則稱無窮級數(shù),并稱 S 為級數(shù)的和。,等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù)),( q 稱為公比 ).,級數(shù)收斂 ,級數(shù)發(fā)散 .,其和為,P-級數(shù),2.無窮級數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)1. 若級數(shù),收斂于 S ,則各項,乘以常數(shù) c 所得級數(shù),也收斂 ,即,其和為 c S .,性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù),則級數(shù),也收斂, 其和為,說明:,(2) 若兩級數(shù)中一個

2、收斂一個發(fā)散 , 則,必發(fā)散 .,但若二級數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.,(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .,(用反證法可證),性質(zhì)3.,在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù),的斂散性.,性質(zhì)4.,收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級,的和.,推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.,注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù),則必有,可見: 若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散 .,*例1.判斷級數(shù)的斂散性:,解:該級數(shù)是下列兩級數(shù)之差,故原級數(shù)收斂.,(比較審斂法),設(shè),且存在,對一切,有,(1) 若強級數(shù),則弱級數(shù),(2) 若弱級數(shù),則強

3、級數(shù),則有,收斂 ,也收斂 ;,發(fā)散 ,也發(fā)散 .,是兩個正項級數(shù),(常數(shù) k 0 ),3.正項級數(shù)審斂法,(比較審斂法的極限形式),則有,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;,(2) 當 l = 0,(3) 當 l =,設(shè)兩正項級數(shù),滿足,(1) 當 0 l 時,的斂散性.,例3. 判別級數(shù),解:,根據(jù)比較審斂法的極限形式知,發(fā)散,比值審斂法 ( Dalembert 判別法),設(shè),為正項級數(shù), 且,則,(1) 當,(2) 當,時, 級數(shù)收斂 ;,或,時, 級數(shù)發(fā)散 .,. 根值審斂法 ( Cauchy判別法),設(shè),為正項,級數(shù), 且,則,因此級數(shù),收斂.,解:,4.交錯級數(shù)及其審斂法,則各項符號正負相

4、間的級數(shù),稱為交錯級數(shù) .,( Leibnitz 判別法 ),若交錯級數(shù)滿足條件:,則級數(shù),收斂 。,5.絕對收斂與條件收斂,定義: 對任意項級數(shù),若,若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級,收斂 ,數(shù),絕對收斂 ；,則稱原級,數(shù),條件收斂 .,絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .,由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知:,交錯級數(shù),例5. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :,證:,而,收斂 ,收斂,因此,絕對收斂 .,判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法,1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì),2、利用必要條件：主要判別發(fā)散,3、求部分和數(shù)列的極限,4、正項級數(shù)的審斂法,1）比值審斂法（根值審斂法）,2）比較審

5、斂法（或極限形式）,5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理,6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂,收斂,發(fā)散,1.Abel定理,若冪級數(shù),則對滿足不等式,的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.,反之, 若當,的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 .,時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式,二、求冪級數(shù)收斂域,*例6.已知冪級數(shù),在,處收斂，則該級數(shù),在,處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂,還是絕對收斂？,解：,由Abel定理 ，該冪級數(shù)在,處絕對收斂，,故在,絕對收斂。,例7. 已知,處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂,半徑是多少 ?,答:,根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在,

6、收斂 ,時發(fā)散 .,故收斂半徑為,若,的系數(shù)滿足,1) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當 時,則,的收斂半徑為,2.求收斂半徑,對端點 x =1,的收斂半徑及收斂域.,解:,對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),收斂;,級數(shù)為,發(fā)散 .,故收斂域為,例8.求冪級數(shù),例9. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :,解: (1),所以收斂域為,(2),所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .,規(guī)定: 0 ! = 1,例10.,的收斂域.,解: 令,級數(shù)變?yōu)?當 t = 2 時, 級數(shù)為,此級數(shù)發(fā)散;,當 t = 2 時, 級數(shù)為,此級數(shù)條件收斂;,因此級數(shù)的收斂域為,故原級數(shù)的收斂域為,即,三、求函數(shù)的冪級數(shù)

7、展開式,1、對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話）,2、利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級數(shù),3、寫出收斂范圍,的冪級數(shù)展開式,展開成,解：,例10.求函數(shù),微分方程,一、微分方程的基本概念,二、解微分方程,三、微分方程應(yīng)用,含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,一、微分方程的基本概念,的階.,例如：,一階微分方程,二階微分方程, 使方程成為恒等式的函數(shù).,通解, 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程, 確定通解中任意常數(shù)的條件.,初始條件(或邊值條件):,的階數(shù)相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常數(shù)的解,定解條件,其圖形稱為積分曲

8、線.,例1. 驗證函數(shù),是微分方程,的解.,解:,是方程的解 .,二、解微分方程,1. 一階微分方程,可分離變量，一階線性,2. 高階微分方程,可降階微分方程，二階線性常系數(shù)齊次，二階線性常系數(shù)非齊次只要求寫出特解形式。,分離變量方程的解法:,(2)兩邊積分,(3)得到通解,稱為方程的隱式通解, 或通積分.,(1)分離變量,*例2. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( C 為任意常數(shù) ),因此可能增、,減解.,一階線性微分方程,一階線性微分方程標準形式:,若 Q(x) 0,稱為非齊次方程 .,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程 ;,對應(yīng)齊次

9、方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,解,*例3.,利用一階線性方程的通解公式得：,例4. 解方程,解: 先解,即,積分得,即,用常數(shù)變易法求特解. 令,則,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,例5.,解:,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,例6. 求解,解:,代入方程得,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,型的微分方程,令,故

10、方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,例7. 求解,代入方程得,兩端積分得,(一階線性齊次方程),故所求通解為,解:,*例8. 解初值問題,解: 令,代入方程得,積分得,利用初始條件,根據(jù),積分得,故所求特解為,得,二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個解,也是該方程的解.,定理1.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關(guān)特解, 則,數(shù)) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常數(shù),故方程的通解為,(自證),特征方程:,實根,二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解,例9.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原

11、方程的通解為,例10. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,*例11.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例12.,解：因,是一個特解，所以,是特征,方程的重根，故特征方程為：,所對應(yīng)微分方程為,二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個特解,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,(2) 若 是特征方程的單根,特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根,特解形式為,(1) 若 不是特征方程的根,特解形式為,的特解形式.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,特解形式為,例13.,例13.,的特解形式.,解: 本題,而特征方程為,其根為,特解形式為,三、微分方程應(yīng)用,1. 利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程,2. 利用導(dǎo)數(shù)物理意義列方程,3. 利用牛頓第二定律,求所滿足的微分方程 .,*例14. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 Q,解: 如圖所示,令 Y = 0 , 得 Q 點的