平面及其方程空間直線及其方程.ppt

1、第6節(jié),一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,平面及其方程,第八章,一、平面的點法式方程,設(shè)一平面通過已知點,且垂直于非零向,稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.求過三點,即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程.,利用點法式得平面 的方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,此平面的三點式方程也可寫成,一般情況 :,過三點,的平面方程為,說明:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為,此式稱為平面的截距式方程.,時,平面方程為

2、,分析:利用三點式,按第一行展開得,即,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí)：習(xí)題8-6 題1，題3.,題1. 題3.,二、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點法式方程,此方程稱為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點法式方程等價,的平面,因此方程的圖形是,法向量為,方程.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特殊情形, 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點的平面;, 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B

3、y+D = 0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, By+C z = 0 表示經(jīng)過x軸的平面；, A x+C z = 0 表示經(jīng)過y軸的平面；, A x+By = 0 表示經(jīng)過z軸的平面；, C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;, A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面;, B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.,例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.,解:,因平面通過 x 軸 ,設(shè)所求平面方程為,代入已知點,得,化簡,

4、得所求平面方程,(自己練習(xí)),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,習(xí)題8.6 題8 (1)(3),三、兩平面的夾角,設(shè)平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別有下列結(jié)論：,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此有,例4. 一平面通過兩點,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設(shè)所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,即,和,則所求平面,故,方程為,且,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,外一點,求,例5. 設(shè),解:設(shè)平面法向量為,在平面上取一點

5、,是平面,到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為,(點到平面的距離公式),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.平面基本方程:,一般式,點法式,截距式,三點式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.平面與平面之間的關(guān)系,平面,平面,垂直:,平行:,夾角公式:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求過點,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量為,取所求平面的法向量,則所求平面方程為,化簡得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè):習(xí)題8-6,題2,題6,題8(2),一、空間直線方程,二、線面間的位置關(guān)系,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第七節(jié)空間直線及

6、其方程,第八章,一、空間直線方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直線可視為兩平面交線，,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 對稱式方程,故有,說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.,設(shè)直線上的動點為,則,此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程),直線方程為,已知直線上一點,例如, 當(dāng),和它的方向向量,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 參數(shù)式方程,設(shè),得參數(shù)式方程 :,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.用對稱式及參數(shù)式表示直線,解:先在直線上找一點.,再求直線的方向向量,令 x = 1, 解方程組,得,已知直線的兩平面的法向量為,是直線上一點 .,機(jī)動 目錄

7、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故所給直線的對稱式方程為,參數(shù)式方程為,解題思路:,先找直線上一點;,再找直線的方向向量.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí)：習(xí)題8-7 題1，題2,4,二、線面間的位置關(guān)系,1. 兩直線的夾角,則兩直線夾角 滿足,設(shè)直線,兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角),的方向向量分別為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別有:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求以下兩直線的夾角,解: 直線,直線,二直線夾角 的余弦為,從而,的方向向量為,的方向向量為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角,線所夾銳角 稱為直線與平

8、面間的夾角;,2. 直線與平面的夾角,當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為,平面 的法向量為,則直線與平面夾角 滿足,直線和它在平面上的投影直,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特別有:,解: 取已知平面的法向量,則直線的對稱式方程為,直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,垂,例3. 求過點(1,2 , 4) 且與平面,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 空間直線方程,一般式,對稱式,參數(shù)式,內(nèi)容小結(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,直線,2. 線與線的關(guān)系,直線,夾角公式:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,平面 :,L,L / ,夾角公式：,3. 面與線間的關(guān)系,直線 L :,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：,相交,求此直線方程 .,的方向向量為,過 A 點及,面的法向量為,則所求直線的方向向量,方法1 利用叉積.,所以,一直線過點,且垂直于直線,又和直線,備用題,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)所求直