湖北大學(xué)量子力學(xué)考研參考試題及解

1、 量子力學(xué)考研參考試題（一）一. （見1997年第二題）證明：（1） 若一個(gè)算符與角動(dòng)量算符的兩個(gè)分量對(duì)易，則其必與的另一個(gè)分量對(duì)易； （2） 在與的共同本征態(tài)下，與的平均值為零，且當(dāng)時(shí)，測(cè)量與的不確定性為最小。 證明：（1） 設(shè)算符與角動(dòng)量算符及皆對(duì)易，即 則 同理可知，若算符與角動(dòng)量算符及皆對(duì)易，則算符必與對(duì)易；若算符與角動(dòng)量算符及皆對(duì)易，則算符必與對(duì)易，于是，問題得證。 （2）在與的共同本征態(tài)下，與的平均值為 由升降算符的修正可知 于是有 同理可證，算符在下的平均值也未零。在態(tài)上， 同理可得 故有 或者寫為 顯然，當(dāng)時(shí)，上式取最小值 二. （見2001年第二題）粒子作一維運(yùn)動(dòng)，當(dāng)總能量算

2、符為時(shí)，能級(jí)是，如果總能量算符變成（為實(shí)參數(shù)），求粒子能級(jí)的嚴(yán)格解。解：視為參變量，則有 利用費(fèi)曼-海爾曼定理可知 又知 在任何束縛態(tài)下，均有 所以， 進(jìn)而得到能量本征值滿足的微分方程 對(duì)上式作積分，得到 利用時(shí)，定出積分常數(shù) 最后，得到的本征值為 三. 一維諧振子的哈密頓算符為 引入無(wú)量綱算符， ；（1） 計(jì)算，；（2） 將用與表示，并求出全部能級(jí)。解： （1）計(jì)算對(duì)易關(guān)系 （2）改寫哈密頓算符 而 所以，有 下面求解上述哈密頓算符滿足的本征方程。對(duì)任何態(tài)矢，均有 因此， 若是哈密頓算符的本征態(tài)，則，即 上式說明能量的下限為。用作用的任意一個(gè)本征態(tài)上，利用 可知 若，則其為哈密頓算符的另一個(gè)

3、本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為。重復(fù)這個(gè)推理的過程，得到都是哈密頓算符的本征值，由于，本征值不能小于，此數(shù)列必須終止于某個(gè)最小值，即不再是能量本征值，其條件為 因此， 于是可知相應(yīng)當(dāng)能量本征值 類似前面的做法，利用 可知 說明也是能量的本征態(tài)，相應(yīng)的能量本征值為，重復(fù)此過程可知，都是能量本征值。最后，得到能量本征值的表達(dá)式為 四. 有一定域電子（作為近似模型，可以不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）受到均勻磁場(chǎng)的作用，磁場(chǎng)指向軸電正方向，磁作用為。設(shè)時(shí)，電子的自旋向上，即，求時(shí)的平均值。 解：哈密頓算符可以改寫為 其中， 在泡利表象中，設(shè)時(shí)體系的波函數(shù)為 則其應(yīng)滿足 于是有 此即， 上式可以化為 解之得到 利用初始條件 ；可知 于是， 時(shí)的波函數(shù)為 而 五.（第一問見1998年第五題）有一量子體系由哈密頓量描述，其中，可視為微擾，是厄米特算符，且有。 （1）若算符在的非簡(jiǎn)并基態(tài)上的平均值已知，且分別記為，求在微擾后的非簡(jiǎn)并基態(tài)上的平均值，準(zhǔn)確到量級(jí)。（2） 將上述結(jié)果用在如下三維問題上， 計(jì)算在微擾后非簡(jiǎn)并基態(tài)上的平均值，準(zhǔn)確到量級(jí)。解： （1）設(shè)滿足 則哈密頓算符的基態(tài)波函數(shù)的一級(jí)近似為 利用歸一化條件 若準(zhǔn)確到量級(jí)，則一級(jí)近似波函數(shù)已經(jīng)歸一化。在