2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形的應(yīng)用舉例學(xué)案

1、第7講解三角形的應(yīng)用舉例板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)考點(diǎn)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)考點(diǎn)3方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于90的角叫做方向角，如北偏東，南偏西.特別地，若目標(biāo)方向線與指北或指南方向線成45角稱為西南方向，東北方向等(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似考點(diǎn)4坡角與坡度1坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)2坡度

2、：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比必會(huì)結(jié)論1仰角與俯角是相對(duì)水平視線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的2“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍是.考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(3)若點(diǎn)P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北46.()(4)如果在測(cè)量中，某渠道斜坡坡比為，設(shè)為坡角，那么cos.()答案(1)(2)(3)(4)2課本改編兩座燈塔A和B與海岸

3、觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東10 D南偏西10答案B解析由題可知ABC50，A，B，C位置如圖故選B.3.2018沈陽(yáng)模擬如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由正弦定理得AB50(m)4.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60，30，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A. B.C.a D.答案B解析因

4、為D30，ACB60，所以CAD30，故CACDa.所以ABasin60.5一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是_m.答案50解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.板塊二典例探究考向突破考向測(cè)量距離問題例1如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A，

5、B兩點(diǎn)間的距離，在岸邊定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，試求AB的長(zhǎng)解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)锳CB30，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為ABa.觸類旁通求距離問題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計(jì)算的定理【變式訓(xùn)練1】2014四川高考如圖所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流

6、的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時(shí)氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin670.92，cos370.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案60解析根據(jù)已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得.所以BC20.6060(m)考向測(cè)量高度問題例22015湖北高考如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.答案100解析如圖所示，由已知得BAC30，A

7、B600 m，EBC75，CBD30，在ABC中，ACBEBCBAC45，由，得BC300(m)在RtBCD中，CDBCtanCBD300100(m)觸類旁通處理高度問題的注意事項(xiàng)(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，正確理解仰角、俯角是一個(gè)關(guān)鍵(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題【變式訓(xùn)練2】某人在C點(diǎn)測(cè)得塔底O在南偏西80，塔頂A的仰角為45，此人沿南偏東40方向前進(jìn)10米到D處，測(cè)得塔頂A的仰角為30，則塔高為()A15米 B5米 C

8、10米 D12米答案C解析如圖，設(shè)塔高為h，在RtAOC中，ACO45，則OCOAh.在RtAOD中，ADO30，則ODh.在OCD中，OCD120，CD10，OD2 OC2 CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，所以h25h500，解得h10 或h5(舍去)，故選C.考向測(cè)量角度問題例3在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察

9、艇所需的時(shí)間和角的正弦值解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理，得，解得sin.所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.觸類旁通解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用【變式訓(xùn)練3】如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的

10、B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos的值解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.核心規(guī)律利用解三角形解決實(shí)際問題時(shí)，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個(gè)三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3

11、)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗(yàn)問題的實(shí)際意義滿分策略1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混2.在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò).板塊三啟智培優(yōu)破譯高考數(shù)學(xué)思想系列5函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用2018永州模擬某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與

12、輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由解題視點(diǎn)(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時(shí)間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；(2)注意t的取值范圍解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，則s.故當(dāng)t時(shí)，smin10，v30(海里/小時(shí))即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900

13、900，即0，解得t.又t時(shí)，v30，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20.故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/小時(shí)答題啟示解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用問題有很多是求距離最短、用時(shí)最少、速度最大等最值問題，這需要建立有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式，通過求函數(shù)最值的方法來解決.函數(shù)思想在解三角形實(shí)際問題中的應(yīng)用，經(jīng)常與正弦定理、余弦定理相結(jié)合，此類問題綜合性較強(qiáng)，能力要求較高，要有一定的分析問題、解決問題的能力.跟蹤訓(xùn)練2018鄭州模擬如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50 km/h的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠嚨男旭偡较?汽車開

14、動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5 km，距離公路線的垂直距離為3 km的M點(diǎn)，有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，并求追上汽車司機(jī)時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？解作MI垂直公路所在的直線于點(diǎn)I，則MI3, OM5，OI4，cosMOI.設(shè)騎摩托車的人的速度為v km/h，追上汽車的時(shí)間為t h，由余弦定理得(vt)252(50t)22550t，v22500252900900，當(dāng)t時(shí)，v的最小值為30 km/h，其行駛距離為vt km.故騎摩托車的人至少以30 km/h的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了 km.板塊

15、四模擬演練提能增分A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120，則A，C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如圖所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10(km)22018武漢模擬海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60視角，從B望C和A成75視角，則BC()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析由題意可知，CAB60，CBA75，所以C45，由正弦定理得，所以BC5.3.如圖所示

16、，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km答案B解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22a2cos1203a2，故|AB|a.42018臨沂質(zhì)檢在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底俯角分別為30、60，則塔高為()A. m B. mC. m D. m答案A解析如圖，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120，又AB200，AC.在ACD中，由正弦定理，得，即DC(m)5.

17、如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin，從而cos，所以由余弦定理得2212221，解得v6.6.如圖，某工程中要將一長(zhǎng)為100 m，傾斜角為75的斜坡改造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(zhǎng)_m.答案100解析設(shè)坡底需加長(zhǎng)x m，由正弦定理得，解得x100.7.

18、如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為_km.答案7解析8252285cos(D)3252235cosD，cosD.AC7(km)8.2018河南調(diào)研如圖，在山底A點(diǎn)處測(cè)得山頂仰角CAB45，沿傾斜角為30的斜坡走1000米至S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角DSB75，則山高BC為_米答案1000解析由題圖知BAS453015，ABS45(90DSB)30，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，AB1000，BC1000(米)9.2018山西監(jiān)測(cè)如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，

19、AC4，CB6.現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個(gè)觀測(cè)站CD，點(diǎn)D在頂端(1)原計(jì)劃CD為鉛垂線方向，45，求CD的長(zhǎng)；(2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測(cè)得30，53，求CD2.(結(jié)果精確到1)(本題參考數(shù)據(jù)：sin971，cos530.6)解(1)CD為鉛垂線方向，點(diǎn)D在頂端，CDAB.又45，CDAC4.(2)在ABD中，533083，ABACCB4610，ADB1808397，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22ADACcos5242254cos5317.10.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝

20、私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD 10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos1206，解得BC.又，sinABC，ABC45，故B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船沿北偏東60的方向行駛又在BCD中，CBD 120，BCD30，D30，BDBC，即10

21、t，解得t小時(shí)15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘B級(jí)知能提升12018天津模擬一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)2.某觀察站B在A城的南偏西20的方向，由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25.現(xiàn)在B處測(cè)得此公路上距B處

22、30 km的C處有一人正沿此公路騎車以40 km/h的速度向A城駛?cè)?，行駛?5 min后到達(dá)D處，此時(shí)測(cè)得B與D之間的距離為8 km，則此人到達(dá)A城還需要()A40 min B42 min C48 min D60 min答案C解析由題意可知，CD4010.cosBDC，cosADBcos(BDC)，sinABDsin(ADBBAD).在ABD中，由正弦定理得，AD32，所需時(shí)間t0.8 h，此人還需要0.8 h即48 min到達(dá)A城3.2014全國(guó)卷如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.答案150解析在RtABC中，AC1