14.1導數(shù)及其運算

1、14.1 導數(shù)及其運算,第十四章 導 數(shù),基礎知識 自主學習,f(x0),y|xx0,f(x),y,f(x0),切線的斜率,瞬時速度,加速度,0,mxm1,cos x,-sin x,ex,axln a,yuux,f(u)(x),基礎自測 1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點（1，2）及附近一點 （1+x，2+y），則 為（） A.x+ +2B.x- -2 C.x+2D.2+x- 解析 y=（1+x）2+1-12-1=(x)2+2x, =x+2.,C,2.設正弦函數(shù)y=sin x在x=0和x= 附近的平均變化率為k1,k2,則k1,k2的大小關(guān)系為（） A.k1k2B.k1k2 C.k1=k2D

2、.不確定 解析 y=sin x,y=(sin x)=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，k1k2.,A,3.曲線y=x3-3x2+1在點（1，-1）處的切線方程為（） A.y=3x-4B.y=-3x+2 C.y=-4x+3D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在點（1，-1）的值為-3，故切線方程為y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.,B,4.若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足ab,則下列不等式一定成立的是（） A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b) C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a) 解析

3、 令g(x)=xf(x),g(x)=xf(x)+f(x)0. g(x)在R上為增函數(shù)，ab, g（a)g(b),即af(a)bf(b).,B,5.設P為曲線C：y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍是0， ，則點P橫坐標的取值范圍為（） A. B.-1，0 C.0，1D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲線在點P(x0,y0)處切線傾斜角的取值范圍是 0, , 曲線在點P處的切線斜率0k1. 02x0+21,-1x0 .,A,題型一 利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù) 【例1】求函數(shù)y= 在x0到x0+x之間的平均變化 率. 緊扣定義 進行 計算. 解,思維啟迪,題

4、型分類 深度剖析,探究提高 求函數(shù) f（x）平均變化率的步驟： 求函數(shù)值的增量f = f（x2）- f（x1）； 計算平均變化率 解這類題目僅僅是簡單套用公式，解答過程相對簡 單，只要注意運算過程就可以了.,知能遷移1 利用導數(shù)定義，求函數(shù) 在x=1處 的導數(shù). 解 方法一 （導數(shù)定義法）,方法二 （導函數(shù)的函數(shù)值法）,題型二 導數(shù)的運算 【例2】求下列函數(shù)的導數(shù). （1）y=2x3+x-6； （2）y= ； （3）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （4）y=-sin (1-2cos2 ）； （5） . 如式子能化簡的，可先化簡，再利用導數(shù)公式和運算法則求導.,思維啟迪,解 （1）y=6x

5、2+1.,(3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11.,方法二 y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.,求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本 函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法 則求導數(shù).在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的 結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導公式. 對于不具備求導法則結(jié)

6、構(gòu)形式的要適當恒等變形，如 （3）小題;對于比較復雜的函數(shù)，如果直接套用求導 法則，會使求導過程繁瑣冗長，且易出錯，此時，可 將解析式進行合理變形，轉(zhuǎn)化為較易求導的結(jié)構(gòu)形 式，再求導數(shù)，如（2）、（4）、（5）都是如此.但 必須注意變形的等價性，避免不必要的運算失誤.,探究提高,知能遷移2 求下列函數(shù)的導數(shù). （1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)； （3）y= . 解 (1)y=(5x2-4x+1) =(5x2)-(4x)+(1)=10 x-4. (2)y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+2(x

7、2)-(3x)-(1) =18x2+4x-3.,【例3】求下列復合函數(shù)的導數(shù). (1)y=(2x-3)5; (2)y= ; (3)y=sin2（2x+ ）; (4)y=ln(2x+5).,思維啟迪 先正確地分析函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過 怎樣的順序復合而成;求導時,可設出中間變量,注意 要逐層求導不能遺漏,每一步對誰求導,不能混淆. 解 (1)設u=2x-3,則y=(2x-3)5由y=u5與u=2x-3 復合而成, y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42 =10u4=10(2x-3)4. （2）設u=3-x, 則y= 由y=u 與u=3-x復合而成.,由復合函數(shù)的定義可知，中間變量

8、的選擇 應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關(guān)鍵是正確分析 函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)， 一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基 本函數(shù)，逐步確定復合過程.,探究提高,(3)設y=u2,u=sin v,v=2x+ , （4）設y=ln u,u=2x+5,則,知能遷移3 求下列復合函數(shù)的導數(shù). (1)y= ; (2)y=x ; (3) 解 (1)y=-3(1-3x)-4(1-3x)= .,題型三 導數(shù)的幾何意義 【例4】 （12分）已知曲線方程為y=x2, （1）求過A（2，4）點且與曲線相切的直線方程； （2）求過B（3，5）點且與曲線相切的直線方程. （1）A在曲線上,

9、即求在A點的切線方程. （2）B不在曲線上，設出切點求切線方程. 解 （1）A在曲線y=x2上, 過A與曲線y=x2相切的直線只有一條，且A為切點. 2分 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4分 因此所求直線的方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.6分,思維啟迪,解題示范,（2）方法一 設過B（3，5）與曲線y=x2相切的直線 方程為y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0. 整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10. 10分 所求的直線方程為2x-y-1=0,10

10、 x-y-25=0.12分 方法二 設切點P的坐標為(x0,y0), 由y=x2得y=2x, x=x0=2x0,8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分 切點坐標為(1,1),(5,25), 所求直線方程為2x-y-1=0,10 x-y-25=0.12分,由,探究提高 （1）解決此類問題一定要分清“在某點 處的切線”，還是“過某點的切線”的問法. （2）解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點 坐標為P（x0，y0），然后求其切線斜率k=f(x0), 寫出其切線方程.而“在某點處的切線”就是指“某 點”為切點. （3）曲線與直線相切并不一

11、定只有一個公共點，當 曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且 只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確.,知能遷移4 已知曲線 . (1)求曲線在x=2處的切線方程； (2)求曲線過點（2，4）的切線方程. 解 （1）y=x2, 在點P（2，4）處的切線的斜率k=y|x=2=4. 曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.,（2）設曲線 與過點P（2，4）的切線 相切于點 ， 則切線的斜率k=y|x=x = . 切線方程為y- 即,0,點P（2，4）在切線上，4= 即 (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切線方程為

12、4x-y-4=0或x-y+2=0.,方法與技巧 1.在對導數(shù)的概念進行理解時，特別要注意f(x0)與(f(x0)是不一樣的，f(x0)代表函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)值，不一定為0；而(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導數(shù)一定為0，即(f(x0)=0. 2.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.,思想方法 感悟提高,3.復合函數(shù)的求導方法 求復合函數(shù)的導數(shù)，一般是運用復合函數(shù)的求導法 則，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的

13、導數(shù)解決. （1）分析清楚復合函數(shù)的復合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復合而成的，適當選定中間變量； （2）分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量的關(guān)系； （3）根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)； （4）復合函數(shù)的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復合過程.,失誤與防范 1.利用導數(shù)定義求導數(shù)時，要注意到x與x的區(qū)別，這里的x是常量，x是變量. 2.利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆. 3.求曲線切線時，要分清點P處的切線與過P點的切 線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了

14、前者. 4.曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別.,一、選擇題 1.一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位 移為 ，那么速度為零的時刻是 （） A.0秒B.1秒末 C.2秒末D.1秒末和2秒末 解析 v=s（t）=t2-3t+2， 令v=0，得t1=1,t2=2.,D,定時檢測,2.若點P是曲線y=x2-ln x上任意一點，則點P到直線y=x-2的最小距離為（） A.1B. C. D. 解析 過點P作y=x-2的平行直線,且與曲線y=x2-ln x 相切，設P（x0,x -ln x0）,則k=y|x=x0=2x0- 2x0- =1,x0=1或x0=

15、 (舍去). P(1,1),B,3.若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則l的 方程為（） A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0 解析 y=4x3=4,得x=1,即切點為（1，1），所以過該點的切線方程為y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.,A,4.曲線y=ex在點（2，e2）處的切線與坐標軸所圍三角 形的面積為 （ ） A. B.2e2 C.e2 D. 解析 點（2，e2）在曲線上， 切線的斜率k=y|x=2=ex|x=2=e2, 切線的方程為y-e2=e2(x-2). 即e2x-y-e2=0. 與兩坐標軸的交點坐標為

16、（0，-e2），（1，0）， S=,D,5.（2009全國理，9）已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為（） A.1B.2C.-1D.-2 解析 設直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)的切點為（x0,y0）,則y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y= 即x0+a=1.又y0=ln(x0+a), y0=0,x0=-1,a=2.,B,6.（2009安徽文，9）設函數(shù) 其中 ，則導數(shù)f(1)的取值范圍是 （ ） A.-2，2B. ， C. ，2D. ，2 解析 由已知f(x)=sin x2+ cos x,D,二、填空題 7.如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中

17、A，B,C的坐標分別為（0，4）,（2，0）,（6， 4），則f（f（0）= ； .（用數(shù)字作答）,解析 由A（0，4），B（2，0）可得線段AB所在直 線的方程為f(x)=-2x+4 (0 x2).同理BC所在直線 的方程為f(x)=x-2 (2x6). -2x+4(0 x2), x-2(2x6), 所以f(0)=4,f(4)=2. f(1)=-2. 答案 2 -2,所以f(x)=,8.（2009福建理，14）若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 . 解析 f(x)=5ax4+ ,x(0,+), 由題知5ax4+ =0在（0，+）上有解. 即a=- 在（

18、0，+）上有解. x(0,+), (-,0). a(-,0).,(-,0),9.（2009江蘇，9）在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y=x3-10 x+3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線斜率為2，則點P的坐標為 . 解析 設P（x0,y0）(x00),由題意知 =2, =4.x0=-2,y0=15. P點的坐標為（-2，15）.,（-2，15）,三、解答題 10.求曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點的切線方程. 解 f(x)=3x2-6x+2.設切線的斜率為k. （1）當切點是原點時k=f(0)=2, 所以所求曲線的切線方程為y=2x. （2）當切點不是原點時，設切點是（x0,y0）， 則有y0= 又k= 由得 所求曲線的切線方程為,11.設t0,點P（t，0）是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.試用t表示a,b,c. 解 因為函數(shù)f(x),g(x)的圖象都過點（t,0）, 所以f(t)=0,即t3+at=0. 因為t0,所以a=-t2. g(t)=0，即bt2+c=0,所以c=ab. 又因為f(x),g(x)在點（t,0）處有相同的切線， 所以f(t)=g(t). 而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,所以3t2+a=2bt. 將a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.