第一章 行列式

1、暨大珠院,第一章 行列式,一. 行列式的基本概念,二. 行列式的性質(zhì)與計算,三. 克萊姆法則,暨大珠院,用消元法解二元線性方程組,一、二階行列式的引入,暨大珠院,方程組的解為,由方程組的四個系數(shù)確定.,暨大珠院,定義: 由四個數(shù)排成二行二列,并規(guī)定：,則 D 稱為二階行列式,（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表,暨大珠院,對于二元線性方程組,記,則二元線性方程組的解為,暨大珠院,例1,解,暨大珠院,二、三階行列式,定義：由9個數(shù)排成3行3列構(gòu)成的數(shù),稱為三階行列式.,表，并規(guī)定,暨大珠院,對 角 線 法 則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號,說明1. 對角線法則只適用于二階

2、與三階行列式,暨大珠院,系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,暨大珠院,則解為:,暨大珠院,例,解,按對角線法則，有,暨大珠院,解: 方程左端,例3,暨大珠院,例4 解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,暨大珠院,同理可得,故方程組的解為:,暨大珠院,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方 程組引入的.,三、小結(jié),暨大珠院,思考題,暨大珠院,思考題解答,解,設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為,由題意得,得一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,又,得,故所求多項(xiàng)式為,暨大珠院,定義1：由自然數(shù)1,2 , , n組成,例如：,12345,51234,53214,都是數(shù)1,2, 3 , 4 , 5的5級排列。

3、,排列與逆序,的一個有序數(shù)組稱為一個n 級排列。,暨大珠院,n個數(shù)的不同排列有n! 個。,自然排列：,按數(shù)的大小次序，由小到大排列。,n元排列中，自然排列只有一種,除此之外，任一n元排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小數(shù)前面,暨大珠院,一個排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù),稱為這個排列的逆序數(shù),定義2：,在一個排列中，若某個較大的,數(shù)排在某個較小的數(shù)前面，就稱這兩,個數(shù)構(gòu)成一個逆序。,奇排列：,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。,偶排列：,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。,暨大珠院,計算排列的逆序數(shù)的方法：,則此排列的逆序數(shù)為,數(shù)顯然沒有，記為,繼續(xù)下去，最后至數(shù)n，前面比n大的,再看有多少個比2大的數(shù)排在2前面，,記為,n個數(shù)的任一

4、n元排列，先看數(shù)1，,看有多少個比1大的數(shù)排在1前面，,記為,暨大珠院,解：,例1：求排列 32514 的逆序數(shù)。,例2：求排列 453162 的逆序數(shù)。,練習(xí)：,（1）1，3，2n1，2，4，2n,，4，2,（2） 1，3，2n1，2n， 2n2，,暨大珠院,例2 求13(2n 1)24(2n)的逆序數(shù)。 解：在該排列中，1 (2n1)中每個奇數(shù)的逆序數(shù)全為0，2的逆序數(shù)為(n 1)，4的逆序數(shù)為(n 2),，(2n 2)的逆境序數(shù)為1，2n的逆序數(shù)為0，于是該排列的逆序數(shù)為,暨大珠院,例3 在19構(gòu)成的排列中,求j、k，使排 列1 2 7 4 j 5 6 k 9為偶排列 解：由題可知， j

5、、k 的取值范圍為3，8 當(dāng) j = 3、k = 8時，經(jīng)計算可知，排列127435689的逆序數(shù)為5，即為奇排列 當(dāng) j= 8、k = 3時，經(jīng)計算可知，排列127485639的逆序數(shù)為10，即為偶排列 j = 8，k = 3,暨大珠院,例4 設(shè)排列 p1 p2 p3pn的逆序數(shù)為k，求pnp3 p2 p1的逆序數(shù) (p1 p2 p3pn是1 n的某一排列) 解： 排列p1 p2 p3pn與排列 pnp3 p2 p1的逆序數(shù)之和等于1 n 這 n 個數(shù)中任取兩個數(shù)的組合數(shù)即 ：,暨大珠院,暨大珠院,共有 n! 個 n 級排列，其中奇偶排列 各占一半。,定理1. 在n個數(shù)碼（n1)的全排列中，

6、,考慮，在 1，2，3 的全排列中,有3個偶排列：,123，231，312,有3個奇排列：,132，213，321,暨大珠院,定義3：,把一個排列中的任意兩個數(shù)交換位置，,其余數(shù)碼不動，叫做對該排列作一次,對換，簡稱對換。,將相鄰的兩個數(shù)對換，稱為相鄰對換。,暨大珠院,定理3. 任意一個排列與標(biāo)準(zhǔn)排列,奇偶性相同,都可經(jīng)過一系列對換互換，,并且所作對換的次數(shù)與這個排列的,定理 2. 對換改變排列的奇偶性,即經(jīng)過一次對換，奇排列變成偶排,列，偶排列變成奇排列,暨大珠院,一、n 階行列式的定義,1. 二級行列式,暨大珠院,2. 三級行列式,暨大珠院,觀察上述三階行列式, 尋找規(guī)律：,1. 三階行列

7、式是 3！項(xiàng)的代數(shù)和。,2. 每一項(xiàng)取自不同行、不同列的 3 個,元素的積。其任一項(xiàng)可寫成：,其中,是123的一個排列。,3.當(dāng),是偶排列時，項(xiàng),取正號；當(dāng),是奇排列時，項(xiàng),取負(fù)號。,暨大珠院,3. n 級行列式,定義： n 級行列式,素的乘積,等于所有取自不同行不同列的n 個元,的代數(shù)和，,這里,為,的排列.,每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號：,當(dāng) 為奇排列時帶負(fù)號；,當(dāng) 為偶排列時帶正號；,暨大珠院,其中,表示對所有n元排列取和.,即,暨大珠院,注:,第 i 行第 j 列的元素， i 稱為行指標(biāo)， j 稱為列指標(biāo).,3) n級行列式定義展開式中共有n！項(xiàng),1) 行列式 常簡記為 或,主對角線,副

8、對角線,暨大珠院,定義表明，計算n階行列式，首,注：,(1) 當(dāng)n=1時，一階行列式,此處,不是a的絕對值，,的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號。,序排列, 然后看第二個下標(biāo)(列標(biāo)), 所成,的元素的第一個下標(biāo)（行標(biāo)）按自然順,不同列的n個元素的乘積，把這些乘積,先必須作出所有的可能的位于不同行、,暨大珠院,例1計算行列式,暨大珠院,例2.,暨大珠院,對角形行列式,一般地,暨大珠院,上三角形行列式,下三角形行列式,類似可得：,暨大珠院,且最高次冪為 ,顯然含 的項(xiàng)有兩項(xiàng):,與,即 與,中 的系數(shù)為-1.,暨大珠院,這里 表示對所有1、2、 、 n的n級排列和,二、n 級行列式的等價定義,暨大珠院,類似

9、地，有,暨大珠院,四個結(jié)論：,(1),上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為0）,暨大珠院,(2),下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為0）,暨大珠院,(3),左上三角形行列式 （副對角線右下側(cè)元素都為0）,暨大珠院,(4),右下三角形行列式 （副對角線左上側(cè)元素都為0）,暨大珠院,三. 行列式的性質(zhì),性質(zhì)1：,行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。,稱為D的轉(zhuǎn)置行列式,暨大珠院,性質(zhì)2：,互換行列式的兩行（列），,如果行列式有兩行（列）,推論：,性質(zhì)3：,用數(shù) k 乘行列式的某一行（列）,中所有元素，等于用數(shù) k 乘此行列式。,行列式的值變號。,相同，則行列式為 0 。,暨大珠院,暨大珠院,性質(zhì)4：

10、,暨大珠院,即，如果某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個行 列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的 對應(yīng)的行一樣。,性質(zhì)4：,暨大珠院,有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一,性質(zhì)5：行列式的某一行（列）的所,行（列）對應(yīng)的元素上去，行列,式的值不變。,暨大珠院,定義：在 n 階行列式中，把元素,所在的第 i 行第 j 列劃去后，留下來,的n-1階行列式叫元素,的代數(shù)余子式。,的余子式，,記作,稱,為元素,暨大珠院,性質(zhì)6：,暨大珠院,性質(zhì)7：,行列式任一行（列）的元素與,另一行（列）的對應(yīng)元素的代,數(shù)余子式乘積之和等于零，即,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,該行列

11、式稱為n階范德蒙 (Vandermonde)行列式,暨大珠院,證：從第n行開始，后行減去前行的 倍,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,一. Cramer 法則,1. Cramer 法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，,暨大珠院,即,則線性方程組(1)有唯一解，,暨大珠院,其中,是把系數(shù)行列式,中第,列的,元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所,得到的,階行列式，即,暨大珠院,Cramer法則僅適用于：,注:,（1）方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等，,（ 2）系數(shù)行列式不等于零的情形。,暨大珠院,定理1：,如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式,則(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2：,如果線性方程組(1)無解或有兩個,不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,暨大珠院,非齊次與齊次線性方程組的概念:,線性 方程組,此時稱方程組為齊次線性方程組。,則稱此方