二叉樹定價(jià)模型

1、,六. 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型,Ch 6 期權(quán)類工具,Section 2 期權(quán)定價(jià)與計(jì)算,二叉樹模型的基本思想,（1）衍生證券的價(jià)值是基于標(biāo)的資產(chǎn)(或股票)的價(jià)值所以在計(jì)算資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格時(shí),可以先從資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)入手； （2）假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的（risk neutral）,即投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要求補(bǔ)償,對(duì)所有的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券而言,他們的預(yù)期收益為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； （3）假設(shè)沒有套利空間.,1CRR二叉樹模型,把期權(quán)的存續(xù)期分成許多小的等長(zhǎng)時(shí)間段,記作t,并假設(shè)期權(quán)價(jià)格存存在上升與下降兩種可能性,上升與下降的比率分別為u和d,對(duì)應(yīng)概率分別為p和（1-p）. 例13股票價(jià)格為52,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為10%,期權(quán)距離

2、到期日為5個(gè)月,股票波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,歐式看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)為52.假設(shè)將時(shí)間離散為5個(gè)相等的時(shí)間段,利用二叉樹模型估計(jì)看跌期權(quán)的價(jià)格. 第一步:確定p,u,和d參數(shù). 假設(shè)股份初始價(jià)格為S,如果投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),經(jīng)過t后價(jià)值變?yōu)镾et,股票收益期望為: Set=pSu+(1-p)Sd 整理為: et=pu+(1-p)d (公式6-1),（1）CRR二叉樹原理及excel歐式期權(quán)算法,假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布郎運(yùn)動(dòng),有: 則有資產(chǎn)方差: D(S)= 2S2t 該方差必須和離散模型中的資產(chǎn)方差相等.離散資產(chǎn)方差根據(jù)公式D(X)=EX2-(EX)2,于是有: 2S2t=pS2u2+(1-p)S2d2

3、-S2pu+(1-p)d2 整理,得到: 2t=pu2+(1-p) d2- pu+(1-p)d2 (公式6-2) 假設(shè)u的d滿足如下的關(guān)系:u=1/d (公式6-3) 出以解出:,(公式6-4),et=pu+(1-p)d (公式6-1),如果是外匯期權(quán), (公式6-4),r表示國(guó)內(nèi)利率,r*表示國(guó)外利率,(公式6-5),(公式6-6),對(duì)于本例中的參數(shù):,(公式6-4),第二步: 二叉樹構(gòu)建各期資產(chǎn)價(jià)格.,當(dāng)時(shí)間為0時(shí),證券價(jià)格為S,經(jīng)過t時(shí)間后,證券價(jià)格可能上升到Su,也可能下降到Sd；從t到2t時(shí),證券Su可能上升到Suu,也可能下降到Sud,而Sd可能上升到Sdu（=Sud）,也可能下降

4、到Sdd, 如圖所示.以此類推.,t0,t,2t,3t,S,Su,Sd,Su2,Sud,Sd2,Su3,Su2d,Sud2,Sd3,資產(chǎn)價(jià)格二叉樹,在時(shí)間it,資產(chǎn)價(jià)格有i+1種可能,可表示為:Sujdi-ji=0,1,2,Nj=i, i-1,i-2,0,(j,i),(0,1),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),u的指數(shù),d的指數(shù),為了方便在excel中計(jì)算,我們把上圖的圖形變形成下面的形狀,例14:接上例,資產(chǎn)初始價(jià)格為52,請(qǐng)畫出五步二叉樹的各期資產(chǎn)價(jià)格圖. 解:可以用excel計(jì)算出各期價(jià)格:,利用excel計(jì)算出

5、的各期資產(chǎn)價(jià)格,股票價(jià)格為52,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為10%,期權(quán)距離到期日為5個(gè)月,股票波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,歐式看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)為52.假設(shè)將時(shí)間離散為5個(gè)相等的時(shí)間段,利用二叉樹模型估計(jì)看跌期權(quán)的價(jià)格.,實(shí)際上是個(gè)三角矩陣,可以把上面的表格寫成下面的形式,就可以看出二叉樹變成了上三角矩陣,整理成二叉樹形式,第三步:根據(jù)各期資產(chǎn)價(jià)格二叉樹倒推出期權(quán)定價(jià),對(duì)于第N+1列(注意列號(hào)從1開始至N+1),各節(jié)的價(jià)值fN+1,j是: 看漲:fN+1,j=max(0,SujdN-j-K),看跌:fN+1,j=max(K-SujdN-j,0), 其中:j=N+1,N, N-1,N-2,.0. 對(duì)于第N列以前的所

6、有列,如其中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)（i,j）,從節(jié)點(diǎn)（i,j）移動(dòng)到（i+1,j+1）的概率為p,移動(dòng)到（i+1,j+2）的概率為(1-p),在風(fēng)險(xiǎn)中性的情況下,節(jié)點(diǎn)（i,j）的價(jià)值f(i,j)為: f(i,j)=e-rt * p*f(i+1,j+1)+(1-p)f(i+1,j), 0iN,0ji (公式6-7) 按上面的方法,從第N+1列開始到第1列遍歷二叉樹,得到的第（1,1）個(gè)節(jié)點(diǎn)的值就是期權(quán)的價(jià)格. 可以理解的是,如果選擇的時(shí)間間隔足夠小時(shí),就可以求出歐式期權(quán)的精確值.,上面是用excel求出例13或例14中的期權(quán)價(jià)格.這里就不再畫樹形圖了.具體過程,見文件:二叉樹求歐式期權(quán).xls,注意:在上面

7、求p及f(i,j)等公式中,用到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是連續(xù)復(fù)利,如果給出的是單利,則應(yīng)用(1+r*t)代替ert, 用1/(1+r*t)代替e-rt. 例15 有一份歐式股票看漲期權(quán),其執(zhí)行價(jià)格為21美元,存續(xù)期為3個(gè)月.資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)為20美元,在未來(lái)3個(gè)月內(nèi)其價(jià)格可能上漲到22美元或下降到18美元.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為12%（單利）.請(qǐng)用單步二叉樹模型求出該看漲期權(quán)的價(jià)值和看跌期權(quán)的價(jià)值. 解:由題設(shè)知,S=20, Su=22, Sd=18, r=0.12, t=0.25,這時(shí)計(jì)算資產(chǎn)上漲的概率p的公式應(yīng)改為:,注 意,u=22/20=1.1, d=18/12=0.9,所以 f(1,0)=max(0,22-21

8、), f(0,1)=max(0,18-21)=0 所以該歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為: 所以該歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為:,22,c,f漲(1,0)=max(0, 22-21)=1,18,f漲(0,1)=max(0, 18-21)=0,f跌(1,0)=max(0, 21-22)=0,f跌(1,0)=max(0, 21-18)=3,(i+1,j+1),(i+1,j+2),(i+2,j+2),作 業(yè),把例15用二步二叉樹和三步二叉樹分別計(jì)算其看漲與看跌期權(quán)的價(jià)格.還是按單利算.可以用excel計(jì)算.,（2）matlab計(jì)算期權(quán)的二叉樹方法, 調(diào)用現(xiàn)有函數(shù) Matlab中計(jì)算歐式期權(quán)的CRR二叉樹模型函數(shù)為bin

9、price. 調(diào)用方式: AssetPrice, OptionValue = binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv) 輸入?yún)?shù): Increment:時(shí)間的增量,即t,即步長(zhǎng) Flag:期權(quán)的種類,Flag=1表示看漲,0表示看跌 DividentRate:（optional）紅利發(fā)放率,默認(rèn)值為0,表示沒有紅利,如果給出了紅利率,則Dividend值為0 Dividend（optional）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)外的紅利金額,默認(rèn)值是0,如果Divide

10、nd不為0,則DividendRate=0 ExDiv（optional）標(biāo)的資產(chǎn)的除息日期. 可以理解為紅利發(fā)放日至期權(quán)起始日之間的天數(shù),但是表示與increment（t）的倍數(shù).,輸出參數(shù): Price二叉樹每個(gè)節(jié)點(diǎn)的價(jià)格,是一個(gè)N+1方陣.其中Price(1,1)就是期權(quán)的價(jià)格. Option期權(quán)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的現(xiàn)金流 例16:股票價(jià)格為52元,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為10%,期權(quán)存續(xù)期為5個(gè)月,波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,在3個(gè)半月（折合時(shí)間倍數(shù)為3.5）發(fā)放紅利2.06元.歐式看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為50,請(qǐng)用二叉樹模型估計(jì)該看跌期權(quán)的價(jià)格. 解: Price,Option=binprice(52, 50,

11、 0.1, 5/12, 1/12, 0.4, 0, 0, 2.06, 3.5) Price = 52.0000 58.1367 65.0226 72.7494 79.3515 89.0642 0 46.5642 52.0336 58.1706 62.9882 70.6980 0 0 41.7231 46.5981 49.9992 56.1192 0 0 0 37.4120 39.6887 44.5467 0 0 0 0 31.5044 35.3606 0 0 0 0 0 28.0688,Price = 52.0000 58.1367 65.0226 72.7494 79.3515 89.064

12、2 0 46.5642 52.0336 58.1706 62.9882 70.6980 0 0 41.7231 46.5981 49.9992 56.1192 0 0 0 37.4120 39.6887 44.5467 0 0 0 0 31.5044 35.3606 0 0 0 0 0 28.0688 Option = 4.4404 2.1627 0.6361 0 0 0 0 6.8611 3.7715 1.3018 0 0 0 0 10.1591 6.3785 2.6645 0 0 0 0 14.2245 10.3113 5.4533 0 0 0 0 18.4956 14.6394 0 0

13、0 0 0 21.9312 所以該看跌期權(quán)的價(jià)格為4.4404元.,？一個(gè)有趣的發(fā)現(xiàn),可以看出Price矩陣與excel算出來(lái)的是一樣的,但是option矩陣就與excel有很大的不同.這是為什么？ 經(jīng)過N次編程計(jì)算,我終于搞明白了,原來(lái):默認(rèn)情況下,matlab是保留四位小數(shù)計(jì)算出結(jié)果的,而excel則保留了一切小數(shù).所以實(shí)際上excel計(jì)算更為精確,但是在金融界人們用matlab更多更容易,反而以matlab為準(zhǔn)了., 編程計(jì)算歐式期權(quán)的價(jià)格,例18:已知股票當(dāng)前價(jià)格為52,歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)為50,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.1,股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2,請(qǐng)自編一個(gè)函數(shù)計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格. 解:總的

14、思路是先編寫一個(gè)二叉樹方法歐式看漲期權(quán)定價(jià)的函數(shù),然后在命令行調(diào)用該函數(shù)即可. 具體說(shuō)來(lái): Step 1:在獲得輸入的各種參數(shù)（如現(xiàn)價(jià)S0,協(xié)議價(jià)K,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r,存續(xù)期T,波動(dòng)率sigma,二叉樹的步數(shù)等）之后,首先要求出t,上升比率及概率u和p,下降比率d和(1-p).由于二叉樹在程序中實(shí)際上是上(n+1)*(n+1)三角矩陣,所以要用一個(gè)(n+1)*(n+1)零矩陣初始化期權(quán)各節(jié)點(diǎn)價(jià)值的二叉樹矩陣（假設(shè)為lattic),Step 2: 由于二叉樹的定價(jià)是從矩陣的最后一列,即第N+1列倒推到第1列,所以我們要把剛才初始化的矩陣的第N+1列的節(jié)點(diǎn)價(jià)值求出來(lái),可以用公式max(0, SuN-j

15、dj-K) (j=0,1,2.N) 表示這一列.可以利用這個(gè)公式對(duì)期權(quán)價(jià)格矩陣的最后一列賦值. Step 3: 用兩層循環(huán)求出期權(quán)價(jià)格矩陣.外循環(huán)（j循環(huán)）控制列,當(dāng)然是從第N行開始到第1行,內(nèi)循環(huán)（i循環(huán)）利用公式6-7計(jì)算出第j列各行的價(jià)值. Step 4: 寫出輸入變量.期權(quán)價(jià)格price就是lattic（1,1）. 具體細(xì)節(jié)見程序.,functionPrice,Lattice = eucall_lattice(S,K,r,T,sigma,N) %看漲期權(quán)二叉樹定價(jià)自編函數(shù) %輸入?yún)?shù) %S0股票/資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格 %K看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格 %r無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 %sigma股票/資產(chǎn)的年波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)差

16、 %N時(shí)間離散的步數(shù) %輸出參數(shù) %Price期權(quán)的價(jià)格 %Lattice期權(quán)價(jià)格二叉樹 %吳義能 2011-03-06重新修訂 %,dt=T/N; u=exp(sigma*sqrt(dt); d=1/u;(i+1,j+1)(i+1,j+2)(i+2,j+2) p=(exp(r*dt)-d)/(u-d); lattic=zeros(N+1,N+1); j=0:N; lattic(:,N+1) = max(0,S*u.(N-j).*d.j -K); for j=N-1:-1:0 for i=0:j lattic(i+1,j+1) =exp(-r*dt)*(p*lattic(i+1,j+2)+(1

17、-p)*lattic(i+2,j+2); end end Price=lattic(1,1); Lattice=lattic;,（3）三叉樹模型及matlab編程,在三叉樹模型中,資產(chǎn)價(jià)格在每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三種變化形式,即上升,不變和下降（上、中、下）三種形式. 相應(yīng)的概率為:,m=1,pm=2/3,由圖可見三叉樹第N+1列的各節(jié)點(diǎn)可以表示為:SuN-i, (i=0,1, 2n)三叉樹從第1列到第N+1列的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為:1,3,5,7,.（2n+1）可知三叉樹矩陣有2n+1行,n+1列.如果按矩陣中的三叉樹,各節(jié)的點(diǎn)的價(jià)值為:,S,S,S,S,Sd,Sd,Sd=Su-1,Su,Su,Su,Su2,S

18、u2,Sd2,Sd2=Su-2,Sd3=Su-3,Su3,三步三叉樹示意圖,例18 請(qǐng)編寫三叉樹歐式期權(quán)價(jià)格函數(shù),并以例17的數(shù)據(jù)試運(yùn)行. functionPrice,Lattice = TriEuOp_lattice(S,K,r,T,sigma,N,Flag) %三叉樹求解歐式期權(quán) %輸入?yún)?shù) %S 股票/資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格 %K 看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格 %r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 % T 期權(quán)存續(xù)期 %sigma 股票/資產(chǎn)的年波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)差 %N 時(shí)間離散的步數(shù) % Flag 期權(quán)類型, 0表示歐式看漲期權(quán),1表示歐式看跌期權(quán) %輸出參數(shù) %Price期權(quán)的價(jià)格 %Lattice期權(quán)價(jià)格二叉樹 %吳義能 201

19、1-03-06重新修訂 %,dt=T/N; u=exp(sigma*sqrt(3*dt); d=1/u; pu=sqrt(dt/(12*sigma2)*(r-sigma2/2)+1/6; pm=2/3; pd=-sqrt(dt/(12*sigma2)*(r-sigma2/2)+1/6; lattic=zeros(2*N+1,N+1); % 下面計(jì)算第N+1列(最后一列的資產(chǎn)價(jià)格) j=0:2*N; if Flag=0 % 如果是看漲期權(quán),節(jié)點(diǎn)價(jià)值用max(0, ST-K),節(jié)點(diǎn)通式為Su(N-j), (j=0,1, 2n) lattic(:,N+1) = max(0,S*u.(N-j) -K)

20、; elseif Flag=1 lattic(:,N+1) = max(0,K-S*u.(N-j);% 如果是看跌期權(quán),節(jié)點(diǎn)價(jià)值用max(0, K-ST) end,% 下面遍歷三叉樹 for j=N-1:-1:0 for i=0:2*j lattic(i+1,j+1) =exp(-r*dt)*pu*lattic(i+1,j+2)+pm*lattic(i+2,j+2)+pd*lattic(i+3,j+2); end end Price=lattic(1,1); Lattice=lattic;,運(yùn)行:看漲期權(quán)的價(jià)格: Price, Lattice=TriEuOp_lattice(52,50, 0.

21、1, 0.5, 0.2,5,0) Price = 5.5726 Lattice = 5.5726 10.1763 16.2158 23.2170 31.0887 39.9241 0 4.9939 9.6215 15.7229 22.7268 30.5938 0 1.7804 4.3761 9.0628 15.2324 22.2316 0 0 1.3197 3.7010 8.5157 14.7370 0 0 0.2255 0.8556 2.9334 8.0200 0 0 0 0.0809 0.4023 2.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

22、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,看跌期權(quán)的價(jià)格: Price, Lattice=TriEuOp_lattice(52,50, 0.1, 0.5, 0.2,5,1) Price = 1.1423 Lattice = 1.1423 0.2032 0.0073 0 0 0 0 1.0400 0.1292 0 0 0 0 3.2212 0.9033 0.0564 0 0 0 0 3.2418 0.7142 0 0 0 0 6.9828 3.2639 0.4375 0 0 0 0 7.3245 3.3017 0 0 0 0 11.5772 7.7348 3.3954 0 0 0 0 12.068

23、5 8.2310 0 0 0 0 15.9526 12.5648 0 0 0 0 0 16.4490 0 0 0 0 0 19.9302,二叉樹,三叉樹及Black-Scholes模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較:,（4）美式期權(quán)二叉樹模型,假設(shè)在節(jié)點(diǎn)第N列以前的一個(gè)節(jié)點(diǎn)(i,j),首先我們看期權(quán)不提前執(zhí)行的價(jià)值,不提前執(zhí)行的價(jià)值和歐式期權(quán)相等,可以記作fu(i,j), fu (i,j)還是可以由后面兩個(gè)節(jié)點(diǎn)期望值的貼現(xiàn)而來(lái)；然后看提前執(zhí)行的價(jià)值f(i,j),如果是看漲期權(quán)f(i,j)=S-K,如果是看跌期權(quán)f(i,j)= K-S.最后,美式期權(quán)在節(jié)點(diǎn)(i,j)的價(jià)值為: f(i,j)=max(S-K)

24、, fu(i,j),例19:一只不分紅的股票的現(xiàn)價(jià)為37美元.在接下來(lái)的兩年里,每年股份要么上升5%,要么下降5%.連續(xù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為7%.請(qǐng)用三步二叉樹方法計(jì)算期限為兩年,執(zhí)行價(jià)格為38美元的美式看跌期權(quán)的價(jià)值.,解:注意本題說(shuō)股價(jià)要和上漲5%,要么下降 5%. 表示u=1+5%,d=1-5%.并不滿足ud=1 三步二叉樹的各節(jié)點(diǎn)如圖:ert=e0.070.25=1.0177 資產(chǎn)上升概率p為: 先求節(jié)點(diǎn)（2,1）的價(jià)值,節(jié)點(diǎn)（2,1）的股票價(jià)格大于38,故執(zhí)行看跌期權(quán)的收益為0,因?yàn)椴粦?yīng)提前執(zhí)行.所以該節(jié)點(diǎn)的價(jià)值f (2,1)為: f (2,1)u(2,1)=0.3473 再求節(jié)點(diǎn)（2,2

25、）的價(jià)值: 節(jié)點(diǎn)（2,2）提前執(zhí)行的價(jià)值f(2,2)為:f(2,2)=2.85 f(2,2) fu(2,2), f(2,2)= f(2,2)=2.85 最后求出t0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格為: P=e-rtp*f(2,1)+(1-p)*f(2,2) =0.67654*0.3473+(1-0.67654)*2.85/1.0177=1.1368（美元） 即該美式看跌期權(quán)的價(jià)格約為1.1368美元.,例20:考慮一個(gè)外匯平值看漲期權(quán),即期價(jià)為100美元,執(zhí)行價(jià)格也為100美元.存續(xù)期為6個(gè)月,年波動(dòng)率為=20%,國(guó)內(nèi)利率r=5%,國(guó)外利率r*=8%. 請(qǐng)用excel計(jì)算該情況下,美式看漲期權(quán)與歐式看漲期權(quán)的價(jià)

26、格.請(qǐng)用四步二叉樹. 解:如下表所示,例21 無(wú)收益美式期權(quán)二叉樹自編函數(shù). functionPrice,Lattice = BinAmOp_lattice(S,K,r,T,sigma,N,Flag) %無(wú)收益美式看漲期權(quán)二叉樹定價(jià)自編函數(shù) %輸入?yún)?shù) %S0 股票/資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格 %K 看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格 %r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 %sigma股票/資產(chǎn)的年波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)差 %N 時(shí)間離散的步數(shù) % Flag 期權(quán)的標(biāo)志,0表示看漲,1表示看跌 %輸出參數(shù) %Price期權(quán)的價(jià)格 %Lattice期權(quán)價(jià)格二叉樹,dt=T/N; u=exp(sigma*sqrt(dt); d=1/u; p=(exp(r*dt

27、)-d)/(u-d); asset=zeros(N+1,N+1); % 資產(chǎn)價(jià)格矩陣 carry=zeros(N+1,N+1); % 美式期權(quán)提前執(zhí)行所獲收益 lattic=zeros(N+1,N+1); % 各節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值的矩陣 % 下面算出各節(jié)點(diǎn)資產(chǎn)價(jià)格 for i=1:N+1 for j=1:i asset(j,i)= S*u.(i-j).*d.(j-1 ); end end % asset是資產(chǎn)價(jià)格矩陣,% 下面計(jì)算提前執(zhí)行收益矩陣 if Flag=0 % 如果是看漲期權(quán) carry=max(0,asset-K); elseif Flag=1 % 如果是看跌期權(quán) for i=1:N+1 % 注意不能簡(jiǎn)單地用carry=max(0,K-asset),因?yàn)榫仃囍杏行┕?jié)點(diǎn)的值是0,就