第一章--有限單元法的簡要介紹和發(fā)展歷史.ppt

1、有限單元法FINITE ELEMENT METHOD 主講：江巍2015年春季學(xué)期,參 考 書 目,1王勖成,邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法. 清華大學(xué)出版社 2周中堅(jiān),盧耀祖.機(jī)械與機(jī)械結(jié)構(gòu)的有限元分析. 同濟(jì)大學(xué)出版社 3朱伯芳.有限單元原理及其應(yīng)用. 中國水利水電出版社 4蔣孝煜.有限元法基礎(chǔ). 清華大學(xué)出版社 5徐芝綸.彈性力學(xué)簡明教程. 高等教育出版社,主要有德國的ASKA； 英國的PAFEC； 法國的SYSTUS； 美國的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、SAP90、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。,商

2、業(yè) 軟 件,第一章 有限單元法發(fā)展歷史和簡要介紹,18世紀(jì)末，歐拉在創(chuàng)立變分法的同時(shí)就曾用與現(xiàn)代有限元相似的方法求解軸力桿的平衡問題 1943年Courant用最小勢(shì)能原理和現(xiàn)代有限元法中的線性三角元求解st Venant彈性扭轉(zhuǎn)問題 1952_1853期間，R.W.Clough和 M.J.Turner在分析三角翼振動(dòng)問題時(shí)，提出了把平面平面應(yīng)力三角形板組合起來表達(dá)機(jī)翼剛度方法，當(dāng)時(shí)稱為直接剛度法。 1956年M.J.Turner ，R.W.Martin,L.J.Toop在紐約舉行的航空年會(huì)上發(fā)表論文復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度和變形分析 1960年R. W. Clough在論文平面應(yīng)力分析的有限單元法中

3、,首次提出了有限單元, ，他因此被稱為“有限單元之父” 。 Journal of Applied Mechanics許多年都拒絕刊登關(guān)于有限元方法的文章 。,發(fā) 展 歷 史 之 啟 蒙,我國已故著名計(jì)算數(shù)學(xué)專家馮康教授也獨(dú)立創(chuàng)立了有限元法，為什么這么說呢？這是由我國當(dāng)時(shí)特定的歷史環(huán)境所決定的。曾經(jīng)有很長一段時(shí)間，我國的學(xué)術(shù)界處于與世隔決的狀態(tài)。正因如此，他的工作才得到了全世界的承認(rèn)。他最初提出這個(gè)方法時(shí)，并不知道“有限元”這個(gè)名詞，因此他將自己的方法稱之為“基于變分原理的差分格式”。,發(fā) 展 歷 史 之 啟 蒙,眾多數(shù)學(xué)家的加盟使得有限元進(jìn)入黃金發(fā)展階段。 有限元方法的理論和程序主要來自各個(gè)高

4、校和實(shí)驗(yàn)室 Berkeley的Ed Wilson發(fā)布了第一個(gè)程序，第一代的程序沒有名字，第二代線性程序就是著名的SAP(structural analysis program)，非線性程序就是NONSAP。 位于洛杉磯的MSC公司自1963創(chuàng)立并開發(fā)了結(jié)構(gòu)分析軟件SADSAM，在NASA項(xiàng)目資助下MSC于1971年推出自己的專利版本MSC.Nastran。 第一批非線性有限元方法的主要貢獻(xiàn)者有Argyris(1965)，Marcal和King(1967)，其中Pedro Marcal畢業(yè)于Berkeley大學(xué)，任教于Brown大學(xué)，于1969年創(chuàng)建了第一家非線性有限元軟件公司MARC公司，在1

5、999年被MSC公司收購。,發(fā) 展 歷 史 之 誕 生,K.J. Bathe（導(dǎo)師Ed Wilson），MIT任教，在NONSAP的基礎(chǔ)上發(fā)表了著名的非線性求解器ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)，其源代碼因?yàn)殚L時(shí)期廣泛流傳而容易獲得。 David Hibbitt （導(dǎo)師Pedro Marcal），在1972年與Karlsson和Sorensen共同建立HKS公司，推出了Abaqus軟件。Abaqus憑借強(qiáng)大的技術(shù)、出色的前后處理和可拓展的二次開發(fā)功能，穩(wěn)占高校和研究所的市場，論文發(fā)表數(shù)量多。 John Swanso

6、n博士在Westinghouse公司為核能應(yīng)用方面發(fā)展了一個(gè)非線性有限元程序(主要是關(guān)注非線性材料)，于1970年創(chuàng)建SASI(Swanson Analysis System,Inc)公司，后來重組更名為ANSYS公司，ANSYS是著名的多物理材料非線性有限元軟件，通過并購發(fā)展迅速壯大，模塊越來越多，商業(yè)化程度和市場占有率很高。,發(fā) 展 歷 史 之 崛 起,）,與其它課程的關(guān)系,各門課程的任務(wù),材料力學(xué)：研究桿狀構(gòu)件在拉壓，剪切，彎曲，扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力和位移。 結(jié)構(gòu)力學(xué)：在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu) 例如，行架，剛架等，這些都是所謂的桿件系統(tǒng)。 彈性力學(xué)：非桿狀結(jié)構(gòu)，例如板和水壩，

7、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)以及對(duì)桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步，較精確的分析。它與材料力學(xué)的研究方法不同，主要是在材力中引入了構(gòu)件形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假設(shè) ，使數(shù)學(xué)推導(dǎo)大大簡化，其解是理論解（近似的），而彈性力學(xué)則更精確一些。 計(jì)算力學(xué)：是應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)，彈性力學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)學(xué)的一個(gè)結(jié)合，提供近似的數(shù)值計(jì)算方法，解決問題，而有限元法是其中的一種方法。 上述各種方法最終目標(biāo)是確立研究對(duì)象的應(yīng)力，形變和位移， 用以校核其是否有所需要的強(qiáng)度和剛度。,關(guān)于有限元法 英文縮寫FEM（Finite Element Method） 應(yīng)用中習(xí)慣稱有限元分析 是一種連續(xù)結(jié)構(gòu)離散化數(shù)值計(jì)算方法，借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)而解

8、決工程技術(shù)問題 FEM與CAE CAE計(jì)算機(jī)輔助工程（Computer Aided Engineering） CAE范圍更廣，還包含其它工程分析方法,基本思想,基本思想,將一個(gè)連續(xù)的求解域（連續(xù)體）離散化即分割成彼此用節(jié)點(diǎn)（離散點(diǎn)）互相聯(lián)系的有限個(gè)單元，在單元體內(nèi)假設(shè)近似解的模式，用有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)表征單元的特性，然后用適當(dāng)?shù)姆椒?，將各個(gè)單元的關(guān)系式組合成包含這些未知參數(shù)的代數(shù)方程，得出個(gè)結(jié)點(diǎn)的未知參數(shù)，再利用插值函數(shù)求出近似解。是一種有限的單元離散某連續(xù)體然后進(jìn)行求解得一種數(shù)值計(jì)算的近似方法。 由于單元可以被分割各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好的適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀，復(fù)雜的材料特性

9、和復(fù)雜的邊界條件，再加上它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，使它已成為一種非常受歡迎的，應(yīng)用極廣的數(shù)值計(jì)算方法。,操作流程,位移型有限元法求解靜力問題的一般步驟： ）劃分單元； ）計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚕?）進(jìn)行載荷移置； ）引入約束，解方程組求得位移； ）計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。 注：若以節(jié)點(diǎn)力為未知參數(shù)，先求出節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力，后求位移與應(yīng)力的方法，稱為力型有限元法。,操作流程,結(jié)構(gòu)離散化： 1）劃分網(wǎng)格； 2）載荷移置； 3）簡化約束。 單元?jiǎng)偠染仃嚺c剛度系數(shù)： 1）單元?jiǎng)偠染仃囄锢硪饬x為單元抵抗變形的能力； 2）剛度系數(shù)的物理意義是產(chǎn)生單位位移時(shí)需要的力的大小。,mm2 ，,mm2 ，,mm,MPa,kN,N

10、,試計(jì)算應(yīng)力。,分析過程如下：,1離散化,將桿劃分為兩個(gè)單元的集合,共有三個(gè)節(jié)點(diǎn),簡單實(shí)例,2確定單元位移模式（即單元位移函數(shù)）,單元e 的內(nèi)部，位移按線性規(guī)律變化，即,(1),本例中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)自由度，對(duì)單元及節(jié)點(diǎn)自由度進(jìn)行編號(hào),簡單實(shí)例,任取一個(gè)單元e作為考察對(duì)象，確定位移函數(shù)中系數(shù)a,b,在有限元分析過程中，為方便起見，通常使用兩套不同的坐標(biāo)系。,一是整個(gè)結(jié)構(gòu)的參照系oxyz，稱為整體坐標(biāo)系,另一套坐標(biāo)o x y z 建立在每個(gè)單元上，坐標(biāo)原點(diǎn)和指向都隨單元而變，這種只對(duì)單元有效的坐標(biāo)系，稱為局部坐標(biāo)系(local coordinate system)。,簡單實(shí)例,簡單實(shí)例,任意常數(shù)

11、a、b由單元e內(nèi) 兩節(jié)點(diǎn)i、j的位移值確定， 即：,i節(jié)點(diǎn)：,j節(jié)點(diǎn)：,求得：,(2),代入位移函數(shù)：,為確定系數(shù)a,b， 本例使用如圖 局部坐標(biāo)系統(tǒng),簡單實(shí)例,得到單元e內(nèi)任意一點(diǎn)x的位移表達(dá)式為,形狀函數(shù)或形函數(shù),單元節(jié)點(diǎn)位移矢量,簡單實(shí)例,(3),3推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧?jié)點(diǎn)荷載,單元?jiǎng)偠染仃嚳捎勺钚?shì)能原理導(dǎo)出,其中，單元內(nèi)力所做的虛功：,整個(gè)結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能 為,簡單實(shí)例,(4),(5),依據(jù)彈性力學(xué)位移與應(yīng)變的關(guān)系得,簡單實(shí)例,(6),根據(jù)虎克定律：,代入單元內(nèi)力虛功表達(dá)式，得到,將,代入上式，得到,改寫為,簡單實(shí)例,(7),積分，得,用矩陣寫成,其中，,單元?jiǎng)偠染仃?這里,簡單實(shí)例,

12、(8),單元外力所做虛功為,單元節(jié)點(diǎn)荷載,簡單實(shí)例,(9),在荷載作用下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。,則，整個(gè)結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能 為,則由最小勢(shì)能原理,，i = 1 , 2 , 3,簡單實(shí)例,(10),即：,若將最小勢(shì)能原理用于單個(gè)單元， 則得到任一單元的平衡條件為,簡單實(shí)例,(11),4組集總體剛度矩陣和荷載矢量,將 (8) 式中的單元?jiǎng)偠染仃?將式( 9 )中的單元節(jié)點(diǎn)荷載矩陣,組集成整體節(jié)點(diǎn)荷載矩陣,最后得到系統(tǒng)的整體平衡方程,整體剛度矩陣,節(jié)點(diǎn)位移,節(jié)點(diǎn)荷載,簡單實(shí)例,組集成整體剛度矩陣,(12),首先根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計(jì)算各單元?jiǎng)偠染仃?單元1：,簡單實(shí)例,單元2：,簡單實(shí)例,組集（對(duì)號(hào)入座）,簡單實(shí)例,節(jié)點(diǎn)力矢量為：,所以，總平衡方程為,簡單實(shí)例,5約束處理,、,從數(shù)學(xué)上來說，矩陣,所以得不到未知的位移分量。,具有奇異性（行列式的值為零），不可求逆，,為此，必須引入幾何邊界條件，對(duì)方程進(jìn)行修改。,簡單實(shí)例,本例節(jié)點(diǎn)1不能移動(dòng)，即,這里采用,主對(duì)角元置1法,的元素改為零，主對(duì)角元素改為1；,對(duì)應(yīng)的行和列（本例為第一行、第一列）,對(duì)應(yīng)的行（未知