平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其遍歷性

1、.,1,.,2,隨機(jī)過(guò)程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類, 嚴(yán)格地說(shuō), 所有信號(hào)都是非平穩(wěn)的, 但是, 平穩(wěn)信號(hào)的分析要容易得多, 而且在電子系統(tǒng)中, 如果產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的主要物理?xiàng)l件在時(shí)間的進(jìn)程中不改變, 或變化極小, 可以忽略, 則此信號(hào)可以認(rèn)為是平穩(wěn)的. 如接收機(jī)的噪聲電壓信號(hào), 剛開機(jī)時(shí)由于元器件上溫度的變化, 使得噪聲電壓在開始時(shí)有一段暫態(tài)過(guò)程, 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后, 溫度變化趨于穩(wěn)定, 這時(shí)的噪聲電壓信號(hào)可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。,.,3,一 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,1 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(Strictly Stationary Process),(1) 定義,如果隨機(jī)過(guò)程的任意n維分布不隨時(shí)間起點(diǎn)變化，即當(dāng)時(shí)間

2、平移時(shí)，其任意的n維概率密度不變，則稱是嚴(yán)（格）平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程 或稱為狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)上式來(lái)判定過(guò)程的平穩(wěn)性是很不容易的，因此在實(shí)際中往往不需要所有時(shí)間都平穩(wěn)，只要觀測(cè)的有限時(shí)間平穩(wěn)就行了。,.,4,(2) 特性,一階平穩(wěn)(n=1) 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān),時(shí)，對(duì)于一維概率密度有：,.,5,隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值，均方值和方差都是平穩(wěn)的,都與時(shí)間t無(wú)關(guān),.,6,.,7,.,8,.,9,.,10,實(shí)際中，要確定一個(gè)對(duì)一切n都成立的隨機(jī)過(guò) 程概率密 度函數(shù)族是十分困難的，因而在工程中往往根據(jù)實(shí)際需要只 在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮平穩(wěn)過(guò)程問(wèn)題。 相關(guān)理論：只限于研究

3、隨機(jī)過(guò)程一階和二階矩的理論。 即研究隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度等。 隨機(jī)過(guò)程的一、二矩函數(shù)雖然不能像多維概率密度函數(shù) 那樣全面的描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，但它們?cè)谝欢ǔ潭壬?相當(dāng)有效的描述了隨機(jī)過(guò)程的重要特性。 （1）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程表示噪聲電壓，一、二矩函數(shù)可以 表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參 數(shù)。 （2）工程中常見的隨機(jī)過(guò)程是高斯過(guò)程，只要知道數(shù) 學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，則多維概率密度函數(shù)就確定了。,.,11,2 寬(廣義)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(Weakly Stationary Process),.,12,為什么要研究寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程?,隨機(jī)過(guò)程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類,

4、 嚴(yán)格地說(shuō), 所有信號(hào)都是非平穩(wěn)的, 但是, 在自然界和實(shí)際應(yīng)用中許多隨機(jī)過(guò)程可以近似為平穩(wěn)信號(hào)。且平穩(wěn)信號(hào)分析要容易得多，理論成熟，是隨機(jī)信號(hào)分析的基礎(chǔ)。 物理規(guī)律或統(tǒng)計(jì)結(jié)果與隨機(jī)試驗(yàn)的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，輸入寬平穩(wěn)，輸出也寬平穩(wěn)。,.,13,.,14,例 設(shè)隨機(jī)過(guò)程Z(t)=Xcost+Ysint，-t 。其中 X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 且分別以概率 2/3、1/3取值-1和2。 試討論隨機(jī)過(guò)程Z(t)的平 穩(wěn)性。,.,15,解,.,16,Z(t)是廣義平穩(wěn)的。,.,17,Z(t)不是嚴(yán)格平穩(wěn)的。,.,18,例 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的隨機(jī)變量。試問(wèn)X

5、(t)是否平穩(wěn)？,.,19,.,20,二 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征。 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，經(jīng)中心化后為零，所以基本的數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。 相關(guān)函數(shù)不僅僅展示隨機(jī)過(guò)程各隨機(jī)變量(狀態(tài))間關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也為隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息的工具。 要求： (1)根據(jù)圖形或表達(dá)式判斷一個(gè)函數(shù)是否是廣義平穩(wěn) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)； (2)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過(guò)程其它數(shù)字特征。,.,21,.,22,性質(zhì)3,極值性,當(dāng) 平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)具有最大值。 物理意義：隨機(jī)過(guò)程同一時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程自身的相關(guān)性最強(qiáng)。,.,23,.

6、,24,.,25,.,26,性質(zhì)7,若平穩(wěn)過(guò)程含有平均分量(均值) ，則相關(guān)函數(shù)也含有固定分量 , 即,則,若X(t)是非周期的，,自相關(guān)性函數(shù)確定方差,.,27,自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是非負(fù)的，限制了自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不能有任意形狀，要求相關(guān)函數(shù)是連續(xù)的（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）即：不能出現(xiàn)平頂、垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)。,.,28,.,29,.,30,.,31,此值在1，1之間。 表示不相關(guān)， 表示完全相關(guān)。 表示正相關(guān)，表明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號(hào)相同可能性大。,相關(guān)系數(shù),也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù),表征隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)程

7、度,.,32,相關(guān)時(shí)間,對(duì)于一般的隨機(jī)過(guò)程而言，隨著時(shí)間間隔 增大相關(guān)程度減弱，因此相關(guān)系數(shù)也隨著減弱，當(dāng)間隔大到一定程度（假定為 ），相關(guān)系數(shù)很小可以認(rèn)為起伏值不相關(guān)了，這個(gè)時(shí)間就稱為相關(guān)時(shí)間。,.,33,.,34,.,35,例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求X(t)的均值、均方值和方差。,.,36,.,37,例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 求X(t)的均值和方差。,.,38,.,39,例： 已知隨機(jī)過(guò)程X(t)與Y(t)的協(xié)方差函數(shù) 比較兩個(gè)過(guò)程的起伏速度,.,40,.,41,三 遍歷(Ergodic)隨

8、機(jī)過(guò)程（各態(tài)歷經(jīng)性）,每當(dāng)提及隨機(jī)過(guò)程時(shí)，意味著要涉及大量的樣本函數(shù)的集合。要得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，需要觀察大量的樣本函數(shù)。數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)等都是對(duì)大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻的取值利用統(tǒng)計(jì)方法求平均而得到的數(shù)字特征。這種平均稱為統(tǒng)計(jì)平均或集合平均。顯然，取統(tǒng)計(jì)平均所需要的試驗(yàn)工作量很大，處理方法也很復(fù)雜。這就使人們自然想到，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性與記時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)這個(gè)特點(diǎn)，能否找到更加簡(jiǎn)單的方法代替上述的方法。 辛欽證明：在具備一定的條件下有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任意一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間平均（觀察時(shí)間足夠長(zhǎng)），從概率意義上趨近于該過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均值。這樣的隨機(jī)過(guò)程，稱具備各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。,.,42

9、,.,43,.,44,.,45,.,46,定義 隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)。,則稱平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。,自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性,如果它依概率1收斂于集合均值，即,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)上式成立，則稱X(t)的均方值具有遍歷性。,.,47,自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng),任何一條樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的各種二階可能狀態(tài)。,.,48,各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程與非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程示意圖,.,49,.,50,.,51,.,52,對(duì)于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若均值為零，自 相關(guān)函數(shù) 連續(xù)，則可以證明此過(guò)程具有遍歷性的一個(gè)充分條件為：,注意：判斷一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是否遍歷，我們總是先假設(shè)其 是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時(shí)間平 均以概率1等于統(tǒng)計(jì)平均）,一般不用兩個(gè)判別定 理。,.,53,.,54,故平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(