高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用（通用）

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用高考要求 不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容之一，作為解決問(wèn)題的工具，與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出 不等式的應(yīng)用大致可分為兩類 一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值問(wèn)題、本難點(diǎn)提供相關(guān)的思想方法，使考生能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實(shí)際應(yīng)用等方面的問(wèn)題 重難點(diǎn)歸納1 應(yīng)用不等式知識(shí)可以解決函數(shù)、方程等方面的問(wèn)題，在解決這些問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把非不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價(jià)性 2 對(duì)于應(yīng)用題要通過(guò)閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象

2、出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)求出題中的問(wèn)題 典型題例示范講解 例1用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，棱錐表面積和體積的計(jì)算及用均值定論求函數(shù)的最值 知識(shí)依托 本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值 錯(cuò)解分析 在求得a的函數(shù)關(guān)系式時(shí)易漏h0 技巧與方法 本題在求最值時(shí)應(yīng)用均值定理 解

3、 設(shè)h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得 消去由 (h0)得 所以V，當(dāng)且僅當(dāng)h=即h=1時(shí)取等號(hào)故當(dāng)h=1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為立方米 例2已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)1x1時(shí)|f(x)|1 (1)證明 |c|1；(2)證明 當(dāng)1 x1時(shí)，|g(x)|2；(3)設(shè)a0，有1x1時(shí)， g(x)的最大值為2，求f(x) 命題意圖 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對(duì)值不等式的性質(zhì)靈活運(yùn)用是本題的靈魂 錯(cuò)解分析 本題綜合性較強(qiáng)，其解

4、答的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對(duì)條件“1x1時(shí)|f(x)|1”的運(yùn)用；絕對(duì)值不等式的性質(zhì)使用不當(dāng)，會(huì)使解題過(guò)程空洞，缺乏嚴(yán)密，從而使題目陷于僵局 技巧與方法 本題(2)問(wèn)有三種證法，證法一利用g(x)的單調(diào)性；證法二利用絕對(duì)值不等式 |a|b|ab|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關(guān)系 (1)證明 由條件當(dāng)=1x1時(shí)，|f(x)|1，取x=0得 |c|=|f(0)|1，即|c|1 (2)證法一 依題設(shè)|f(0)|1而f(0)=c，所以|c|1 當(dāng)a0時(shí)，g(x)=ax+b在1，1上是增函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1) |f(x)|1，(1x

5、1)，|c|1，g(1)=a+b=f(1)c|f(1)|+|c|=2，g(1)=a+b=f(1)+c(|f(2)|+|c|)2，因此得|g(x)|2 (1x1)；當(dāng)a0時(shí)，g(x)=ax+b在1，1上是減函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1)，|f(x)|1 (1x1)，|c|1|g(x)|=|f(1)c|f(1)|+|c|2 綜合以上結(jié)果，當(dāng)1x1時(shí)，都有|g(x)|2 證法二 |f(x)|1(1x1)|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，f(x)=ax2+bx+c，|ab+c|1，|a+b+c|1，|c|1，因此，根據(jù)絕對(duì)值不等式性質(zhì)得 |ab|=|(ab+c)c|ab+

6、c|+|c|2，|a+b|=|(a+b+c)c|a+b+c|+|c|2，g(x)=ax+b，|g(1)|=|a+b|=|ab|2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在1，1上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)x=1或x=1處取得，于是由|g(1)|2得|g(x)|2，(1x1 當(dāng)1x1時(shí)，有01，10，|f(x)|1，(1x1)，|f |1，|f()|1；因此當(dāng)1x1時(shí)，|g(x)|f |+|f()|2 (3)解 因?yàn)閍0，g(x)在1，1上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)f(0)=2 1f(0)=f(1)212=1，c=f(0)=1 因?yàn)楫?dāng)1x1時(shí)，

7、f(x)1，即f(x)f(0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，由此得0 ，即b=0 由得a=2，所以f(x)=2x21 例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0x1x2 (1)當(dāng)x0，x1時(shí)，證明xf(x)x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明 x0 解 (1)令F(x)=f(x)x，因?yàn)閤1，x2是方程f(x)x=0的根，所以F(x)=a(xx1)(xx2) 當(dāng)x(0，x1)時(shí)，由于x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)0，即xf(x)x1f(x)=x1x

8、+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)0xx1x2，x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20x1f(x)0，由此得f(x)x1 (2)依題意 x0=，因?yàn)閤1、x2是方程f(x)x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根 x1+x2=x0=，因?yàn)閍x21，x0 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，+)的圖像與f(x)的圖像重合，設(shè)ab0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號(hào)是( )f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(a)g(b) f(a)f(b)g(b)g(a) f(a)

9、f(b)g(b)g(a)A B C D 2 下列四個(gè)命題中 a+b2 sin2x+4 設(shè)x，y都是正數(shù)，若=1，則x+y的最小值是12 若|x2|，|y2|，則|xy|2，其中所有真命題的序號(hào)是_ 3 某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車(chē)站的距離成正比，如果在距車(chē)站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站_公里處 4 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，bR，a0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2 (1)如果x12x24，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0，

10、求證x01；(2)如果|x1|2，|x2x1|=2，求b的取值范圍 5 某種商品原來(lái)定價(jià)每件p元，每月將賣(mài)出n件，假若定價(jià)上漲x成(這里x成即，0x10 每月賣(mài)出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來(lái)的 z倍 (1)設(shè)y=ax，其中a是滿足a1的常數(shù)，用a來(lái)表示當(dāng)售貨金額最大時(shí)的x的值；(2)若y=x，求使售貨金額比原來(lái)有所增加的x的取值范圍 6 設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1 (1)求證 f(0)=1，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；(2)求證 f(x)在R上單調(diào)遞減；(3)設(shè)集合A= (x，y)|f(x2)f(y2)f(1)，集合B=

11、(x，y)|f(axg+2)=1，aR，若AB=，求a的取值范圍 7 已知函數(shù)f(x)= (b0)的值域是1，3，(1)求b、c的值；(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x1，1時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若tR，求證 lgF(|t|t+|)lg 參考答案 1 解析 由題意f(a)=g(a)0，f(b)=g(b)0，且f(a)f(b)，g(a)g(b)f(b)f(a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)而g(a)g(b)=g(a)g(b)g(a)+g(b)g(a)g(b)=2g(b)0，f(b)f(a)g(a)g(b)同理可證 f(a)f(b)g(b)g(a)答案 A2 解析 不

12、滿足均值不等式的使用條件“正、定、等” 式 |xy|=|(x2)(y2)|(x2)(y2)|x2|+|y2|+=2 答案 3 解析 由已知y1=；y2=0 8x(x為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離)費(fèi)用之和y=y1+y2=0 8x+ 2=8當(dāng)且僅當(dāng)0 8x=即x=5時(shí)“=”成立答案 5公里處4 證明 (1)設(shè)g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1，且x0 x12x24，(x12)(x22)0，即x1x22(x1+x2)4，(2)解 由方程g(x)=ax2+(b1)x+1=0可知x1x2=0，所以x1，x2同號(hào)1若0x12，則x2x1=2，x2=x1+22，g(2)0，即4a+2b10 又(x2x1)2=

13、2a+1= (a0)代入式得，232b 解得b2若 2x10，則x2=2+x12g(2)0，即4a2b+30又2a+1=，代入式得22b1 解得b 綜上，當(dāng)0x12時(shí)，b，當(dāng)2x10時(shí)，b 5 解 (1)由題意知某商品定價(jià)上漲x成時(shí)，上漲后的定價(jià)、每月賣(mài)出數(shù)量、每月售貨金額分別是 p(1+)元、n(1)元、npz元，因而，在y=ax的條件下，z=ax2+100+ 由于a1，則010 要使售貨金額最大，即使z值最大，此時(shí)x= (2)由z= (10+x)(10x)1，解得0x5 6 (1)證明 令m0，n=0得 f(m)=f(m)f(0) f(m)0，f(0)=1取m=m，n=m，(m0)，得f(

14、0)=f(m)f(m)f(m)=，m0，m0，0f(m)1，f(m)1(2)證明 任取x1，x2R，則f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)，f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù) (3)由，由題意此不等式組無(wú)解，數(shù)形結(jié)合得 1，解得a23a，7 (1)解 設(shè)y=，則(y2)x2bx+yc=0xR，的判別式0，即 b24(y2)(yc)0，即4y24(2+c)y+8c+b20 由條件知，不等式的解集是1，31，3是方程4y24(2+c)y+8c+b2=0的兩根c=2，b

15、=2，b=2(舍）(2)任取x1，x21，1，且x2x1，則x2x10，且(x2x1)(1x1x2)0，f(x2)f(x1)=0，f(x2)f(x1)，lgf(x2)lgf(x1)，即F(x2)F(x1)F(x)為增函數(shù) 即u，根據(jù)F(x)的單調(diào)性知F()F(u)F()，lgF(|t|t+|)lg對(duì)任意實(shí)數(shù)t 成立 課前后備注 數(shù)學(xué)中的不等式關(guān)系數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，恩格斯在自然辯證法一書(shū)中指出，數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著極為豐富的辯證唯物主義因素，等與不等關(guān)系正是該點(diǎn)的生動(dòng)體現(xiàn)，它們是對(duì)立統(tǒng)一的，又是相互聯(lián)系、相互影響的；等與不等關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系

16、等的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和統(tǒng)一美，不等關(guān)系則如同仙苑奇葩呈現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的奇異美 不等關(guān)系起源于實(shí)數(shù)的性質(zhì)，產(chǎn)生了實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，簡(jiǎn)單不等式，不等式的基本性質(zhì)，如果把簡(jiǎn)單不等式中的實(shí)數(shù)抽象為用各種數(shù)學(xué)符號(hào)集成的數(shù)學(xué)式，不等式發(fā)展為一個(gè)人丁興旺的大家族，由簡(jiǎn)到繁，形式各異 如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系，又產(chǎn)生了重要不等式、均值不等式等 不等式是永恒的嗎？顯然不是，由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個(gè)極為重要的問(wèn)題 解不等式即尋求不等式成立時(shí)變量應(yīng)滿足的范圍或條件，不同類型的不等式又有不同的解法；不等式證明則是推理性問(wèn)題或探索性問(wèn)題 推理性即在特定條件下，闡述論證過(guò)程，揭示內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法、綜合法、分析法；探索性問(wèn)題大多是與自然數(shù)n有關(guān)的證明問(wèn)題，常采用觀察歸納猜想證明的思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明 另外，不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等 數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系 不等式的知識(shí)滲透在數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支，相互之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此不等式又可作為一個(gè)工具來(lái)解決數(shù)學(xué)中的其他問(wèn)題，諸如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題無(wú)一不與不等式