三年高考（2020）高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)版解析 專題26 排列組合、二項(xiàng)式定理 理（含解析）（通用）

1、特集26數(shù)組組合，二項(xiàng)式定理考試綱解讀方向考試分?jǐn)?shù)解讀內(nèi)容要求大學(xué)入學(xué)考試的例子常試題型預(yù)測(cè)熱量計(jì)數(shù)原理、排列、組合(1)分類加法計(jì)數(shù)原理、步進(jìn)乘法計(jì)數(shù)原理理解分類加法計(jì)數(shù)原理和步進(jìn)乘法計(jì)數(shù)原理用分類加法計(jì)數(shù)原理和階段乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(2)排列和組合理解排列、組合的概念利用計(jì)數(shù)原理可以推導(dǎo)出數(shù)組公式、組合公式可以解決簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題掌握2020天津、14；2020跑道全國(guó)、52020路線全國(guó)、122020四川、6；2020安徽，8選擇問(wèn)題分析解讀1 .分類加法計(jì)數(shù)原理和階段乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是將一個(gè)原始事件分解成幾個(gè)事件來(lái)完成。 兩種原理的差異一個(gè)涉及分類，一個(gè)涉及階段，這

2、兩種原理是最基本最重要的原理，是解決序列和組合問(wèn)題，特別是復(fù)雜序列和組合問(wèn)題的基礎(chǔ)。 2 .理解序列、組合和序列數(shù)和組合數(shù)的公式，序列和組合的綜合作為高頻試驗(yàn)點(diǎn)的本節(jié)內(nèi)容很好地結(jié)合概率、分布序列問(wèn)題，出現(xiàn)在解答問(wèn)題的第一個(gè)問(wèn)題上，難易度偏于中等或中等考試分?jǐn)?shù)解讀內(nèi)容要求大學(xué)入學(xué)考試的例子常試題型預(yù)測(cè)熱量二項(xiàng)式定理的應(yīng)用使用可以用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的二項(xiàng)式定理來(lái)解決關(guān)于二項(xiàng)展開式的簡(jiǎn)單問(wèn)題掌握2020課程全國(guó)I、62020路線全國(guó)I、14；2020路線I，10選擇問(wèn)題填補(bǔ)問(wèn)題分析解讀1 .掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì).2.用二項(xiàng)式定理的知識(shí)解決系數(shù)和、常數(shù)項(xiàng)、整除、近似值、最大值等問(wèn)題.

3、3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)式是一個(gè)高參考熱點(diǎn)2020年高考全景展示1.【2020年全國(guó)卷理】的展開式中的系數(shù)是A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】c點(diǎn)眼：本題主要考察二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)問(wèn)題。2.【2020年浙江卷)從1、3、5、7、9中取兩位數(shù)，從0、2、4、6中取兩位數(shù)，就能生成不重復(fù)的4位數(shù)字(用數(shù)字回答)?！敬鸢浮?260分析部：根據(jù)是否取零進(jìn)行分類研究，取零時(shí)先排序，最后根據(jù)分類和步進(jìn)計(jì)數(shù)的原理來(lái)計(jì)數(shù)。詳細(xì)解：不為零時(shí)，數(shù)組數(shù)為零時(shí)，數(shù)組數(shù)為共有4位不重復(fù)的數(shù)字點(diǎn)眼：解開數(shù)組，組合問(wèn)題，常用的解題方法：(1)元素相鄰的序列問(wèn)題“束邦法”(2)元素間的序列問(wèn)題“插入法”(3

4、)元素有順序限制的序列問(wèn)題“順序除去法”(4)“包含”和“不包含”“不多”“至少”的序列問(wèn)題間接法.3.【2020年浙江卷二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是【回答】7分析：首先根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)式寫r 1項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)項(xiàng)的次數(shù)0解r，代入即時(shí)獲得結(jié)果.詳細(xì)地說(shuō)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)式是所以求出的常數(shù)項(xiàng)是點(diǎn)眼：求兩個(gè)展開式相關(guān)問(wèn)題的常見類型和解題策略(1)求出展開式中特定項(xiàng)目，根據(jù)條件寫第一項(xiàng)目，根據(jù)特定項(xiàng)目的特征求出值即可.(2)知道有展開式的項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)。 可從某項(xiàng)獲得參數(shù)值，從通用項(xiàng)寫入第項(xiàng)，從特定項(xiàng)獲得值，最后求出特定項(xiàng)的系數(shù)4 .在【2020年理數(shù)天津卷】的展開式上【回答】(1)二項(xiàng)式定理

5、的核心是通項(xiàng)式，解決這種問(wèn)題可以分兩個(gè)階段實(shí)現(xiàn)：第一步是根據(jù)給定的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)式，建立方程式來(lái)確定指數(shù)(二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱式條件，即n、r都是非負(fù)整數(shù)，且第二步驟是基于所獲得的指數(shù)，再次獲得所獲得的項(xiàng)(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)可以簡(jiǎn)化或利用分類相加計(jì)數(shù)原理來(lái)求解5.【2020年理新課標(biāo)I卷女子2人、男子4人中3人參加了科學(xué)技術(shù)競(jìng)賽，至少有一名女性入選的情況下，不同的選法是【回答】16分析：首先，要考慮被選中的人中有多少女的，有多少選法，還有，從6人中選出的3人中合計(jì)有多少選法，然后，需要應(yīng)用減法求出結(jié)果。詳情：根據(jù)問(wèn)題意，女子未入選，6名學(xué)生中任意入選3人因此，至少有一個(gè)女孩入

6、選的話，不同的選法有種類，所以答案是16點(diǎn)眼：這個(gè)問(wèn)題是關(guān)于組合計(jì)數(shù)的問(wèn)題，而且最多有問(wèn)題的時(shí)候多采用間接法，整體的方法是得到選擇3人的選舉法的種類數(shù)，間接法是將沒有女性的選舉法的種類數(shù)整體減去，這個(gè)問(wèn)題使用直接法，女性1人和女性2人分別2020年高考全景展示1.【2020課標(biāo)1、理6】展開式中的系數(shù)為A.15B.20C.30D.35【答案】c【試驗(yàn)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【名士點(diǎn)眼】就兩個(gè)二項(xiàng)式的積的問(wèn)題，將第一個(gè)二項(xiàng)式的各項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的各項(xiàng)，分析的項(xiàng)有幾個(gè)，相加了。 這種問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方，主要是沒能分析構(gòu)成該項(xiàng)的具體情況，特別是兩個(gè)二項(xiàng)式展開式的差異。2.【2020課標(biāo)3、理4 的展開式中的

7、33個(gè)系數(shù)是A. B. C.40D.80【答案】c【解析】問(wèn)題分析：展開公式公式：可以當(dāng)時(shí)，展開式的系數(shù)是當(dāng)時(shí)，展開式的系數(shù)是系數(shù)是所以選擇c【試驗(yàn)點(diǎn)】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)式(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)式，解決這種問(wèn)題可以分兩個(gè)階段實(shí)現(xiàn)：第一階段根據(jù)給定的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)式，建立方程式來(lái)確定指數(shù)(二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱式條件，即n、r都是非負(fù)整數(shù)嗎？ 第二步驟是基于所獲得的指數(shù)，再次獲得所獲得的項(xiàng)(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)可以簡(jiǎn)化或利用分類相加計(jì)數(shù)原理來(lái)求解3.【2020課標(biāo)II，理6】三名志愿者完成四項(xiàng)工作，每人完成至少一項(xiàng)工作，各人完成一項(xiàng)工作，就共享不同的安排方法()A.12種B.

8、18種C.24種D.36種【回答】d【試驗(yàn)點(diǎn)】陣列和組合階梯乘法的計(jì)數(shù)原理【名士點(diǎn)眼】(1)要解決組合問(wèn)題，按要素(或者位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類，第二個(gè)是在事件的過(guò)程中階段性地進(jìn)行。 具體地說(shuō)，解決組合問(wèn)題通常以要素(或位置)為主體。 即，在滿足特殊要素(或位置)之后，再考慮其它要素(或位置)。4.【2020浙江，16 .在6名男女共計(jì)8名學(xué)生中，1名隊(duì)長(zhǎng)、1名副隊(duì)長(zhǎng)、2名普通選手組成了4個(gè)服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1個(gè)女孩【答案】660【解析】問(wèn)題分析：從問(wèn)題意中得出：綜合的選擇方法是一種方法，其中有不滿足問(wèn)題意的選擇方法。 滿足問(wèn)題意的選擇方法有種【試驗(yàn)點(diǎn)】數(shù)組組合的應(yīng)用【名士點(diǎn)眼】本題主要考

9、察了分類計(jì)數(shù)原理、步進(jìn)計(jì)數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用，排列組合的綜合問(wèn)題，常常只有兩個(gè)原理和排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題。 解決這樣的問(wèn)題對(duì)理解問(wèn)題的意義很重要，一定要多讀問(wèn)題挖掘隱含條件。 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，首先要區(qū)分“是分類還是步驟”“是數(shù)組還是組合”。 在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理進(jìn)行討論時(shí)，可以重復(fù)交叉討論，也可以不泄漏，提高精度。5.【2020浙江，13已知多項(xiàng)式32=，它是【回答】16、4【解析】問(wèn)題分析：二項(xiàng)式展開式得到的通項(xiàng)式：分別得到，得到【試驗(yàn)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【名士點(diǎn)眼】本題主要是調(diào)查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)和系數(shù)，是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 二項(xiàng)展開式定理的問(wèn)題也是高考命題的熱點(diǎn)之一，對(duì)二項(xiàng)式定

10、理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面調(diào)查命題： (1)調(diào)查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)式(可以調(diào)查某項(xiàng)，也可以調(diào)查某項(xiàng)的系數(shù)) (2)調(diào)查各項(xiàng)的系數(shù)和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和6.【2020天津、理14】由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9構(gòu)成的數(shù)字不重復(fù)，而且最多一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的4位，這樣的4位總共是_ _ _ _ _個(gè)【回答】【解析】【試驗(yàn)點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理、排列、組合名士點(diǎn)眼計(jì)數(shù)原理包含分類計(jì)數(shù)原理(加法)和階段計(jì)數(shù)原理(乘法)，構(gòu)成4位的數(shù)字最多是1位為偶數(shù)，構(gòu)成4位的數(shù)字是1位為偶數(shù)和4位的數(shù)字都是奇數(shù)這2種，利用加法原理進(jìn)行計(jì)數(shù).2020年高考全景展示1. 【2020高考新課標(biāo)2處理數(shù)如圖所示，小

11、明從街上的e出發(fā)，先在f遇見小紅，在g的老人公寓參加志愿者活動(dòng)，從小明到老人公寓可以選擇的最短路徑數(shù)量是()(A)24 (B)18 (C)12 (D)9【回答】b試驗(yàn)點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理、組合“名士點(diǎn)眼”分類加法計(jì)數(shù)原理容易忽略使用時(shí)各種做法的所有方法都可以完成，類和類之間是獨(dú)立的步進(jìn)乘法的計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)容易忽略每一步驟中的某些方法僅完成了這一部分，而沒有完成這一部分，步驟之間是相關(guān)聯(lián)的。2 .以2020年高考四川理數(shù)為虛數(shù)單位，展開式中包含x4的項(xiàng)是(a )-15 x4(b ) 15 x4(c )-20ix4(d ) 20ix 4【回答】a【解析】問(wèn)題分析：二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)、令、得、展開式中包含的

12、項(xiàng)，選擇a試驗(yàn)點(diǎn)：二元展開式，復(fù)數(shù)運(yùn)算【名士點(diǎn)眼】本題考察了二項(xiàng)式定理和多個(gè)運(yùn)算，多個(gè)概念和運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年都是必考內(nèi)容，是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 一般來(lái)說(shuō)，掌握多個(gè)基本概念和四則運(yùn)算即可。 二項(xiàng)式的展開式，其通項(xiàng)，也就是包含的項(xiàng)3. 【2020年高考四川理數(shù)】數(shù)字1、2、3、4、5構(gòu)成，數(shù)字不重復(fù)的5位數(shù)字，奇數(shù)的數(shù)字是(A)24 (B)48 (C)60 (D)72【回答】d【解析】問(wèn)題分析：從問(wèn)題的意義上來(lái)說(shuō)，要構(gòu)成不重復(fù)的5位奇數(shù)，位數(shù)是1、3、5中的一個(gè)，其他位置可能是隨機(jī)排列的，所以其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)選擇了d。試驗(yàn)點(diǎn)：排列、組合使用【名人眼神】數(shù)組的組合計(jì)數(shù)時(shí)，正確的分類和步驟很重

13、要，分類時(shí)要注意不要泄露，每個(gè)步驟都要注意事件整體的完成步驟。 在本問(wèn)題中，一個(gè)位置必須是特殊位置，第一步是該位置，而第二步是另外四個(gè)位置。 】4. 【2020高考新課程標(biāo)3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下： 項(xiàng)目為0、項(xiàng)目1且可選地，其中0的個(gè)數(shù)超過(guò)1的個(gè)數(shù)。 如果是，則合計(jì)不同的“規(guī)范01數(shù)列”有()(A)18個(gè)(B)16個(gè)(C)14個(gè)(D)12個(gè)【答案】c【解析】問(wèn)題分析：從問(wèn)題的意義上來(lái)說(shuō)，有必要的東西。 具體的排序如下所示。00001111101110110100111011010011010001110110100110試驗(yàn)點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用在解計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，在情況復(fù)雜、分類多、標(biāo)準(zhǔn)多

14、的同時(shí)，求計(jì)數(shù)結(jié)果不太大的情況下，利用表法和枝法，一個(gè)一個(gè)地列舉其可能性，常達(dá)到奇勝的效果。5 .在2020年的高考北京理數(shù)的展開式上，是用數(shù)字回答的【答案】60?！窘馕觥繂?wèn)題分析：從二項(xiàng)展開的通項(xiàng)式可以看出，系數(shù)為，所以要填寫試驗(yàn)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理【名士點(diǎn)眼】1 .二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，是有展開式的項(xiàng)，如第項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、字母指數(shù)的特殊值項(xiàng)2，在求合理的項(xiàng)時(shí)，要注意使用可以除盡的性質(zhì)，同時(shí)要注意結(jié)合的范圍分析6 .在【2020大學(xué)入學(xué)考試新課標(biāo)1卷】的展開式中，x3的系數(shù)如下。 (用數(shù)字填寫答案)【回答】【解析】問(wèn)題分析：的展開式通項(xiàng)為(，(1，2，5 )，因此系數(shù)為試驗(yàn)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理7 .在【2020高考天津理數(shù)】的展開式中，x2的系數(shù)是_ _ _ _ _ _ _ (用數(shù)字回答)【回答】試驗(yàn)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理【名士點(diǎn)眼】1 .求特定系數(shù)的問(wèn)題是，基于給定的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)式，建立方程式來(lái)決定指數(shù)(請(qǐng)注意，求解時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱式條件，即n、r都是非負(fù)整數(shù)，nr )。