2020屆高三數(shù)學二輪復習（9）解答題解題策略精品教學案（通用）

1、【專題九】解答題解題策略【考情分析】高考數(shù)學解答題是在高考試卷中的第二部分（或第卷），在近幾年的高考中其題量已基本穩(wěn)定在6題，分值占總分的49.3%，幾乎占總分一半的數(shù)學解答題（通常6大題，74分）匯集了把關題和壓軸題，在高考中舉足輕重，高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預設目標像圓錐曲線綜合題、函數(shù)方程不等式的交匯題、三角向量的結合問題等仍將是12年高考的重點；預計13年高考的熱點：1、三角函數(shù)解答題多集中在以下幾個類型上：三角函數(shù)的化簡、求值問題；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題；涉及解三角形的三角函數(shù)問題；三角函數(shù)與平面向量、導數(shù)、數(shù)列等的交匯問題。三角形中的邊角關系特別是正余弦定理，

2、它是三角形本身內(nèi)在的一種確定關系。近幾年高考考查三角問題主要有兩種形式：一是求較為復雜的三角函數(shù)表達式的某些性質(zhì)、圖像的變換、值域或者最值；二是三角形中有關邊角的問題。高考試卷中將這兩種形式合二為一，這很可能會是今后命題的趨勢。對于第一種形式的問題，一般要根據(jù)角、次、名、結構等方面，進行三角公式變換，然后運用整體代換思想或者結合函數(shù)思想進行處理。對于第二種形式的問題，一般要結合正余弦定理和三角形的邊角知識進行處理。備考復習的重點應該放在三角恒等式的等價變形、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正余弦定理的使用、三角形知識的掌握和靈活應用以及三角函數(shù)常用基本思想、技能、方法方面。 2、立體幾何：多角度訓練證明

3、平行、垂直問題；注重數(shù)量關系中空間角、距離的計算與轉(zhuǎn)化；繼續(xù)關注作圖，識圖，空間想象能力。學會兩種法解題，側重于傳統(tǒng)解法。立體幾何解答題的考查近幾年基本形成一定規(guī)律，就是以棱柱、棱錐等簡單幾何體為載體考查平行、垂直的判定和性質(zhì)、角和距離的計算、表面積和體積的計算。試題的設置一般兩問或者三問，近幾年大多是兩問。若設置兩問，則第一問往往考查平行、垂直的判定和性質(zhì)（尤其垂直是重點）；第二問考查空間角的計算（尤其二面角是重點）；出現(xiàn)第三問，則一般考查空間距離的計算（尤其是點面距離）或者體積的計算，體積經(jīng)常也是以求空間距離為核心。其中空間角和距離的計算往往轉(zhuǎn)化到三角形中進行。另外還要注意立體幾何探索性問

4、題的出現(xiàn)，主要是探索空間點的存在性。備考復習的重點應該放在三個方面。第一方面是掌握線線、線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)，尤其要注意平行鏈和垂直鏈知識之間的轉(zhuǎn)化。第二方面是掌握空間角和距離的求法。在空間角中，異面直線所成角要注意定義法和補形法；線面角要注意定義法和點面距離法；二面角要注意三垂線定理法和射影面積法。至于空間距離，要著重注意線面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，點面距離的求法以及等體積轉(zhuǎn)化求點面距離。第三方面是注意立體幾何常用的思想方法和解題技巧：方程思想（特別適用于解探索性問題）、轉(zhuǎn)化思想、空間問題平面化思想。3、概率與統(tǒng)計：概率作為近幾年應用問題的考查題型，幾乎是不變的準則（只有極

5、個別省市尋求變化沒出現(xiàn)），注意圖表意識，向統(tǒng)計方向轉(zhuǎn)移這一點在有些省市高考試題中已有體現(xiàn)；準確識別概率模型；掌握事件間的運算關系；熟悉常見的離散型隨機變量的分布列并準確計算出期望。近幾年概率統(tǒng)計問題經(jīng)常結合實際應用問題考查，是近幾年的熱點。預計2020年仍將突出概率應用題的考查，主要分兩個層次：文科主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算方法以及運用概率知識解決實際問題的能力；理科主要考查離散型隨機變量的分布列與期望、方差的計算。離散型隨機變量的分布列與正態(tài)分布的內(nèi)容在近幾年的考查中得到了加強，估計2020年不僅不會減弱對的考查，而且還很可能加大對正

6、態(tài)分布的考查，提醒同學們注意。備考復習的重點應該放在掌握基本題型，搞清楚互斥事件、對立事件、等可能事件、相對獨立事件的概念和算法；掌握離散型隨機變量的分布列以及期望、方差的計算；注意如何抽取樣本、估計總體以及如何利用正態(tài)分布解決實際應用問題。4、數(shù)列：把握數(shù)列的整體結構，會求通項和前n項和；數(shù)列就是一列數(shù)，可從函數(shù)與方程思想角度來理解，多用歸納，猜想，數(shù)列中經(jīng)常出現(xiàn)的一些不等式放縮問題要多總結。近幾年解答題關于數(shù)列知識的考查，重點是數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和及其應用、Sn與an的關系，且這類題目多與函數(shù)、不等式、解析幾何等學科交叉命題，此類題目難度大、綜合性強需要運用各種數(shù)學思想和方法。備考復

7、習中，需要同學們注重基礎，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)、通項公式、求和公式（公比q的討論）；數(shù)列Sn與an的關系，并項法、裂項法、錯位相減法等常用求和方法。另外，還要注意數(shù)列知識與極限知識的結合，三種基本極限對于q的討論等知識的掌握。還有兩點想提醒同學們注意：一是探索性問題在數(shù)列中考查較多；二是數(shù)列應用問題可能會在高考題目中出現(xiàn)。5、解析幾何：小題小做，多用圓錐曲線定義、性質(zhì)和平面幾何知識；大題注重通性通法，強化運算代換能力，加強意志品質(zhì)的培養(yǎng)，注意分步得分，踩點得分；有向量背景的幾何問題，注意圖形特征及意義，一般情況都是坐標表示，實施數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。與解析幾何有關的試題約占試題總數(shù)的

8、六分之一。試題既堅持了注重通性通法、淡化特殊技巧的命題原則，又適度地體現(xiàn)了靈活運用的空間，還集中考查了考生的運算能力，真正做到了有效檢測考生對解析幾何知識所蘊含的數(shù)學思想和方法的掌握程度。解析幾何解答題，常常以圓錐曲線為載體，高考一般設置兩問，第一問經(jīng)常考查圓錐曲線的方程、定義、軌跡、離心率等基礎知識；第二問經(jīng)常研究直線與圓錐曲線的位置關系，弦長、焦點弦長、中點弦、參數(shù)范圍、最值問題等。經(jīng)常在題目設置時，結合平面向量，有時還結合導數(shù)知識（例如切線問題），構成知識交匯問題，綜合考查分析和解決問題的能力。備考復習時，首先應該注意對基礎知識的掌握和靈活應用，熟練掌握直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、性

9、質(zhì)；其次突出抓好高考考查的重點、熱點內(nèi)容以及方法的復習，如軌跡問題、對稱問題、參數(shù)范圍問題、最值問題、弦長問題、直線與圓錐曲線的位置關系問題、向量和解析幾何綜合問題等；最后還要重視運算能力的培養(yǎng)，盡可能達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程的目的。6、函數(shù)、導數(shù)與不等式：考查求函數(shù)的解析式、定義域、值域、函數(shù)的奇偶性與周期性的問題；對函數(shù)圖象的考查；函數(shù)的單調(diào)性及最值問題；函數(shù)與導數(shù)、不等式，函數(shù)與數(shù)列、不等式等綜合。函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，函數(shù)的觀點和方法貫穿整個高中數(shù)學。導數(shù)作為新課標新增內(nèi)容，近幾年已由解決問題的輔助地位，上升為分析問題和解決問題必不可少的工具。不等式與函數(shù)、導數(shù)之間存在千絲萬

10、縷的關系。在近幾年的高考解答題中，對于函數(shù)、導數(shù)、不等式的考查，理科基本是利用導數(shù)作為工具研究非初等函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、解決與方程以及不等式相關的綜合問題；文科基本上是以三次函數(shù)為載體考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值以及結合不等式考查參數(shù)的取值范圍問題。其中以參數(shù)的取值范圍問題和函數(shù)單調(diào)性、最值方面的應用為重點，更多的是函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等交叉滲透命題，以導數(shù)、不等式為工具加以解決的綜合性題目。有時也出現(xiàn)考查解含參數(shù)不等式的解答題。備考復習中，應將重點放在二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關系；基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)；原函數(shù)與反函數(shù)、原函數(shù)與導函數(shù)的關系；不等式的基本性質(zhì)、均值不等式的

11、使用、八類不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、絕對值不等式、分式不等式、高次不等式、無理不等式、指對數(shù)不等式、三角不等式）等基本知識的熟練掌握，以及結合函數(shù)與方程的思想、分類討論思想（含參數(shù)不等式）、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結合思想，引進變量、運用函數(shù)、導函數(shù)分析問題，解決問題的能力提高上。另外，特別提醒兩點注意：一是函數(shù)和不等式結合，研究命題恒成立時的參數(shù)范圍問題；二是導數(shù)與傳統(tǒng)不等式的證明相互結合，用導數(shù)法證明不等式也有可能成為新的命題趨勢。還有高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型，另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn)。當然，數(shù)學高考應用性問題關注當前國內(nèi)外的政治、經(jīng)濟

12、、文化，緊扣時代的主旋律，凸顯了學科綜合的特色，是歷年高考命題的一道亮麗的風景線。多數(shù)出現(xiàn)在像理科概率中分布列的期望方差解釋實際問題、函數(shù)和數(shù)列知識及其性質(zhì)解釋、解決實際問題中?！局R歸納】在高考數(shù)學試題的三種題型中，解答題占分的比重最大，足見它在試卷中地位之重要。解答題也就是通常所說的主觀性試題，這種題型內(nèi)涵豐富，包含的試題模式靈活多變，其基本架構是：給出一定的題設（即已知條件），然后提出一定的要求（即要達到的目的），讓考生解答。而且，“題設”和“要求”的模式則五花八門，多種多樣?？忌獯饡r，應把已知條件作為出發(fā)點，運用有關的數(shù)學知識和方法，進行推理、演繹或計算，最后達到所要求的目標，同時要

13、將整個解答過程的主要步驟和經(jīng)過，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚。1數(shù)學綜合題的解題策略解綜合性問題的三字訣“三性”：綜合題從題設到結論，從題型到內(nèi)容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復雜性和解題設計的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結果的終極目標和每一步驟分項目標。(2)準確性：提高概念把握的準確性和運算的準確性。(3)隱含性：注意題設條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準確性的前提和保證?！叭保?1)問題具體化(包括抽象函數(shù)用具有相同性質(zhì)的具體函數(shù)作為代表來研究，字母用常數(shù)來代表)。即

14、把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關系具體明確，有時可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關知識相聯(lián)系的簡單問題，把復雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強調(diào)變換問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式符合數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點，或者突出所涉及的各種數(shù)學對象之間的知識聯(lián)系?！叭D(zhuǎn)”：(1)語言轉(zhuǎn)換能力。每個數(shù)學綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強的語言轉(zhuǎn)換能力。還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言的能力。(2)概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強的數(shù)學概念的轉(zhuǎn)換能力。(3)

15、數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。解題中的數(shù)形結合，就是對題目的條件和結論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結合上找出解題思路。運用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會出現(xiàn)漏洞?！叭肌保?1)思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時應考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設置往往會突顯考查數(shù)學思想方法，解題時應注意數(shù)學思想方法的運用。(3)思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇?！叭?lián)”：(1)聯(lián)系相關知識，(2)連接相似問題，(2)聯(lián)想類似方法。2數(shù)學綜合題的解題策略求解應用題的一般步驟是（四步法）：（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學語言，找出主要關系；（

16、2）、建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數(shù)學問題；（3）、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解；（4）、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結果應用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證.4在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。函數(shù)模型 函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常?？蓺w結為函數(shù)的最值問題，通過建立相應的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法去解決； 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型； 運用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識處理所得的函數(shù)模型。幾何模型 諸如航行、建橋、測量

17、、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質(zhì)，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識來求解；數(shù)列模型 在經(jīng)濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數(shù)列問題，即通過建立相應的數(shù)列模型來解決.在解應用題時，是否是數(shù)列問題一是看自變量是否與正整數(shù)有關；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律?！究键c例析】題型1：二次函數(shù)綜合問題例1（2020年高考（北京文）已知函數(shù)(),.(1)若曲線與曲線在它們的交點(1,)處具有公共切線,求的值；(2)當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值為28,求的取值范圍.解:(1),.因為曲線

18、與曲線在它們的交點處具有公共切線,所以,.即且.解得 (2)記 當時, 令,解得:,; 與在上的情況如下:1(1,2)2+00+28-43由此可知: 當時,函數(shù)在區(qū)間上的最大值為; 當時,函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于28. 因此,的取值范圍是點評：三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關.本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.例2設，若，, 試證明：對于任意，有.分析：同上題，可以用來表示.解： ,

19、, . 當時，當時，綜上，問題獲證。點評：由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導出二次函數(shù)的有關性質(zhì)。題型2：代數(shù)推理題的典例解析例3已知的單調(diào)區(qū)間；（2）若解析：（1） 對 已 知 函 數(shù) 進 行 降 次 分 項 變 形 , 得 ,（2）首先證明任意事實上：而 .點評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型 , 在高考備考中有較高的訓練價值.針對本例的求解,你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法。例4對于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動點。如果函數(shù)有且只有兩

20、個不動點0，2，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知各項不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項；（3）如果數(shù)列滿足，求證：當時，恒有成立.解析：依題意有,化簡為 由違達定理, 得：解得 代入表達式，由得 不止有兩個不動點，（2）由題設得 （*）且 （*）由（*）與（*）兩式相減得： 解得（舍去）或，由，若這與矛盾，即是以-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，；（3）采用反證法，假設則由（1）知,有，而當這與假設矛盾，故假設不成立，。關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上：由得0或結論成立；若，此時從而即數(shù)列在時單調(diào)遞減，由，可知上成立.點評：比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學解題后需要進行

21、必要的反思, 學會反思才能長進。題型3：解析幾何綜合問題例5已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且

22、僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關于x的方程有唯一解解析：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關于的方程.由于，所以，從而有于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性。例6已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程。分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多

23、動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的。由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可。通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)。將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y =

24、k (x4)+1，消去參數(shù)k點Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設，則由可得：，解之得： （1）設直線AB的方程為： ，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參，而“引參、用參、消

25、參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道。題型4：立體幾何應用問題例7在邊長為a的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等，如圖若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖則當容器的高為多少時，可使這個容器的容積最大，并求出容積的最大值。 圖 圖解析：設容器的高為x則容器底面正三角形的邊長為, .當且僅當 .故當容器的高為時，容器的容積最大，其最大容積為點評：對學過導數(shù)的同學來講，三次函數(shù)的最值問題用導數(shù)求解是最方便的，請讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學壓軸題有關，還請做做對照. 類似的問題

26、是：某企業(yè)設計一個容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時，制造這個密閉容器的用料最?。慈萜鞯谋砻娣e最?。?。例8（2020，江蘇17）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=cm。（1）某廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問應取何值？（2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值

27、。P解：設饈盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得：（1）所以當時，S取得最大值.（2）由（舍）或x=20.當時，所以當x=20時，V取得極大值，也是最小值.此時裝盒的高與底面邊長的比值為點評：解決此類問題要結合問題的實際情景，把問題分解、轉(zhuǎn)化解決。題型5：數(shù)列中的實際應用問題例9某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛?解析：設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，每年新增汽車萬輛，則，所以，當時，

28、兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，此時，（ii）當時，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得：，要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，即 對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，。點評：本題是2002年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。例10（2020年高考（湖南文）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元,將其投入

29、生產(chǎn),到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.()用d表示a1,a2,并寫出與an的關系式;()若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).【解析】()由題意得, , . ()由()得 . 整理得 . 由題意, 解得. 故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時,經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為4000元. 【點評】本題考查遞推數(shù)列問題在實際問題中的應用,考查運算能力和使用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力.

30、第一問建立數(shù)學模型,得出與an的關系式,第二問,只要把第一問中的迭代,即可以解決.由于數(shù)列知識與社會問題聯(lián)系密切，如銀行存、貸；按揭買房、買車；生產(chǎn)中的增長率等等，這些都是數(shù)列問題也都是生活中的現(xiàn)實問題，當我們認清本質(zhì)以后，會發(fā)現(xiàn)它們其實都是等比數(shù)列問題，只是引發(fā)問題的角度不同罷了。題型6：函數(shù)、導數(shù)應用題例11（2020湖北理，17）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用為C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=（0x10），若不建隔熱層

31、，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與 20年的能源消耗費用之和。（）求k的值及f(x)的表達式；（）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值。解：（）設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C（x）=，再由C（0）=8，得k=40，因此C（x）=。而建造費用為C1（x）=6x，最后得隔熱層建造 費用與20年的能源消耗費用之和為f（x）=20C（x）+ C1（x）=20+6x=+6x（0x10）。（）f（x）=6，令f（x）=0，即=6，解得x=5，x=（舍去）。當0x5時，f（x）0；當5x0。故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為f（5）=65

32、+=70。當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元。xOyPA點評：考查應用型的函數(shù)題，第一問寫出函數(shù)表達式比較簡單，第二問考查的是導數(shù)的知識，較為容易。例12海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為.（1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失

33、事船？（8分）解（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標yP=3. 2分由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向為北偏東arctan弧度. 6分（2）設救援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為.由，整理得.10分因為，當且僅當=1時等號成立，所以，即.因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. 14分點評：本小題主要考查函數(shù)、及均值不等式應用等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力。【方法技巧】1它的題型特點和考查功能決定了審題思考的復雜性和解題設計的多樣性。在審題時要把握好“三

34、性”。即明確目的性，提高準確性，注意隱含性。解題實踐表明：條件暗示可知并啟發(fā)解題手段，結論預告需知并誘導解題方向。一般地，解題設計要因題定法，無論是整體考慮或局部聯(lián)想，在確定方法時必須遵循的原則是：（1）熟悉化原則。（2）具體化原則。（3）簡單化原則。（4）和諧化原則。2解綜合題的基本策略是：（1）語言轉(zhuǎn)換策略。（2）數(shù)形結合策略。（3）進退并舉策略。（4）辨證思維策略。（5）聯(lián)想遷移策略。（6）分類討論策略。由于數(shù)學問題的廣泛性，實際問題的復雜性，干擾因素的多元性，更由于實際問題的專一性，這些都給學生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質(zhì)的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、排

35、列、組合、概率、曲線、解三角形等問題。【專題訓練】1、已知向量a(,1)，b(2，k)。（1）k為何值時，ab？（2）k為何值時，ab？（3）k為何值時，a、b夾角為120？2、如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m圓心角為60的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OA上，點M,N在OB上，設BOP，YMNPQ的面積為S（1）求S關于的函數(shù)關系式；PABOQMN（2）求S的最大值及相應的值 3、請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四

36、棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEFBxcm（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問x應取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值4、已知橢圓C：y21，過點(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A、B兩點（1）求橢圓C的焦點坐標和離心率；（2）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值5、已知f (x)axln(x)，x(e,0)，g(x)，其中e是自然常數(shù)，aR（1）討論a1時, f (x)的單調(diào)性、極值；（2）求證：在（1）的條件下，|f (x)|g(x)；（3）是

37、否存在實數(shù)a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由 6、已知數(shù)列a,b,c為各項都是正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d(d0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個實數(shù)后，所得到的m3個數(shù)所組成的數(shù)列an是等比數(shù)列，其公比為q（1）若a1,m1，求公差d；（2）若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù)，求所插入的m數(shù)的乘積（用a,c,m表示）；（3）求證：q是無理數(shù)【參考答案】1、解：（1）由k1(2)0 ，得：k2，k2時，ab；（2）由(2)k0，得：k6，k6時，ab；（3）ab(2)k 6k，a2，b，得k2，a、b夾角為1202、解：在OPQ中， OQsin，PQsin(60)SYMNPQ2SOPQOQPQsin120sinsin(60)cos(260)0606026060cos(260)10SYMNPQ30時，S的最大值為3、4、解：（）由已知得所以所以橢圓C的焦點坐標為，離心率為（）由題