陜西省藍田縣高中數(shù)學 第二章 解析幾何初步 2.1.1 橢圓的定義和標準方程的教案 北師大版必修2（通用）

1、橢圓的定義和標準方程一、教學內(nèi)容分析 本課選自普通高中課程標準實驗教科書（選修2-1）數(shù)學（北師大版），第三章第一節(jié)。本節(jié)教材的主要內(nèi)容是使學生了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現(xiàn)實世界和在實際問題中的作用，使學生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程；掌握橢圓的定義，標準方程的推導過程及步驟，標準方程中a、b、c的代數(shù)意義，標準方程及其軌跡。本節(jié)對橢圓的定義及其軌跡的研究，使學生在學習了圓及其方程后，又一次探究了定義的本質(zhì)，通過探究使學生從感性認識上升到了理性認識，形成了對橢圓定義的深刻理解，培養(yǎng)了學生研究軌跡的能力，從而進一步讓學生體驗“用方程研究曲線”這一基本思想，體現(xiàn)了數(shù)學的美，也符合認知

2、的漸進原則。二、學生學習情況分析 我校是普通高級中學，有很好的多媒體設備，但是學生數(shù)學基礎比較薄弱，所以在這節(jié)課之前，我?guī)ьI了學生進行了對圓及其軌跡方程的復習，尤其是推導過程，使學生有很想研究其他曲線的欲望。三、設計思想 為了讓學生“學會”知識，而且“會學”知識，并體現(xiàn)新課程的理念，首先為了激發(fā)學生的學習積極性，我做了很好的情景創(chuàng)設；其次圍繞教材的重難點（橢圓概念的形成、標準方程及其推導），設置活動環(huán)節(jié)，設置由淺入深環(huán)環(huán)相扣的問題，在教學中我適時的引導和學生間、師生間的互動，讓學生經(jīng)歷了分析、發(fā)現(xiàn)、探究及反思的過程，使學生真正成為學習的主人并提高獲取知識的能力，嘗試合作的樂趣，體驗成功的喜悅。

3、四、教學目標 1.使學生了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現(xiàn)實世界和實際問題的作用。 2.掌握橢圓的定義，標準方程的推導及步驟，標準方程中a、b、c的代數(shù)和幾何意義，標準方程及其軌跡。 3.掌握直接法求曲線方程，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想，提高分析問題的能力。 4.營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學，引導學生用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，體會數(shù)學的簡潔美、和諧美，培養(yǎng)合作學習的意識，體會成功帶來的喜悅，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的應用意識，體會數(shù)學的應用價值。五、教學的重點和難點教學重點：橢圓的定義和標準方程的推導，學生的自主建立坐標系以及方程中a、b、c的理解教學難點：橢圓概

4、念的形成，六、教 具：多媒體、實物投影儀 七、教學過程：（一）情境引入（借助多媒體）以圖片展示開始引入，讓學生有一個對橢圓的感官認識，并知道在現(xiàn)實生活中隨處可以見到橢圓。情境預設：學生對圖片感興趣，通過老師的引導，激發(fā)學生對橢圓的探究的熱情。（二）探求新知.1.拋出問題：“如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？”，讓學生探討后，給出橢圓的畫法。情境預設：學生畫橢圓的方法可能都比較含混，不夠精確，比如把圓壓扁的思想方法描繪等。2.老師用一根繩子，把它的兩端固定在畫板的F1和F2處，要求繩長大于兩點的距離，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓。設計意圖：

5、知道橢圓的畫法，并從畫法中感受繩長和兩定點間距離的關系,知道繩長大于兩定點間的距離.這么做主要是為了讓學生更深的理解橢圓的定義中，“動點M到兩定點F1 F2的距離和是一定值”，為學生得出橢圓的定義打下了基礎。3.橢圓的定義畫出橢圓后，讓學生試著描述橢圓的定義，最后讓學生讀課本，得出橢圓的規(guī)范定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 設計意圖：一方面是培養(yǎng)學生的分析歸納能力，一方面是出于對學生的數(shù)學基礎較弱的考慮。老師對定義進行分析并強調(diào)三點:“在平面內(nèi)”;動點到兩定點間的距離和是一個定值（設為2a）;兩

6、定點間的距離（設為2c）小于2a.4.橢圓的方程復習用坐標法求動點軌跡方程的一般步驟:（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點的坐標；（2）寫出適合條件 P（M） ;（3）用坐標表示條件P（M），列出方程 ; （4）化方程為最簡形式;（5）證明已化簡后的方程為所求方程(可以省略不寫,如有特殊情況，可以適當予以說明)引入求橢圓的方程的推導。設置問題：怎么叫“建立適當?shù)淖鴺讼怠蹦兀垦芯拷⒆鴺讼档膯栴}，從而得出建立坐標系的一般原則：情境預設：將坐標系建在橢圓上不同的位置，讓學生觀察，并寫出端點坐標，在這個過程中，學生會發(fā)現(xiàn)和想起建系的規(guī)律。盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；

7、利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.得出坐標系后，設出動點和兩定點的坐標，根據(jù)定義“動點到兩定點的距離的和等于定值（即），列出方程并化簡，從而得出橢圓的方程：(強調(diào),焦點坐標為,焦點在軸，中心在坐標原點)如圖示：0F1F2M提出問題：根據(jù)建系原則，是否還有其他的坐標系呢？情境預設：學生根據(jù)建系原則，仔細思考，會發(fā)現(xiàn)將焦點放在y軸上。再調(diào)換坐標軸得出焦點在y軸上的橢圓方程。根據(jù)圖形及方程分析方程中的a、b、c的幾何和代數(shù)意義，讓學生更深入的體會橢圓方程中的a、b、c，從而理解橢圓方程。下來例題中設計相關對橢圓方程的認識的例子，比如對a0,b0,c0的考察，焦點位置的判斷，ab的

8、應用問題等。例1.判斷下列哪些是橢圓方程？若是，則判斷焦點在那個坐標軸？并指出a2、b2和焦點坐標 例2.求適合下列條件的橢圓的標準方程 ，焦點在軸上； 焦點為,且； 兩個焦點分別為,且過點; 經(jīng)過點和. 例3已知方程表示焦點在軸上得橢圓，求的取值范圍。八、小結概括提出問題：本節(jié)課你都學習了哪些內(nèi)容？預設情境： 學生回答： 如何畫橢圓、橢圓的定義、橢圓的標準方程老師進行總結：定義平面內(nèi)與兩定點F1、F2距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡。標準方程圖形xF1MoyA 方案二OxxxxyMF1F2AB焦點坐標，之間的關系的幾何意義如上圖中的：,提出問題：除了知識方面的以外，還有哪些思想方法是我們必

9、須掌握的？預設情境：學生回答：數(shù)形結合法；觀察歸納法。 老師補充：類比的方法。最后老師總結：今天學習的內(nèi)容不是很多，但是我們從知識、能力、思想與應用等方面都理解和體驗了數(shù)學的奧秘，如果我們做生活的有心人，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學與生活是密切聯(lián)系的。九、作業(yè)布置課本68頁習題31，第1、4題；十、板書設計橢圓及其標準方程1. 橢圓的定義2. 橢圓的標準方程3. 橢圓方程的應用4. 小結橢圓標準方程的推導例題十一、教學反思 在教學設計中，應注意充分調(diào)動學生的已有知識，引導學生把新舊知識進行整合，掌握知識的系統(tǒng)結構。為了突破本節(jié)的難點橢圓概念的形成，在教學設計中我設計了一個活動，讓學生親手感受畫出橢圓的過程，并培養(yǎng)學習的信心。為了突出重點我設計了另一個活動是計算機輔助在建系的教學，讓學生能