級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)

1、摘要級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，研究級(jí)數(shù)對(duì)于深入探討數(shù)學(xué)分析問(wèn)題有著深遠(yuǎn)的意義。級(jí)數(shù)理論中最重要的問(wèn)題和學(xué)者研究最多的問(wèn)題則是關(guān)于級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的問(wèn)題。級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散性質(zhì)更是級(jí)數(shù)存在當(dāng)中的最基本的立足點(diǎn)。基于級(jí)數(shù)發(fā)散和收斂的問(wèn)題，本文對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行了比較詳細(xì)和系統(tǒng)的介紹，并在級(jí)數(shù)收斂性方面進(jìn)行了較為詳細(xì)的概括，包括級(jí)數(shù)的分類和收斂性的總結(jié)和應(yīng)用。本文第一個(gè)部分首先對(duì)常見(jiàn)的級(jí)數(shù)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)，進(jìn)行了大概的介紹，并從常見(jiàn)級(jí)數(shù)的定義、常見(jiàn)級(jí)數(shù)的分類、級(jí)數(shù)收斂發(fā)散的充要條件和對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)常用的收斂判別方法進(jìn)行詳細(xì)的分析概括。本文的第二個(gè)部分針對(duì)具體的級(jí)

2、數(shù)收斂方法，從方法的定義和方法的具體例子應(yīng)用兩個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行較為全面的介紹和分析，其中包括：判別級(jí)數(shù)發(fā)散與收斂的簡(jiǎn)單方法、比較判別法、比值判別法、高斯判別法、達(dá)朗貝爾判別法、對(duì)數(shù)判別法、積分判別法、拉貝判別法、柯西判別法。最后，本文第三部分通過(guò)整理級(jí)數(shù)散斂性判斷的方法，對(duì)本文進(jìn)行一個(gè)綜合的概括，主要從基于級(jí)數(shù)類型的方法和基于通項(xiàng)特征的方法兩個(gè)方面總結(jié)了解答收斂性問(wèn)題的分析思路和如何更快的尋找有效的方法。關(guān)鍵詞 ： 級(jí)數(shù) 斂散性 方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The

3、study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the ba

4、sic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence.

5、Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification

6、 of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the methods definition and specific exam

7、ples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, DAlembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a compreh

8、ensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem. Key words: Series Convergenc

9、e Mathod第一章 引言級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，與極限理論有密切的聯(lián)系，它與另一個(gè)分支微積分學(xué)一起作為基礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，這是因?yàn)橐环矫婺芙柚?jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。III廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)第二章 級(jí)數(shù)基本概念2.1 級(jí)數(shù)的定義其定義如下：設(shè)，記所有無(wú)限項(xiàng)加起來(lái)的和為而則稱為級(jí)數(shù)。注：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。2.2 級(jí)數(shù)的分類級(jí)數(shù)的種類

10、繁多，并沒(méi)有很詳細(xì)的分類標(biāo)準(zhǔn)，本文考慮從通項(xiàng)的內(nèi)容來(lái)看，主要分成兩大類：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：通項(xiàng)沒(méi)有含有函數(shù)的的級(jí)數(shù)。等比級(jí)數(shù)：（又稱幾何級(jí)數(shù)）形如其中 ，稱為等比級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：形如稱為等比級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的符號(hào)都相同，則稱為同號(hào)級(jí)數(shù)。對(duì)于同號(hào)級(jí)數(shù)，只須研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。交錯(cuò)級(jí)數(shù):若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間，即：稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。2第二章 級(jí)數(shù)基本概念一般項(xiàng)級(jí)數(shù)：沒(méi)有以上特點(diǎn)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)依賴于一個(gè)連續(xù)變量，,在一個(gè)區(qū)上變化，這個(gè)級(jí)數(shù)就成為一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱函數(shù)級(jí)數(shù)，記為。冪級(jí)數(shù)：有冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，即形如的

11、級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)：一般地說(shuō)，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，以的傅立葉系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為的傅立葉級(jí)數(shù)，其中稱為傅立葉系數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，則形如稱為泰勒級(jí)數(shù)。Laurent級(jí)數(shù)：如果函數(shù)在環(huán)形域解析，則可以展開(kāi)為其中3廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)稱為L(zhǎng)aurent系數(shù)，是環(huán)形域內(nèi)包圍在其內(nèi)部的任意簡(jiǎn)單封閉曲線。稱是在環(huán)形域的Laurent級(jí)數(shù)。2.3 級(jí)數(shù)收斂發(fā)散的充要條件一般收斂：級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題。從級(jí)數(shù)的收斂概念可知，級(jí)數(shù)的斂散性是借助于其部分和數(shù)列的斂散性來(lái)定義的。因此可從數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則得出級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則（

12、宋國(guó)柱，2004）：收斂等價(jià)于任意給定正數(shù)，必有自然數(shù)，當(dāng)，對(duì)一切自然數(shù)，有即充分靠后的任意一段和的絕對(duì)值可任意小。絕對(duì)收斂：設(shè)是實(shí)數(shù)列，如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；條件收斂：如果級(jí)數(shù)收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散，則說(shuō)級(jí)數(shù)條件收斂；一致收斂：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)域D中收斂于函數(shù)，若，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切同時(shí)成立，則說(shuō)在D一致收斂于。4第二章 級(jí)數(shù)基本概念2.4 常見(jiàn)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的收斂定理2.4.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 當(dāng)存在，則收斂；2. Cauchy準(zhǔn)則：級(jí)數(shù)收斂的充分和必要條件是，,使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)p成立。3. 無(wú)窮級(jí)數(shù)：收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則24.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分條件是它的部分序列和

13、有上界；2. 比較判別法：設(shè)，則 (1)若收斂，則也收斂； (2)若發(fā)散，則也發(fā)散；3. 比值判別法：設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 (1)若，則級(jí)數(shù)和 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； (2)若，級(jí)數(shù)收斂，則也收斂； (3)若，級(jí)數(shù)發(fā)散，則也發(fā)散。5廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)4. Cauchy判別法（根值判別法）：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)， (1)則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂； (2) 則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散； (3) 則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散。5. 對(duì)數(shù)判別法：若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)有，則收斂；若有，則發(fā)散。6. 積分判別法：設(shè)是上非負(fù)下降函數(shù)，則收斂。2.4.3 交錯(cuò)級(jí)數(shù)1. Leibniz判別法：設(shè)，且，則交錯(cuò)

14、級(jí)數(shù)收斂且余和的絕對(duì)值2. Cauchy定理：若級(jí)數(shù)和 都絕對(duì)收斂，其和分別為和，則它們的乘積6第二章 級(jí)數(shù)基本概念也是絕對(duì)收斂，且和為。2.4.4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. Cauchy準(zhǔn)則：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D一致收斂于的充分且必要條件是： ，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切及一切自然數(shù)P同時(shí)成立。2. weierstass判別法： 設(shè)在集合G上，且收斂，則在G上一致收斂。2.4.5 冪級(jí)數(shù)1. Abel定理：若在收斂，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，若在處發(fā)散，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。(1)冪級(jí)數(shù)在其收斂圓是內(nèi)閉一致收斂的。(2)比值法：若，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，這里，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。(3)根值法：，則級(jí)數(shù)的收斂半徑7廣東石油化工學(xué)院本科

15、畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)2.4.6 傅立葉級(jí)數(shù)1. 狄尼判別法：設(shè)連續(xù)或者至多有第一類間斷點(diǎn)，記若存在，使存在，則2. Lipschitz判別法 設(shè)在點(diǎn)滿足Lipa條件，即對(duì)充分小的 有（為常數(shù)，），則3. 狄里希萊-約當(dāng)判別法 若在上囿變，則在點(diǎn)4. 弗耶定理 設(shè)是周期為的連續(xù)函數(shù)，為傅立葉級(jí)數(shù)的部分和，則在上一致收斂于。5. 威爾斯托拉斯逼近定理 設(shè)，周期為，則存在三角多項(xiàng)式列一致收斂于。8第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法3.1 判別級(jí)數(shù)發(fā)散的簡(jiǎn)單方法（注：面對(duì)一道通項(xiàng)有規(guī)律的判定收斂性的題時(shí)，最初的想法應(yīng)該從定義下手）定義：如果級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列有極限，則收斂，反之發(fā)散。

16、例題l 判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)楣始?jí)數(shù)的部分和，又因?yàn)樗?，原?jí)數(shù)收斂。例題2 判別級(jí)數(shù)的散斂性解：因?yàn)?所以級(jí)數(shù)收斂。9廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)例題3 判別級(jí)數(shù)是否收斂。解：因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散。3.2 比較判別法3.2.1 定理及其極限形式為了考查一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的散斂性，常用另一個(gè)已知是收斂的或者已知是發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)與之作比較（可見(jiàn)比較判別法只用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)）。在此先引入幾個(gè)常用來(lái)做比較的級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)。等比級(jí)數(shù)：（幾何級(jí)數(shù)）判別法：級(jí)數(shù)叫做等比級(jí)數(shù)，下面討論該級(jí)數(shù)的散斂性。 解：（1）如果，則部分和當(dāng)時(shí)，由于，所以，因此級(jí)數(shù) 收斂，其和為； 當(dāng)時(shí)，由于，

17、所以，因此級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）如果，則有10第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法當(dāng)時(shí)，從而，所以級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，所以有，從而不存在，所以級(jí)數(shù)發(fā)散；由上可知:當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂；而當(dāng)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，試討論該級(jí)數(shù)的散斂性。解：令，由拉格朗日中值定理可知，存在。使得即所以有,將上面所有式子的兩端分別相加得其中 為調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和因?yàn)?11廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)所以,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。.P級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)稱為P級(jí)數(shù),試討論該級(jí)數(shù)的散斂性.解:(1)當(dāng)時(shí),這時(shí)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都不小于把調(diào)和級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng),即由前面可知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,由比較判別法可知該級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)當(dāng)時(shí),把P級(jí)數(shù)寫成而

18、是一個(gè)等比級(jí)數(shù),且,其公比,于是級(jí)數(shù)收斂,由比較判別法可知,P級(jí)數(shù)收斂.綜上所述,當(dāng)時(shí),P級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),P級(jí)數(shù)發(fā)散.在介紹幾個(gè)常用來(lái)比較的級(jí)數(shù)后,接著介紹比較判別法比較判別法定義 ：設(shè)和是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則(1) 如果收斂，并且存在和，使得，那么級(jí)數(shù)也收斂；(2) 如果發(fā)散，并且存在和，使得，那么12第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法級(jí)數(shù)也發(fā)散。 證明：(1)對(duì)于，因?yàn)橛猩辖纾砸灿猩辖纭?(2)反證法：對(duì)于，如果級(jí)數(shù)收斂，那么根據(jù)上面的結(jié)論，級(jí)數(shù)也應(yīng)該收斂，但這與題設(shè)所矛盾。所以是發(fā)散級(jí)數(shù)。例題1 設(shè)，試判斷級(jí)數(shù)的散斂性。解：由題意得因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù) 也收斂。例題2 試判斷級(jí)數(shù)的散斂性。解：容易知

19、道 ，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散推論：設(shè)和是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且設(shè)極限存在，則有： (1)如果級(jí)數(shù)收斂，那么級(jí)數(shù)也收斂，13廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié) (2)如果級(jí)數(shù)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)也發(fā)散。證明：（1）對(duì)于取定的，存在，使得只要，就有，也就是 （2）對(duì)于取定的，存在，使得只要，就有，也就是 例題3 設(shè)，試判斷級(jí)數(shù)的散斂性。解：容易知道因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù) 收斂。例題4 試判斷級(jí)數(shù)的散斂性。解：容易知道因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。14第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法3.2.2 比值判別法運(yùn)用比較判別法來(lái)解決級(jí)數(shù)散斂性問(wèn)題是一種廣泛應(yīng)用的方法，但前提是需要找到一個(gè)能用來(lái)做比較的級(jí)數(shù)，要找到一個(gè)

20、合適的級(jí)數(shù)并不容易，所以很多時(shí)候就要用到以下的比值判別法：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。例題5 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)楣矢鶕?jù)比值判別法可知，原級(jí)數(shù)收斂。例題6 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)?5廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)因此，比值判別法失效，但，而級(jí)數(shù)是收斂的，可以根據(jù)比較判別法可知，原級(jí)數(shù)也收斂。3.2.3 活用比較判別法當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時(shí)，比較對(duì)象常常選擇P級(jí)數(shù)或者調(diào)和級(jí)數(shù)。例題7 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)橛钟捎谑諗?，則由比較判別法可知，級(jí)數(shù)也收斂。例題8 試判別級(jí)數(shù)的散斂性

21、。解：因?yàn)椋钟捎谑諗?，則根據(jù)比較判別法可知，原級(jí)數(shù)也收斂。例題9 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)橛钟屑?jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法可知，原級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。16第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法例題10 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：考慮到當(dāng)時(shí)，則而是公比的收斂級(jí)數(shù)，故根據(jù)比較判別法可知，原級(jí)數(shù)收斂。例題11 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：由于而是收斂的級(jí)數(shù)，所以原級(jí)數(shù)收斂。3.3 柯西判別法柯西根式判別法（普通形式）設(shè)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，(1)如果存在和，使得，那么級(jí)數(shù)收斂。(2)如果對(duì)無(wú)窮個(gè)有，那么級(jí)數(shù)發(fā)散?？挛鞲脚袆e法（極限形式）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。并設(shè)存在極限，則有(1)如果，那么級(jí)數(shù)收斂，17廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文

22、：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)(2)如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：（1）對(duì)于取定的，存在，使得。（2）對(duì)于取定的，存在，使得。例題1 判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：由于根據(jù)柯西判別法可知，級(jí)數(shù)收斂。例題2 試判斷級(jí)數(shù)的散斂性。解：由于根據(jù)柯西判別法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.4達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法（普通形式） 設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。(1)如果存在和使得，那么級(jí)數(shù)收斂。(2)如果存在使得，那么級(jí)數(shù)收斂。達(dá)朗貝爾判別法（極限形式） 設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。并存在極限18第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法則有(1)如果，那么級(jí)數(shù)收斂。(2)如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：(1)對(duì)于取定的，存在，使得只要，就有.(2)對(duì)于取定的，存在，使得只要，就

23、有.推論 設(shè)和都是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。(1)如果級(jí)數(shù)收斂，并且存在，使得，那么級(jí)數(shù) 也收斂。(2)如果級(jí)數(shù)發(fā)散，并且存在，使得，那么級(jí)數(shù) 也發(fā)散。例題1 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：由于由達(dá)朗貝爾定理可知，級(jí)數(shù)收斂。19廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)例題2 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：由于由達(dá)朗貝爾定理可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.5 對(duì)數(shù)判別法對(duì)數(shù)判別法（普通形式） 設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。若從某一項(xiàng)起有，則有級(jí)數(shù)收斂；若從某一項(xiàng)起，則有級(jí)數(shù)發(fā)散。對(duì)數(shù)判別法（極限形式） 設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)有可能收斂也有可能發(fā)散。例題1 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

24、有，所以20第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法但由于發(fā)散，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。例題2 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：由題可知，因?yàn)樗缘牵瑒t有級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)收斂。例題3 試討論級(jí)數(shù)的散斂性。解： 由題可知，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為則有21廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)由對(duì)數(shù)判別法可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散。3.6 積分判別法柯西積分判別法：設(shè)函數(shù)在單調(diào)下降并且非負(fù)，則級(jí)數(shù)與廣義積分同為收斂或同為發(fā)散。證明：依題意得，為上的非負(fù)減函數(shù)，對(duì)于任意的正數(shù)，在上可積，從而有，依次相加可得，若此積分收斂，則上式的左邊，對(duì)于任何的整數(shù)，有，于是級(jí)數(shù)收斂。反之，若級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)，則上式的右邊，對(duì)于任意正整數(shù)有，因?yàn)槭欠秦?fù)減函數(shù)，故

25、對(duì)任意的正數(shù)，都有，根據(jù)上式得收斂。同理可證級(jí)數(shù)和積分是同時(shí)發(fā)散的。例題1 試判別級(jí)數(shù)的散斂性。解：將級(jí)數(shù)換成積分形式，由于即收斂，根據(jù)積分判別法可知，也收斂。22第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法例題2 試判別級(jí)數(shù)的散斂性解：將級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化成積分的形式，由于，即發(fā)散，根據(jù)積分判別法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.7拉貝判別法拉貝判別法（普通形式）設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。（1）如果存在和，使得，那么級(jí)數(shù)收斂。（2）如果存在，使得，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：（1）由題可得，取一實(shí)數(shù)，滿足，則級(jí)數(shù)收斂，另，則對(duì)于充分大的有，所以，級(jí)數(shù)也收斂。（2）由題意得，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)也發(fā)散。拉貝判別法（極限形式）設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且

26、以下的極限存在，23廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)（1）如果，那么級(jí)數(shù)收斂。（2）如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。例題1：試討論級(jí)數(shù)，當(dāng)是的收斂性。解：當(dāng)時(shí)，容易根據(jù)拉貝判別法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，容易根據(jù)拉貝判別法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，容易根據(jù)拉貝判別法可知，級(jí)數(shù)收斂。從上面我們可以看出,有些比值判別法不能判別的可用拉貝判別法可以判別,但是用拉貝判別法也同樣要受到比較因子的精確度的限制。24第三章 級(jí)數(shù)斂散性判別法3.8高斯判別法設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)有，則有(1)如果，那么級(jí)數(shù)收斂；如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。(2)如果，那么級(jí)數(shù)收斂；如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。(3)如果，那么級(jí)數(shù)收斂；如果，那么級(jí)

27、數(shù)發(fā)散。推論：設(shè)是嚴(yán)格的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)有，則有(1)如果，那么級(jí)數(shù)收斂；如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。(2)如果，那么級(jí)數(shù)收斂；如果，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。例題1 設(shè)，試判別級(jí)數(shù)的散斂性。25廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)解：令，則由此可得但由于所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)是，顯然有，故級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，有故，所以例題2 設(shè)，試討論級(jí)數(shù)的散斂性。解：因?yàn)楣十?dāng)是，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。26第四章 級(jí)數(shù)斂散性比較及應(yīng)用第四章 級(jí)數(shù)斂散性比較及應(yīng)用4.1 基于級(jí)數(shù)類型的方法總結(jié)對(duì)于級(jí)數(shù)的斂散性判斷，當(dāng)一個(gè)級(jí)數(shù)是具體屬于某一種級(jí)數(shù)，則可以考慮利用該種級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的收斂判別法來(lái)進(jìn)行判別其散斂性。而常見(jiàn)的幾種級(jí)數(shù)和對(duì)

28、應(yīng)的判別法如下表：表1 判別總結(jié)表級(jí)數(shù)類型散斂性判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法、根值判別法、比值判別法、對(duì)數(shù)判別法、拉貝判別法、高斯判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)柯西判別法、絕對(duì)收斂判別法、 Abel判別法交錯(cuò)收斂判別法、Dirichlet判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)M判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法、狄尼判別法、一致收斂判別法冪級(jí)數(shù)Abel定理、比值法、根值法傅立葉級(jí)數(shù)狄尼判別法、Lipschitz判別法、弗耶定理狄里希來(lái)-約當(dāng)判別法、威爾斯托拉斯逼近定理4.1.1 對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若給出的級(jí)數(shù)是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般可以利用以下的流程來(lái)進(jìn)行判斷：27廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)已給級(jí)數(shù)發(fā)散是否交錯(cuò)級(jí)

29、數(shù)萊布尼茨判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式可行？否？是正項(xiàng)級(jí)數(shù)否？比值判別法可行？比值判別法其他方法收斂或發(fā)散否是否否是否否否是是是圖1 判別流程圖對(duì)于求級(jí)數(shù)的散斂性，首先要研究出其通項(xiàng)。但是當(dāng)級(jí)數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差或等比式或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí)，可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷。下面通過(guò)具體的例子說(shuō)明：例題1 試判別級(jí)數(shù)的散斂性分析：容易知道(1)首先判斷是否為，因?yàn)椋杂?2)然后判斷是否為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于，故原級(jí)數(shù)為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)(3)因?yàn)?8第四章 級(jí)數(shù)斂散性比較及應(yīng)用因此，比值判別法失效。(4)現(xiàn)在考慮比較判別法，由于，

30、而級(jí)數(shù)是收斂的，可以根據(jù)比較判別法可知，原級(jí)數(shù)也收斂。4.1.2 對(duì)冪級(jí)數(shù)若給出的級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)，一般可以利用以下的方法來(lái)進(jìn)行判斷：(1)首先要求出收斂域，利用式子求出收斂半徑，從而確定冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，將分別代入冪級(jí)數(shù)中，此時(shí)的冪級(jí)數(shù)就成為了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，然后就可以按照常數(shù)項(xiàng)的散斂性判別法判斷其散斂性。(2)很多時(shí)候可以通過(guò)一些冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式間接的將一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，具體如下：(3)將一個(gè)函數(shù)直接展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)的步驟如下：29廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié) A求出的各階導(dǎo)數(shù)，再求出函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，若某階導(dǎo)數(shù)不存在，就停止進(jìn)行，此時(shí)函數(shù)不能展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。 B寫出在處

31、的泰勒級(jí)數(shù)，并求出其收斂域。 C考查在其收斂域內(nèi)是否有，若極限為零，則第（1）中求出的冪級(jí)數(shù)就是函數(shù)的展開(kāi)式，若極限不為零。則冪級(jí)數(shù)雖然收斂，但它的和并不是所給的函數(shù)。D最后寫出在點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式。例題2 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解：求出的各階導(dǎo)數(shù)及其在處的函數(shù)值：， 因此在處的泰勒級(jí)數(shù)為：其收斂半徑為，收斂區(qū)間為。 對(duì)任意有限數(shù)余項(xiàng)的絕對(duì)值由比較判別法知道收斂，又有級(jí)數(shù)收斂的必要條件有而相對(duì)于是一個(gè)常數(shù)，則有30第四章 級(jí)數(shù)斂散性比較及應(yīng)用的泰勒級(jí)數(shù)為：4.1.3 對(duì)于傅立葉級(jí)數(shù)若是需要化為傅立葉級(jí)數(shù)，一般可以利用以下的方法來(lái)進(jìn)行判斷（韓志剛，2003）：將周期函數(shù)在上展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)的步驟 (

32、1)運(yùn)用收斂定理判斷是否滿足收斂條件。 (2)若滿足收斂定理?xiàng)l件，則求出傅立葉系數(shù)。 (3)寫出傅立葉級(jí)數(shù)并注明在何處收斂于函數(shù)例題3 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，在上的表達(dá)式為將函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。解：函數(shù)的圖形如下，所給的函數(shù)在處不連續(xù)，而在其余點(diǎn)處都連續(xù)，滿足收斂定理的條件。圖2 函數(shù)圖像31廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：級(jí)數(shù)斂散性總結(jié)當(dāng)時(shí)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于當(dāng)時(shí)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于。下面計(jì)算傅立葉系數(shù)于是，函數(shù)的傅立葉展開(kāi)式為32第四章 級(jí)數(shù)斂散性比較及應(yīng)用4.2 基于通項(xiàng)特征的方法總結(jié)按照上面所說(shuō)的方法的確可以有效的使我們更快的判斷級(jí)數(shù)的散斂性，但是對(duì)于通項(xiàng)一些有明顯的一些特征的時(shí)候，可以采取下面的一些方法，以便更快的達(dá)到判斷的效果。(1)對(duì)于求級(jí)數(shù)的散斂性，首先要研究出其通項(xiàng)。但是當(dāng)級(jí)數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差或等比式或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí)，可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷。如（張筑生，2008）：取，若令，有所以級(jí)數(shù)發(fā)散。(2)當(dāng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如含有或等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較、不容易算出或者等此類無(wú)法判斷級(jí)數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級(jí)數(shù)的證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)選用比較判別