高二升高三數(shù)學(xué)暑假作業(yè)04 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（證明不等式、恒成立、有解、零點(diǎn)、方程的根、雙變量、隱零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移）（解析版）

限時(shí)練習(xí)：90min完成時(shí)間：月日天氣：作業(yè)04導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（證明不等式、恒成立、有解、零點(diǎn)、方程的根、雙變量、隱零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移）恒成立問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，（1）的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）能成立（有解）問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，（1）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域?yàn)棰?，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比），則只需要極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏.極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式1.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.一、單選題1．對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出函數(shù)和的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，則直線恒過點(diǎn)，如圖，畫出和的圖象，兩個函數(shù)圖象都過點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，，即，

如圖可知，若，成立，則.故選：D2．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)單調(diào)性對已知不等式變形，再通過構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題可知，，由于，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即恒成立，令，，則，由可得，，由可得，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，即，故，解得故實(shí)數(shù)的最小值為.故選：B3．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值，由函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，解得，,的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有極小值，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)無限趨向于負(fù)無窮大時(shí)，無限趨向于0；當(dāng)無限趨向于正無窮大時(shí)時(shí)，無限趨向于正無窮大，由此作出函數(shù)的大致圖象：由圖象得：當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為0個；當(dāng)或時(shí)，交點(diǎn)為1個；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為2個.若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn)，則由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.4．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】等價(jià)于，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得等價(jià)于，進(jìn)而可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可得出答案．【詳解】等價(jià)于，令，則，所以是增函數(shù)，所以等價(jià)于，所以，所以，令，則，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，故所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個數(shù)為4，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最值，以及函數(shù)的趨勢，畫出函數(shù)的圖象，利用圖象，解決函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由此可知在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如圖所示作出函數(shù)的大致圖象，則有四個零點(diǎn)，則與的圖象有四個交點(diǎn)，因此，得，故選：C二、多選題6．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．有兩個極值點(diǎn)B．有三個零點(diǎn)C．直線是曲線的切線D．滿足【答案】ABD【分析】對求導(dǎo)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值，即可判斷A，B；利用導(dǎo)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)值為時(shí)的的值，即可確定切線斜率為的切點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定過該點(diǎn)的切線方程，即判斷C；根據(jù)解析式秋求解，從而得，即可判斷D．【詳解】因?yàn)?，則，令，得，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，且，，圖象如圖所示：故有兩個極值點(diǎn)，三個零點(diǎn)，故A，B正確；令，則，且，故函數(shù)在處的切線斜率為，此時(shí)切線方程為，即在處的切線方程為，故C錯誤；又，則，所以，故D正確．故選：ABD．7．已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A．時(shí)，恒成立B．時(shí)，無極值點(diǎn)C．若有3個零點(diǎn)，則的范圍為D．時(shí)，有唯一零點(diǎn)且【答案】BCD【分析】對于AB：將和代入，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求極值最值即可求解；對于C：將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和極值，然后畫圖求解；對于D：利用零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，又，A錯誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，，令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，無極值，B正確；對于C：令，當(dāng)時(shí)，顯然，則，記，則當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)圖象如下：所以若有3個零點(diǎn)，則的范圍為，C正確；對于D：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理可得有唯一零點(diǎn)且，D正確；故選：BCD.8．對于函數(shù)，給出下列命題，其中正確的有（

）A．有三實(shí)數(shù)根，則B．有一實(shí)數(shù)根，則C．的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為D．是極大值，是極小值【答案】ACD【分析】求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可求得單調(diào)性，結(jié)合極值定義可求得極大值和極小值，即可判斷CD；結(jié)合圖象判斷AB.【詳解】由題意可知：定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，則的極大值為，極小值為，故CD正確；且當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于；可得的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知：若有三實(shí)數(shù)根，則，故A正確；若有一實(shí)數(shù)根，則，故B錯誤；故選：ACD.三、填空題9．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性從而得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性從而求出的最小值，即可求解.【詳解】關(guān)于的不等式恒成立，即恒成立，令，，則，，在單調(diào)遞增，，即，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，，.故答案為：.10．已知函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】由題意可得即有兩個不等的實(shí)數(shù)解，令，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值、最值，畫出圖象，通過圖象即可得到結(jié)論.【詳解】函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)等價(jià)于即有兩個不等的實(shí)數(shù)解，令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在處取極大值，極大值為，且極大值也為的最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如下：由圖可得當(dāng)時(shí)，與有兩個交點(diǎn)，即方程有兩個實(shí)數(shù)根，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；故答案為：四、解答題11．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）要使恒成立，則需成立，借助導(dǎo)數(shù)，分、、討論，得其單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，，曲線在處的切線方程為；（2）要使恒成立，則需成立，，當(dāng)時(shí)，，所以在遞增，而，不合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，令得，則在遞減，在遞增，所以，解得.綜上所述，.12．已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)討論的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求含參函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值關(guān)系和函數(shù)零點(diǎn)存在定理對a的范圍進(jìn)行分類討論，即可求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）若，則.又,切點(diǎn)為，曲線在處的斜率，故所求切線方程為即.（2）由題．1°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又.故存在一個零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)個數(shù)為1.2°當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故的最小值為.當(dāng)時(shí)，的最小值為0，此時(shí)有一個零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，此時(shí)沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的最小值小于0，，時(shí)，，此時(shí)有兩個零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn).1．已知函數(shù)，若不等式的解集中有且僅有一個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，由僅有一個整數(shù)解，得只有一個整數(shù)解，再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出的函數(shù)圖象如圖所示：

由僅有一個整數(shù)解，得只有一個整數(shù)解，設(shè)，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若只有1個整數(shù)解，則此整數(shù)解必為1，所以，即，解得．故選：D．2．已知，若關(guān)于x的方程恰好有6個不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】作出函數(shù)簡圖，根據(jù)方程有6個不同的實(shí)數(shù)解列出限制條件，進(jìn)而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，.，為增函數(shù),，為減函數(shù),且.其簡圖如下，

設(shè)，由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有三個根，因?yàn)榉匠糖『糜?個不同的實(shí)數(shù)解，所以在上有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則，解得.故選：CD3．已知函數(shù)，有兩個不相等的正實(shí)數(shù)，使得．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】（1）求出得出的單調(diào)性；（2）不妨設(shè),先分析出,再構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，,利用導(dǎo)數(shù)分別完成對左右的證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）,當(dāng)時(shí)，且,當(dāng)時(shí),,結(jié)合(1)可知,函數(shù)有兩個不相等的正實(shí)數(shù),使得,又,不妨設(shè),則必有,要證:,即證明,由于，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以即證:.又因?yàn)?所以即證：.構(gòu)造函數(shù)，有，易知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,所以在上恒成立,即函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么,由，可得.因?yàn)椋?，所?設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，,于是有時(shí).因?yàn)?，所以，則.又因?yàn)?所以，故.因?yàn)?，所以，所以，?綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題:1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值)，從而得出不等關(guān)系;2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法:根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系;4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).4．設(shè)函數(shù).(1)若，求在處的切線方程(2)若，，求的取值范圍(3)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）分析可知原題意等價(jià)于，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和最值，結(jié)合存在性問題分析求解；（3）由題意分析可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，可得在內(nèi)恒成立，參變分離結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】（1）若，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，所以切線方程為，即.（2）若，且，可得，原題意等價(jià)于，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，所以的取值范圍為.（3）因?yàn)?，，整理得，?gòu)建，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)恒成立，整理得在內(nèi)恒成立，對于可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得，所以的取值范圍為.5．已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)證明：若，且，則.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，分成和兩種情況討論即可求解；（2）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，結(jié)合及得到，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算最值得到證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?若，則，所以在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，a的取值范圍為.（2）記，則，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，且，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以是的極大值點(diǎn).令，則，所以是上的增函數(shù)，故，所以當(dāng)時(shí)，，令，則，由，得，時(shí)，是減函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，所以，即，所以，下面證明，令，即證，即，設(shè)，則，所以是上的增函數(shù)，所以時(shí)，，成立，命題得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)是B．函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)C．存在實(shí)數(shù)，使得成立D．對任意兩個正實(shí)數(shù)，若，則【答案】BD【分析】對于A，直接求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系直接判斷即可；對于B，求導(dǎo)得單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解；對于C，當(dāng)趨近無窮大時(shí)，無限接近于，也無限趨近于，從而也趨近，由此即可判斷；對于D，通過分析只需證明，進(jìn)一步通過換元并構(gòu)造函數(shù)即可得證.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值，所以選項(xiàng)A錯誤；對于B，函數(shù)，則，由于，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；對于C，由，可得當(dāng)趨近無窮大時(shí)，無限接近于，也無限趨近于，從而也趨近，故不存在實(shí)數(shù)，使得成立，所以選項(xiàng)C錯誤；對于D，由得，要證，只要證，即證，不妨取，故令，則，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即成立，故成立，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是適當(dāng)轉(zhuǎn)換問題為證明在上恒成立，由此可順利得解.2．已知函數(shù)，（）.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間(2)【分析】（1）求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性，得到，進(jìn)而得到的單調(diào)性即可；（2）問題等價(jià)于有兩解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，得到，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算解得，之后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）當(dāng)，，，當(dāng)，令，則，因?yàn)楹愠闪?，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減.（2）根據(jù)條件有兩個零點(diǎn)等價(jià)于有兩解.不妨令，則（），當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，因此在遞減，最多一個零點(diǎn)，不符.當(dāng)時(shí)，由，解得；，解得；所以，時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；若有兩個零點(diǎn)，則必有，化簡得，解得，又因，，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在單調(diào)遞減，可得，也即得在恒成立，從而可得在，區(qū)間上各有一個零點(diǎn)，綜上所述，若有兩個零點(diǎn)實(shí)數(shù)a的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題可理解為方程根的個數(shù)問題，求導(dǎo)分析單調(diào)性和極值可求解.3．已知函數(shù).(1)求的極值.(2)已知，且.①求的取值范圍；②證明:.【答案】(1)極小值0，極大值(2)①；②證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性根據(jù)極值定義求解；（2）根據(jù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值求得的取值范圍；利用單調(diào)性可知，令，則，求得，利用分析法將所要證明的問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）由題意，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值.（2）①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因?yàn)?，，由?）的單調(diào)性可知，令，則，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故成立.1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)椋瑒t令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點(diǎn)小于1,一個零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，故兩邊取對數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握3．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.4．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得