2025屆廣西壯族自治區(qū)河池市部分學(xué)校高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)河池市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，或，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，.故選：A2.若，則（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】由，得，所以，則.故選：A.3.設(shè)向量，，若，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】由，得，解得.故選：C4.已知是等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，解得，所以，解得，所以.故選：B.5.已知，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】已知，為動點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，由于，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，且，即，則，則點(diǎn)的軌跡方程為，，設(shè)，由可得，整理得點(diǎn)軌跡方程為，所以.故選：C.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，即，，即，所以.故選：D.7.某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A.32個 B.28個 C.27個 D.24個【答案】B【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類：①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，⑦“222”組合，有1種.由分類加法計數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有個.故選：B.8.函數(shù)（其中，且）是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由.若單調(diào)遞增，則恒成立，即.設(shè)，，又函數(shù)在時函數(shù)值趨近于0，不滿足條件；若單調(diào)遞減，則恒成立，即，當(dāng)時，函數(shù)在時函數(shù)值趨向于，不滿足條件，所以，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某超市隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名顧客的消費(fèi)金額作為樣本，并分組如下：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費(fèi)金額在（單位：元）內(nèi)的顧客約有180人B.若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是145元C.若用樣本估計總體，則該超市當(dāng)天消費(fèi)金額的中位數(shù)是100.8元D.現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是【答案】BD【解析】因為，所以，對于A，所以消費(fèi)金額在內(nèi)的顧客約有人，A選項錯誤；對于B，樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是元，B選項正確；對于C，設(shè)消費(fèi)金額的中位數(shù)是，前二組的頻率和為，前三組的頻率和為，所以在第三組，所以，所以元，C選項錯誤；對于D，第1組頻率，第2組頻率分別為，所以從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，所以從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是，D選項正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的周期B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】因為，所以是函數(shù)的周期，故A正確；因為，，所以，故B錯誤；設(shè)，所以，所以，當(dāng)時，可得，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；當(dāng)時，可得，則，又由，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則平面平面B.若，則與所成角的取值范圍為C.若，則平面D.若，則線段長度的最小值為【答案】AC【解析】A項，如圖，取線段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動；由分別是線段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；B項，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，則又，所以，，因，則，，，因為與所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯誤；C項，如圖，過作，交于，則為中點(diǎn).延長至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動；又平面，故平面，故C正確；D項，如圖，連接.若，由，可得，，，與C項同理可得，點(diǎn)P在線段NG上運(yùn)動.連接，同選項B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時，線段長度的最小值為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為第一象限角，，則＝_______．【答案】【解析】因為為第一象限角，，所以，所以.故答案為：.13.已知是拋物線上三個不同的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)，，成等差數(shù)列，是的焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，故，故，故，所以，即，若，則，故中必有兩個點(diǎn)相同，這與題設(shè)矛盾，故，故，由基本不等式有，即，故答案為：.14.已知定義在的函數(shù)滿足對任意的正數(shù)，都有，若，則______．【答案】【解析】對任意的正數(shù)，都有，令可得，解得；再令，可得，故，由，則可得，即；再令，可得，進(jìn)而有，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若的面積為，求邊的大小.解：（1）由正弦定理與，得.所以即.因為，所以，又，所以，又，所以.（2）因為的面積為，所以，即，解得.由余弦定理，得，所以.16.已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，所以的圖象在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，定義域為，所以，因為在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號零點(diǎn)，令，則在上必存在變號零點(diǎn)，因為，所以，解得，當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，符合題意，故的取值范圍為.17.在平面圖形AEBCD（如圖1）中，已知，，，，將沿著AB折起到的位置，使得，連接DP，得到四棱錐，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面ADP與平面CDP夾角的余弦值.（1）證明：四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由，，得，則，，又，于是四邊形為平行四邊形，，，由，得，則，，而，平面，于是平面，又平面，則，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：在平面內(nèi)過點(diǎn)作，由（1）知平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面法向量，則，令，得，則，所以平面ADP與平面CDP夾角的余弦值是.18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)的左?右焦點(diǎn)分別為，且.（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)?，且線段的中點(diǎn)恰好為，求直線的方程；（3）若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于不同兩點(diǎn)，直線的斜率成等差數(shù)列，求的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，，所以，即，因為點(diǎn)在上，所以，由解得，所以的方程為；（2）設(shè)，則，且，兩式相減得，即，因為線段的中點(diǎn)為，所以，所以，即直線的斜率為1，所以直線的方程為，即.（3）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由，整理得，所以.因為直線的斜率成等差數(shù)列，所以，即，整理得，因為不經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，代入，得，所以的取值范圍是.19.某市教育局舉辦的校園足球比賽，其中小學(xué)生足球淘汰賽階段的比賽規(guī)則如下：①常規(guī)時間分上、下半場，每個半場各30分鐘，在常規(guī)時間內(nèi)進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；②如果在常規(guī)時間內(nèi)兩隊?wèi)?zhàn)平，則雙方各派3名隊員進(jìn)行3輪點(diǎn)球決戰(zhàn)，進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；③如果點(diǎn)球大戰(zhàn)依然戰(zhàn)平，則將進(jìn)行抽簽決定哪支球隊進(jìn)入下一輪，現(xiàn)有甲、乙兩隊進(jìn)行淘汰賽階段的比賽．（1）假設(shè)在常規(guī)時間內(nèi)甲隊獲勝的概率為，戰(zhàn)平的概率為；在點(diǎn)球大戰(zhàn)中甲隊獲勝以及戰(zhàn)平的概率均為；在抽簽環(huán)節(jié)，兩隊進(jìn)入下一輪機(jī)會均等．已知在甲隊進(jìn)入下一輪的條件下，求他們是通過抽簽進(jìn)入下一輪的概率；（2）點(diǎn)球大戰(zhàn)中，當(dāng)領(lǐng)先的一方提前獲得比賽的勝利，則剩下的隊員不再出場進(jìn)行點(diǎn)球比賽（如甲方3∶1領(lǐng)先時，乙隊的最后一名隊員不必再出場比賽）．假設(shè)甲隊每名隊員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，乙隊每名隊員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，點(diǎn)球大戰(zhàn)每一輪由甲隊先踢．（?。┯泝申狘c(diǎn)球決戰(zhàn)一共出場的球員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求甲隊在點(diǎn)球大戰(zhàn)中獲勝的概率．解：（1）設(shè)為“甲進(jìn)入下一輪”，為“甲乙兩隊抽簽”，則，，故.（2）（?。┛扇?，當(dāng)時，共進(jìn)行2輪點(diǎn)球，若甲贏，則2輪點(diǎn)球甲均進(jìn)球，而乙點(diǎn)球均未進(jìn)；若乙贏，則2輪點(diǎn)球乙均進(jìn)球，而甲點(diǎn)球均未進(jìn)；故，當(dāng)時，共進(jìn)行2輪點(diǎn)球，且第3輪甲踢點(diǎn)球結(jié)束比賽，若甲贏，則3輪點(diǎn)球甲踢進(jìn)2個球，而乙均未進(jìn)，或者甲踢進(jìn)3個點(diǎn)球，而乙踢進(jìn)一個點(diǎn)球；若乙贏，則前兩輪乙踢進(jìn)2個球，而甲踢進(jìn)1個球，第3輪甲未進(jìn)或前兩輪乙踢進(jìn)1個球，而甲均未踢進(jìn)，故，當(dāng)時，則前5次點(diǎn)球中甲乙的比分為，故，故的分布列如下：.（ⅱ）設(shè)為：“甲隊在點(diǎn)球大戰(zhàn)中獲勝”，由（ⅰ）可得：.廣西壯族自治區(qū)河池市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，或，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，.故選：A2.若，則（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】由，得，所以，則.故選：A.3.設(shè)向量，，若，則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】由，得，解得.故選：C4.已知是等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，解得，所以，解得，所以.故選：B.5.已知，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】已知，為動點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，由于，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，且，即，則，則點(diǎn)的軌跡方程為，，設(shè)，由可得，整理得點(diǎn)軌跡方程為，所以.故選：C.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，即，，即，所以.故選：D.7.某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A.32個 B.28個 C.27個 D.24個【答案】B【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類：①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，⑦“222”組合，有1種.由分類加法計數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有個.故選：B.8.函數(shù)（其中，且）是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由.若單調(diào)遞增，則恒成立，即.設(shè)，，又函數(shù)在時函數(shù)值趨近于0，不滿足條件；若單調(diào)遞減，則恒成立，即，當(dāng)時，函數(shù)在時函數(shù)值趨向于，不滿足條件，所以，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某超市隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名顧客的消費(fèi)金額作為樣本，并分組如下：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費(fèi)金額在（單位：元）內(nèi)的顧客約有180人B.若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是145元C.若用樣本估計總體，則該超市當(dāng)天消費(fèi)金額的中位數(shù)是100.8元D.現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是【答案】BD【解析】因為，所以，對于A，所以消費(fèi)金額在內(nèi)的顧客約有人，A選項錯誤；對于B，樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是元，B選項正確；對于C，設(shè)消費(fèi)金額的中位數(shù)是，前二組的頻率和為，前三組的頻率和為，所以在第三組，所以，所以元，C選項錯誤；對于D，第1組頻率，第2組頻率分別為，所以從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，所以從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是，D選項正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的周期B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】因為，所以是函數(shù)的周期，故A正確；因為，，所以，故B錯誤；設(shè)，所以，所以，當(dāng)時，可得，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；當(dāng)時，可得，則，又由，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則平面平面B.若，則與所成角的取值范圍為C.若，則平面D.若，則線段長度的最小值為【答案】AC【解析】A項，如圖，取線段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動；由分別是線段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；B項，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，則又，所以，，因，則，，，因為與所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯誤；C項，如圖，過作，交于，則為中點(diǎn).延長至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動；又平面，故平面，故C正確；D項，如圖，連接.若，由，可得，，，與C項同理可得，點(diǎn)P在線段NG上運(yùn)動.連接，同選項B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時，線段長度的最小值為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為第一象限角，，則＝_______．【答案】【解析】因為為第一象限角，，所以，所以.故答案為：.13.已知是拋物線上三個不同的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)，，成等差數(shù)列，是的焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，故，故，故，所以，即，若，則，故中必有兩個點(diǎn)相同，這與題設(shè)矛盾，故，故，由基本不等式有，即，故答案為：.14.已知定義在的函數(shù)滿足對任意的正數(shù)，都有，若，則______．【答案】【解析】對任意的正數(shù)，都有，令可得，解得；再令，可得，故，由，則可得，即；再令，可得，進(jìn)而有，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求邊的大小.解：（1）由正弦定理與，得.所以即.因為，所以，又，所以，又，所以.（2）因為的面積為，所以，即，解得.由余弦定理，得，所以.16.已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時，求的圖象在處的切線方程；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，所以的圖象在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，定義域為，所以，因為在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號零點(diǎn)，令，則在上必存在變號零點(diǎn)，因為，所以，解得，當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，又，故存在，使得，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，符合題意，故的取值范圍為.17.在平面圖形AEBCD（如圖1）中，已知，，，，將沿著AB折起到的位置，使得，連接DP，得到四棱錐，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面ADP與平面CDP夾角的余弦值.（1）證明：四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由，，得，則，，又，于是四邊形為平行四邊形，，，由，得，則，，而，平面，于是平面，又平面，則，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：在平面內(nèi)過點(diǎn)作，由（1）知平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面法向量，則，令，得，則，所以平面ADP與平面CDP夾角的余弦值是.18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)的左?右焦點(diǎn)分別為，且.（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)?，且線段的中點(diǎn)恰好為，求直線的方程；（3）若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于不同兩點(diǎn)，直線的斜率成等差數(shù)列，求的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，，所以，即，因為點(diǎn)在上，所以，由解得，所