第01講 空間向量及其線性運(yùn)算與7考點(diǎn)精講（學(xué)生版）-25新高二數(shù)學(xué)-高一升高二暑假預(yù)習(xí)課VIP

第01講空間向量及其線性運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\u1197第01講空間向量及其線性運(yùn)算 14421一、空間向量概念 211602基礎(chǔ)知識(shí) 232221考點(diǎn)1空間向量相關(guān)概念 28087二、空間向量線性運(yùn)算 415366基礎(chǔ)知識(shí) 428366考點(diǎn)2空間向量加減運(yùn)算 422378考點(diǎn)3空間向量線性運(yùn)算 53887考點(diǎn)4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù) 630148三、共線、共面向量 912357基礎(chǔ)知識(shí) 911825考點(diǎn)5向量共線的判定 10912考點(diǎn)6向量共面的判定 1120413考點(diǎn)7由空間向量共線、共面求參數(shù) 126476四、課后作業(yè) 1314727單選題 133215多選題 1414590填空題 1516652解答題 15

一、空間向量概念基礎(chǔ)知識(shí)1．空間向量概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【注】(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.考點(diǎn)1空間向量相關(guān)概念【例1.1】（23-24高二上·山東日照·階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．向量AB與BA的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【例1.2】（23-24高二上·山東聊城·階段練習(xí)）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體ABCD?A1B③a=b是向量④若空間向量m,n,p滿足m∥其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【變式1.1】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知正方體ABCD?A′B①OA+OD與②OB?OC與③OA+OB+④OA′?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1.2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量a,b滿足a=④若空間向量m,n,p滿足⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1

二、空間向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)1．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.考點(diǎn)2空間向量加減運(yùn)算【例1.1】（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知平行六面體ABCD?A′BA．ABB．AC．AD．AB【例1.2】（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知E,F分別是空間四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，P為空間中任意一點(diǎn)，則PA+PB+A．PG B．2PG C．3PG 【變式1.1】（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在空間四邊形OABC中，化簡OA+AB?A．OA B．OCC．AC D．OB【變式1.2】（23-24高二上·河北保定·期末）在三棱錐P?ABC中，M為AC的中點(diǎn)，則PM=（

A．12BA+C．12BA+考點(diǎn)3空間向量線性運(yùn)算【例2.1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，A．13AB?C．?13AB【例2.2】（23-24高二上·貴州·階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別為BC,AE的中點(diǎn)，G為△ACD的重心，則FG=（

A．?B．?C．1D．1【變式2.1】（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，則AD+12A．AB B．AC C．AE D．DE【變式2.2】（23-24高二上·河南南陽·階段練習(xí)）求a+2b?3A．2a+3C．2a?5考點(diǎn)4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)【例3.1】（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體OABC中，OA=a,OB=b,OC=A．3 B．2 C．12 D．【例3.2】（22-23高二上·福建莆田·期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M在BB1上，點(diǎn)N在DDA．16 B．13 C．23【變式3.1】（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A．x=?12,y=C．x=?12,y=?【變式3.2】（23-24高二·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xAB+yAD+zAAA．﹣1 B．0 C．13

三、共線、共面向量基礎(chǔ)知識(shí)1．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).2．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.考點(diǎn)5向量共線的判定【例1.1】（23-24高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【例1.2】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對角線A′(1)設(shè)向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【變式1.1】（23-24高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知A,B,P三點(diǎn)共線，O為直線外空間任意一點(diǎn)，若OP=αOA+β【變式1.2】（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求證：（1）AC//（2）OG=k考點(diǎn)6向量共面的判定【例2.1】（23-24高二·湖南·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【例2.2】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知A,B,M三點(diǎn)不共線，對于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【變式2.1】（2023高二·全國·專題練習(xí)）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k,m∈R.求證：A【變式2.2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：平面ABCD//平面EFCH(3)求證：OG=k考點(diǎn)7由空間向量共線、共面求參數(shù)【例3.1】（23-24高二上·遼寧·期中）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=?3eA．0 B．1 C．2 D．3【例3.2】（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）O為空間任意一點(diǎn)，若AP=?14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 【變式3.1】（22-23高二下·福建龍巖·期中）設(shè)向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【變式3.2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知O為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且BP=mOA+A．?1 B．2 C．?2 D．?3

四、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二上·新疆·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若a<b，則a<b B．若aC．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，AB2．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體ABCD?A1B1CA．C1B B．BC1 C．3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則AB+A．AN B．CNC．BC D．14．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1A．12a+C．?12a5．（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個(gè)不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面6．（22-23高二上·福建福州·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有ABB．a(chǎn)?b=a+C．若AB，CD共線，則ABD．對空間任意一點(diǎn)O不共線的三點(diǎn)A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，z7．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知e1、e2、e3為空間三個(gè)不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．?3 B．3 C．?15 D．158．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x,y滿足OD=xOA+2yOB?A．52 B．92 C．2多選題9．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若存在實(shí)數(shù)x，y，使MP=xMA+yMB，則點(diǎn)P，M，B．若p與a,b共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使C．若向量a、b所在的直線是異面直線，則向量D．若a、b、c是空間三個(gè)向量，則對空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組10．（23-24高二上·山西長治·期末）在三棱錐O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在直線OA上，且OM=2MA，A．ON=12C．NA=12填空題11．（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點(diǎn)，MN=2NO，設(shè)OA=a，OB=b，OC12．（23-24高二上·河北石家莊·期末）有下列命題：①若AB//CD，則②若AB//AC，則③若e1,e2為不共線的非零向量，④若向量e1,e2,其中是真命題的序號(hào)是（把所有真命題的序號(hào)都