2025數(shù)學(xué)?？級狠S題上冊八年級（滬科版）專題09 構(gòu)造全等三角形的五大方法-原卷版VIP

專題09構(gòu)造全等三角形的五大方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、利用“補形法”構(gòu)造全等三角形 3類型二、利用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形 5類型三、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形 7類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形 10類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形 12壓軸能力測評 141用SSS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.4用HL判定兩個直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.類型一、利用“補形法”構(gòu)造全等三角形“補形法”是指補全圖形的方法，主要是利用條件構(gòu)造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問題。例．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】．求證：在直角三角形中，若一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點D．（1）若的中點為M，連接交于點N，求證：；（2）如圖2，過點A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式訓(xùn)練3】．已知，如圖ΔABC中，，，的平分線交于點，，求證：.類型二、利用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形“截長補短”是處理線段間數(shù)量關(guān)系的一種重要的解題方法.當(dāng)題目中出現(xiàn)三條線段間的和差關(guān)系時(如a=b+c),?？紤]用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當(dāng)于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補短法解決問題的關(guān)鍵,是用"截"或"補"的手段去構(gòu)造線段.例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，為軸正半軸上一點，在第四象限，且，平分，．

(1)直接寫出B點坐標(biāo)；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，與交于點，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，，，分別是，的平分線，點E在上，求證：．

【變式訓(xùn)練3】．(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．類型三、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角相等）倍長中線最重要的一點：延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造?！痉椒ㄖv解】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結(jié)論：方式2：間接倍長如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E；如圖四：延長MD到N，使DN=MD，連接CN，例．如圖，為中線，點在上，交于點，．求證：．【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【變式訓(xùn)練2】．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，是上一點，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長至，使，連接）類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時，若條件較為分散，可考慮利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，可高效突破有關(guān)難題。手拉手模型便是由兩個同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個全等三角形旋轉(zhuǎn)而得，這便體現(xiàn)了全等三角形和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構(gòu)全等關(guān)鍵：抓住相等的邊，旋轉(zhuǎn)點，以及旋轉(zhuǎn)后圖形的特征3.遇45°，135°構(gòu)造全等通過全等構(gòu)造，將線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中以上這些，將會在另外專題中講到。例．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F(xiàn)分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在正方形ABCD中，點P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點Q，過點B作BE⊥AP于點E，交AQ于點F，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形例．小宇和小明一起進行數(shù)學(xué)游戲：已知，將等腰直角三角板擺放在平面內(nèi)，使點A在的內(nèi)部，且兩個底角頂點B，C分別放在邊上．

(1)如圖1，小明擺放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，從而直接可以判斷出點A在的角平分線上．請回答：小明能夠直接作出判斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是______．(2)如圖2，小宇調(diào)整了的位置，請判斷平分是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．【變式訓(xùn)練1】．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．

(1)如圖1所示，是中的遙望角，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系__________；(2)如圖1所示，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，四邊形中，，點E在的延長線上，連，若已知，求證：是中的遙望角．【變式訓(xùn)練2】．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，，則點B的坐標(biāo)為．1．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．34．如圖，在ΔABC中，，，平分，、分別是、上的動點，當(dāng)最小時，的度數(shù)為()A． B． C． D．5．如圖