2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第七章§7.4空間直線、平面的平行（含答案或解析）

§7.4空間直線、平面的平行課標(biāo)要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡單應(yīng)用.1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

?a性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面，那么該直線與交線平行

?a2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行

性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面，那么兩條平行

?a1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.()(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.()(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也互相平行.()2.如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交3.設(shè)有兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥n，m∥α，則n∥αD.若α∥β，m?α，則m∥β4.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為.1.掌握三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化2.靈活應(yīng)用以下結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn).求證：BE∥平面PAD.命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是正方形AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是正方形A1B1C1D1的對角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為()A.12 B.22 C.2 (2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，C1D1的中點(diǎn).求證：EF∥平面BB1D1D.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3(1)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，AC，BC的中點(diǎn).證明：AD∥平面C1EF.(2)如圖所示，AA1，BB1為圓臺(tái)的兩條不同的母線，O1，O分別為圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心.求證：A1B1∥AB.思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的交線.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E為棱AA1的中點(diǎn).在DD1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PA1C∥平面EBD？如果存在，請說明P點(diǎn)位置并證明；如果不存在，請說明理由.思維升華解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐A－BCDE中，N是BC的中點(diǎn)，四邊形BCDE為平行四邊形.試探究在線段AE上是否存在點(diǎn)M，使得MN∥平面ACD？若存在，請確定M點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由.

答案精析落實(shí)主干知識1.此平面內(nèi)a?αb?αa∥b相交a∥αa?βα∩β＝b2.相交直線a?βb?βa∩b＝Pa∥αb∥α相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.D[因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.]3.D[若m∥α，n∥α，則m，n可以平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，故B錯(cuò)誤；若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)誤；若α∥β，m?α，則m∥β，故D正確.]4.平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.探究核心題型例1證明方法一如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝12CD＝2又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法二如圖，延長DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴HBHC即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法三如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.例2證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.跟蹤訓(xùn)練1(1)B[連接AD1，AB1，則AD1過點(diǎn)P.如圖所示，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∵D1P＝PA，∴PQ＝12AB1＝12×1(2)證明連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，D1O，如圖所示，∵O，E分別為BD，BC的中點(diǎn)，∴OE∥DC，OE＝12∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F(xiàn)為D1C1的中點(diǎn)，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四邊形D1FEO為平行四邊形，∴EF∥D1O.又EF?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.例3(1)證明連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB.因?yàn)镋F?平面C1EF，AB?平面C1EF，所以AB∥平面C1EF.因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱B1C1，BC的中點(diǎn)，所以BF∥C1D，BF＝C1D，所以四邊形BDC1F是平行四邊形，則BD∥C1F.因?yàn)镃1F?平面C1EF，BD?平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.因?yàn)锳B∩BD＝B，AB，BD?平面ABD，所以平面ABD∥平面C1EF，因?yàn)锳D?平面ABD，所以AD∥平面C1EF.(2)證明∵圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，∴圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.∴母線AA1與母線BB1的延長線必交于一點(diǎn)，∴A，A1，B，B1四點(diǎn)共面.∵圓O1∥圓O，且平面ABB1A1∩圓O1＝A1B1，平面ABB1A1∩圓O＝AB.∴A1B1∥AB.跟蹤訓(xùn)練2證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝GH，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.例4解當(dāng)P為棱DD1的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面PA1C∥平面EBD，證明如下：連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，CP，A1P，如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又E為棱AA1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥A1C，又OE?平面PA1C，A1C?平面PA1C，所以O(shè)E∥平面PA1C，又P為棱DD1的中點(diǎn)，所以DP∥A1E且DP＝A1E，所以四邊形DPA1E為平行四邊形，所以DE∥A1P，又DE?平面PA1C，A1P?平面PA1C，所以DE∥平面PA1C，又DE∩OE＝E，DE，OE?平面EBD，所以平面PA1C∥平面EBD.跟蹤訓(xùn)練3解在線段AE上存在點(diǎn)M，且M為AE的中點(diǎn)，使得MN∥平面ACD.證明如下：取AD的中點(diǎn)G，連接CG，GM，如圖.因?yàn)镸為AE的中點(diǎn)，所以GM∥DE，且GM＝12因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，且四邊形BCDE為平行四邊形，所以CN∥DE，且CN＝12DE所以GM∥CN，且GM＝CN，所以四邊形CNMG為平行四邊形.所以GC∥MN.因?yàn)镚C?平面ACD，MN?平面ACD，所以MN∥平面ACD.

7.4空間直線、平面的平行課標(biāo)要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡單應(yīng)用.1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?αb?性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a?a∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β∥α性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α?a∥b1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(×)(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(×)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也互相平行.(×)2.如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交答案D解析因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.3.設(shè)有兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥n，m∥α，則n∥αD.若α∥β，m?α，則m∥β答案D解析若m∥α，n∥α，則m，n可以平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，故B錯(cuò)誤；若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)誤；若α∥β，m?α，則m∥β，故D正確.4.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為.

答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面DCGH=HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.1.掌握三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化2.靈活應(yīng)用以下結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E為PC的中點(diǎn).求證：BE∥平面PAD.證明方法一如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF=12CD又∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴ABEF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法二如圖，延長DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴HBHC=ABCD=即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法三如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知ABDH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH=H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH.思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是正方形AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是正方形A1B1C1D1的對角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為()A.12 B.22 C.2 答案B解析連接AD1，AB1，則AD1過點(diǎn)P.如圖所示，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∵D1P=PA，∴PQ=12AB1=12×12(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，C1D1的中點(diǎn).求證：EF∥平面BB1D1D.證明連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，D1O，如圖所示，∵O，E分別為BD，BC的中點(diǎn)，∴OE∥DC，OE=12DC∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F(xiàn)為D1C1的中點(diǎn)，∴OE∥D1F，OE=D1F，∴四邊形D1FEO為平行四邊形，∴EF∥D1O.又EF?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3(1)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，AC，BC的中點(diǎn).證明：AD∥平面C1EF.證明連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB.因?yàn)镋F?平面C1EF，AB?平面C1EF，所以AB∥平面C1EF.因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱B1C1，BC的中點(diǎn)，所以BF∥C1D，BF=C1D，所以四邊形BDC1F是平行四邊形，則BD∥C1F.因?yàn)镃1F?平面C1EF，BD?平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.因?yàn)锳B∩BD=B，AB，BD?平面ABD，所以平面ABD∥平面C1EF，因?yàn)锳D?平面ABD，所以AD∥平面C1EF.(2)如圖所示，AA1，BB1為圓臺(tái)的兩條不同的母線，O1，O分別為圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心.求證：A1B1∥AB.證明∵圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，∴圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.∴母線AA1與母線BB1的延長線必交于一點(diǎn)，∴A，A1，B，B1四點(diǎn)共面.∵圓O1∥圓O，且平面ABB1A1∩圓O1=A1B1，平面ABB1A1∩圓O=AB.∴A1B1∥AB.思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的交線.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC=BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1AB，∴A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E為棱AA1的中點(diǎn).在DD1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PA1C∥平面EBD？如果存在，請說明P點(diǎn)位置并證明；如果不存在，請說明理由.解當(dāng)P為棱DD1的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面PA1C∥平面EBD，證明如下：連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接OE，CP，A1P，如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又E為棱AA1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥A1C，又OE?平面PA1C，A1C?平面PA1C，所以O(shè)E∥平面PA1C，又P為棱DD1的中點(diǎn)，所以DP∥A1E且DP=A1E，所以四邊形DPA1E為平行四邊形，所以DE∥A1P，又DE?平面PA1C，A1P?平面PA1C，所以DE∥平面PA1C，又DE∩OE=E，DE，OE?平面EBD，所以平面PA1C∥平面EBD.思維升華解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐A-BCDE中，N是BC的中點(diǎn)，四邊形BCDE為平行四邊形.試探究在線段AE上是否存在點(diǎn)M，使得MN∥平面ACD？若存在，請確定M點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由.解在線段AE上存在點(diǎn)M，且M為AE的中點(diǎn)，使得MN∥平面ACD.證明如下：取AD的中點(diǎn)G，連接CG，GM，如圖.因?yàn)镸為AE的中點(diǎn)，所以GM∥DE，且GM=12DE因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，且四邊形BCDE為平行四邊形，所以CN∥DE，且CN=12DE所以GM∥CN，且GM=CN，所以四邊形CNMG為平行四邊形.所以GC∥MN.因?yàn)镚C?平面ACD，MN?平面ACD，所以MN∥平面ACD.課時(shí)精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，下面四個(gè)命題中，正確的是()A.若m∥n，n?α，則m∥αB.若m∥α，n∥α且m?β，n?β，則α∥βC.若m∥α，n?α，則m∥nD.若m⊥α，m⊥β，則α∥β答案D解析對于A，若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)m∥α，n∥α，m?β，n?β且m與n相交時(shí)，α∥β，故B錯(cuò)誤；對于C，若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故C錯(cuò)誤；對于D，由線面垂直的性質(zhì)可以證得，故D正確.2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，EH∥平面BCD，則EH與FG的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.異面 D.不確定答案A解析因?yàn)镕，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以FG∥BD，因?yàn)镋H∥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EH?平面ABD，所以EH∥BD，由平行的傳遞性可知EH∥FG.3.(2024·貴陽模擬)設(shè)l為直線，α為平面，則l∥α的一個(gè)充要條件是()A.α內(nèi)存在一條直線與l平行B.l平行α內(nèi)無數(shù)條直線C.垂直于α的直線都垂直于lD.存在一個(gè)與α平行的平面經(jīng)過l答案D解析對于A中，由α內(nèi)存在一條直線與l平行，則l∥α或l?α，所以A不正確；對于B中，由l平行α內(nèi)無數(shù)條直線，則l∥α或l?α，所以B不正確；對于C中，由垂直于α的直線都垂直于l，則l∥α或l?α，所以C不正確；對于D中，如圖所示，由l∥α，在直線l上任取一點(diǎn)P作直線a，使得a∥α，因?yàn)閘∩a=P且l，a?平面β，所以α∥β，即充分性成立；反之，若存在一個(gè)與α平行的平面經(jīng)過l，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得l∥α，即必要性成立，所以D正確.4.(2024·衡水模擬)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，PFFCA.23 B.14 C.13答案D解析連接AC交BE于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)镻A∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，所以PA∥FG，所以PFFC=AGGC.又AD∥BC，E為所以AGGC=AEBC=12，所以PF二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.下列說法不正確的有()A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案ABD解析若兩條直線和同一平面所成的角相等，這兩條直線可能平行，也可能異面，也可能相交，故A錯(cuò)誤；若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；由線面平行的性質(zhì)定理可知C正確；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面，則兩平面可以平行，也可以垂直，故D錯(cuò)誤.6.(2025·黃山模擬)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，CD的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有()A.AE與D1F共面B.平面AB1D1∥平面EFGC.AE⊥EFD.BF∥平面AB1D1答案AB解析如圖所示，連接BC1，BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB=C1D1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，則BC1∥AD1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，則EF∥BC1，EF=12BC1，AE=D1F故EF∥AD1，EF=12AD1，所以四邊形AEFD1為等腰梯形，故A正確，C因?yàn)锽B1∥DD1且BB1=DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，則BD∥B1D1，又因?yàn)镋，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則EG∥BD，所以EG∥B1D1，因?yàn)镋G?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以EG∥平面AB1D1，同理可證EF∥平面AB1D1，因?yàn)镋F∩EG=E，EF，EG?平面EFG，所以平面AB1D1∥平面EFG，B正確；因?yàn)槠矫鍱FG∥平面AB1D1，且BF與平面EFG相交，故BF與平面AB1D1相交，D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.如圖所示，在三棱錐D-ABC中，E，F(xiàn)，G，H分別在棱BD，BC，AC，AD上，CD，AB均與平面EFGH平行，且CD⊥AB，則四邊形EFGH的形狀為.

答案矩形解析因?yàn)镃D∥平面EFGH，CD?平面BCD，平面EFGH∩平面BCD=EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形.又因?yàn)镃D⊥AB，所以HE⊥EF，所以四邊形EFGH為矩形.8.如圖，已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A'，B'，C'，若PA'AA=23，則S答案4解析∵平面α∥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，平面PAC∩平面α=A'C'，∴A'C'∥AC，∴A'C'同理可得A'B'AB=∴△A'B'C'∽△ABC，∴S△A'又PA'AA'=23∴S△A'四、解答題(共27分)9.(13分)(2024·銀川模擬)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn).求證：(1)A1B∥平面AC1D；(6分)(2)平面A1BD1∥平面AC1D.(7分)證明(1)如圖，連接A1C，與AC1交于點(diǎn)O，連接DO，則DO是△A1BC的中位線，∴A1B∥DO，∵DO?平面AC1D，A1B?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.(2)∵D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn)，則D1C1∥BD，D1C1=BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，則D1B∥C1D，又D1B?平面AC1D，C1D?平面AC1D，∴D1B∥平面AC1D，∵由(1)可知A1B∥平面AC1D，又D1B∩A1B=B，D1B，A1B?平面A1BD1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.10.(14分)(2024·太原統(tǒng)考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為PD，BC的中點(diǎn)，平面PAB∩平面PCD=l.(1)證明：l∥AB；(6分)(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)G，使FG∥平面ABE？若存在，求出PGGD(1)證明