浙江省杭州八中2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

浙江省杭州八中2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.若與有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或2．設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若m//α,m//β,則α//β B．若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥nC．若m⊥α,m//n,則n⊥α D．若α⊥β,m⊥α,則m//β3．設(shè)集合，，則A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿足，則共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．5．與曲線相切于處的切線方程是（其中是自然對數(shù)的底）（）A． B． C． D．6．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點，若圓C上存在點Q使∠CPQ=A．1-306C．0,1257．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（）A．變量之間呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點9．若數(shù)列是等比數(shù)列，則“首項，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．非充分非必要條件10．已知拋物線和直線，過點且與直線垂直的直線交拋物線于兩點，若點關(guān)于直線對稱，則()A．1 B．2 C．4 D．611．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的值為（）A．6 B．7 C．8 D．912．下列命題中,正確的命題是（）A．若，則B．若，則不成立C．，則或D．，則且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量X的分布列為P(X=i)=(i=1,2,3),則P(X=2)=_____.14．某籃球運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率為________(用數(shù)值作答).15．若，其中都是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則__________．16．從湖中打一網(wǎng)魚，共條，做上記號再放回湖中；數(shù)天后再打一網(wǎng)魚共有條，其中有條有記號，則能估計湖中有魚____________條.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，（為自然對數(shù)的底數(shù))．（1）記①討論函數(shù)單調(diào)性；②證明當(dāng)時，恒成立.（2）令設(shè)函數(shù)有兩個零點，求參數(shù)的取值范圍.18．（12分）設(shè)λ是正實數(shù)，（1+λx）20的二項展開式為a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20，…，均為常數(shù)（1）若a3＝12a2，求λ的值；（2）若a5≥an對一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范圍．19．（12分）已知曲線.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求與直線平行的曲線的切線方程.20．（12分）已知正項等比數(shù)列滿足，前三項和．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列滿足，的前項和為，證明：．21．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若，求不等式的解集.22．（10分）已知數(shù)列滿足（且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先把曲線，的極坐標方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程和一般方程，若與有且只有一個公共點可轉(zhuǎn)化為直線和半圓有一個公共點，數(shù)形結(jié)合討論a的范圍即得解.【詳解】因為曲線的極坐標方程為即故曲線的直角坐標方程為：.消去參數(shù)可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個公共點，直線與半圓相切，或者截距當(dāng)直線與半圓相切時由于為上半圓，故綜上：實數(shù)的取值范圍是或故選：D本題考查了極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，對選項逐個分析即可選出答案.【詳解】對于選項A，當(dāng)m//α,m//β，α,β有可能平行，也有可能相交，故A錯誤；對于選項B，當(dāng)α⊥β，m⊥α，n//β，m,n有可能平行，也可能相交或者異面，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)m⊥α,m//n,根據(jù)線面垂直的判定定理可以得到n⊥α，故C正確；對于選項D，當(dāng)α⊥β,m⊥α,則m//β或者m?β，故D錯誤；故答案為選項C.本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由，得：∴；∵，∴∴故選C4、D【解析】

先利用復(fù)數(shù)的乘法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義得出.【詳解】，因此，，故選D.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，解復(fù)數(shù)相關(guān)的問題，首先利用復(fù)數(shù)四則運算性質(zhì)將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后針對實部和虛部求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)，可求出切線的斜率，根據(jù)的坐標和直線的點斜式方程可得切線方程．【詳解】由可得，切線斜率，故切線方程是，即．故選B．本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于簡單題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.6、C【解析】

問題轉(zhuǎn)化為C到直線l的距離d?4.【詳解】如圖所示：過P作圓C的切線PR，切點為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．7、A【解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，排除B，確定時函數(shù)值的正負，排除C，再由時函數(shù)值的變化趨勢排除D．從而得正確結(jié)論．【詳解】因為是偶函數(shù)，排除B，當(dāng)時，，，排除C，當(dāng)時，排除D.故選：A.本題考查由解析式選圖象，可能通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等排除一些選項，通過特殊的函數(shù)值、特殊點如與坐標軸的交點，函數(shù)值的正負等排除一些，再可通過函數(shù)值的變化趨勢又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項．8、C【解析】分析：根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)依次判斷各選項即可．詳解：對于A：根據(jù)b的正負即可判斷正負相關(guān)關(guān)系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負相關(guān)．對于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=1．可得=2．即，解得：m=3．對于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點都落在直線上是才滿足兩者相等，這個題目顯然不滿足，故不正確.對于D：由線性回歸方程一定過（，），即（1，2）．故選：C．點睛：本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，對于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計算精準，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對總體進行估計.9、B【解析】

證明由，可以得到數(shù)列單調(diào)遞增，而由數(shù)列單調(diào)遞增，不一定得到，，從而做出判斷，得到答案.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，首項，且公比，所以數(shù)列，且，所以得到數(shù)列單調(diào)遞增；因為數(shù)列單調(diào)遞增，可以得到首項，且公比，也可以得到，且公比.所以“首項，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：B.本題考查等比數(shù)列為遞增數(shù)列的判定和性質(zhì)，考查充分不不必要條件，屬于簡單題.10、B【解析】

由于直線與直線垂直，且直線的斜率為1，所以直線的斜率為，而直線過點，所以可求出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，求出的中點坐標，然后將其坐標代入中可求出的值.【詳解】解：由題意可得直線的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以的中點坐標為，因為點關(guān)于直線對稱，所以，解得故選：B此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，點關(guān)于直線的對稱問題，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

求出，再把代入式子，得到.【詳解】因為，所以.選C.本題考查對的理解，它是一個常數(shù)，通過構(gòu)造關(guān)于的方程，求得的值.12、C【解析】

A．根據(jù)復(fù)數(shù)虛部相同，實部不同時，舉例可判斷結(jié)論是否正確；B．根據(jù)實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是其本身判斷是否成立；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法則可知是否正確；D．考慮特殊情況：，由此判斷是否正確.【詳解】A．當(dāng)時，，此時無法比較大小，故錯誤；B．當(dāng)時，，所以，所以此時成立，故錯誤；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法則可知：或，故正確；D．當(dāng)時，，此時且，故錯誤.故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)的綜合，難度一般.(1)注意實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集，因此實數(shù)是復(fù)數(shù)；(2)若，則有.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據(jù)所給的隨機變量的分布列，寫出各個變量對應(yīng)的概率，根據(jù)分布列中各個概率之和是1，把所有的概率表示出來相加等于1，得到關(guān)于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．詳解：∵P（X=i）=(i=1,2,3)，∴a=3，∴P（X=2）=.故答案選：C．點睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)分布列的兩個性質(zhì)：①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．14、【解析】

直接運用獨立重復(fù)試驗次，有次發(fā)生的事件的概率公式進行求解.【詳解】投球10次，恰好投進3個球的概率為,故答案為.本題考查了獨立重復(fù)試驗次，有次發(fā)生的事件的概率公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.15、【解析】

首先進行復(fù)數(shù)的乘法運算，得到，的值，然后代入求解即可得到結(jié)果【詳解】解得，故答案為本題是一道關(guān)于考查復(fù)數(shù)概念的題目，熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

按比例計算．【詳解】估計湖中有魚條，則，．故答案為：．本題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體，解題時把樣本的頻率作為總體頻率計算即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)②見證明；（2）【解析】

（1）①對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性即可。②轉(zhuǎn)化成證明的問題，從而證明在時的最小值大于0。（2）首先對求導(dǎo)數(shù)，討論其單調(diào)性，結(jié)合圖像即可得到有兩個零點時的取值范圍?！驹斀狻浚?）①由題意得所以因為所以當(dāng)時為增函數(shù)，當(dāng)時為減函數(shù)②證明:當(dāng)時,恒成立,等價于證明當(dāng)時,恒成立。因為，因為，則。因為，所以，所以在上為增函數(shù)。因為，所以在上為增函數(shù)。又因為，所以（2）當(dāng)時，為增函數(shù)。，為減函數(shù)。有兩個零點當(dāng)時，令當(dāng)時在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。此時有三個零點（舍棄）當(dāng)同理可得有三個零點（舍棄）當(dāng)時，，此時有兩個零點。綜上所述本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，在解決第二問函數(shù)零點問題時，轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)單調(diào)性以及極值的問題。屬于難題。18、（1）λ＝1（1）【解析】

（1）根據(jù)通項公式可得Cλ3＝11Cλ1，解得λ＝1即可；（1）假設(shè)第r+1項系數(shù)最大，根據(jù)題意列式，化簡得，再根據(jù)a5≥an對一切n∈{0，1，…，10}均成立，得到，解不等式組即可得到答案.【詳解】（1）通項公式為Tr+1＝，r＝0，1，1，…，10，∴由a3＝11a1得，Cλ3＝11Cλ1，解得λ＝1．（1）假設(shè)第r+1項系數(shù)最大，因為λ是正實數(shù)，依題意得，解得，變形得，因為a5≥an對一切n∈{0，1，…，10}均成立，∴∴，解得．本題考查了二項展開式的通項公式，考查了二項展開式中系數(shù)的最大值問題，屬于中檔題.19、(1)(2)或.【解析】

(1)由題意可得，切線的斜率為，據(jù)此可得切線方程為.(2)設(shè)與直線平行的切線的切點為，由導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系可得，則切線方程為或.【詳解】(1)∵，∴，求導(dǎo)數(shù)得，∴切線的斜率為，∴所求切線方程為，即.(2)設(shè)與直線平行的切線的切點為，則切線的斜率為.又∵所求切線與直線平行，∴，解得，代入曲線方程得切點為或，∴所求切線方程為)或)，即或.本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程及其應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）；（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)數(shù)列各項為正數(shù)，可得的值，然后根據(jù)前三項和，可求得公比，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，從而可得數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的特性，利用裂項相消法即可求得.詳解：（1）∵∴∵∴∵，且∴∴（2）∵∴∴．點睛：本題主要考查遞推公式求通項的應(yīng)用，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.21、(1).(2).【解析】分析：（1）當(dāng)時，，根據(jù)絕對值不等式的幾何意義即可求出函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時，不等式即，對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，∵∴，函數(shù)的值域為（2）當(dāng)時，不等式即①當(dāng)時，得，解得，∴②當(dāng)時，得。解得，∴③當(dāng)時，得，解得，所以無解綜上所述，原不等式的解集為點睛：絕對值不等式的常見解法：