2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第2節(jié)兩條直線的位置關(guān)系

第2節(jié)兩條直線的位置關(guān)系高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.兩條直線的位置關(guān)系

兩條直線的方程位置關(guān)系的判定l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2當(dāng)一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2l1與l2重合?k1=k2且b1=b2l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2

兩直線平行時,它們的斜率可能都不存在l1與l2相交?k1≠k2l1⊥l2?

k1k2=-1兩條直線的方程位置關(guān)系的判定l1∥l2?

,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)

l1與l2相交?A1B2-A2B1≠0l1⊥l2?

A1B2-A2B1=0A1A2+B1B2=0

唯一解無解無數(shù)個解3.三種距離

此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)

點(diǎn)點(diǎn)距P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離點(diǎn)線距點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離(A2+B2≠0)線線距兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離

自主診斷

××√×2.(人教B版選擇性必修第一冊2.2.3節(jié)練習(xí)B第5題改編)已知直線l1:ax+2y+1=0,l2:(3-a)x-y+a=0,則條件“a=1”是“l(fā)1⊥l2”的(

)A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件B解析

若l1⊥l2,則a(3-a)-2=0,解得a=1或a=2.故“a=1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件.3.(人教A版選擇性必修第一冊2.3.4節(jié)練習(xí)第1題改編)已知平行直線l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,則l1與l2的距離是

.

4.(人教A版選擇性必修第一冊2.3.3節(jié)練習(xí)3改編)已知點(diǎn)(a,2)到直線x-y+3=0的距離為1,則a=

.

C

6.(2009·上海,文15)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是(

)A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2C

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系例1(1)(2024·江蘇南通模擬)已知直線l1:x-ay+1=0,l2:(a-1)x-12y-4=0,則“a=4”是“l(fā)1∥l2”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C解析

由l1∥l2可知-12+a(a-1)=0,且4a+12≠0,解得a≠-3,a=4.所以若l1∥l2,則a=4.所以“a=4”是“l(fā)1∥l2”的充要條件.(2)(2025·河南洛陽模擬)已知直線l1:ax+4y-2=0與直線l2:2x-5y+b=0互相垂直,交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,c),則a+b+c的值為(

)A.20 B.-4 C.0

D.24B解析

因?yàn)閮芍本€垂直,則2×a-5×4=0,解得a=10.所以l1:10x+4y-2=0,即5x+2y-1=0,將交點(diǎn)(1,c)代入直線l1的方程中,解得c=-2.將交點(diǎn)(1,-2)代入直線l2:2x-5y+b=0的方程中,解得b=-12.所以a+b+c=10-12-2=-4.[對點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024·山東濟(jì)南高二期末)直線l1:ax+y-1=0與直線l2:x-ay-1=0的位置關(guān)系是(

)A.垂直

B.相交且不垂直C.平行

D.平行或重合A

(2)經(jīng)過直線l1:2x-y+4=0與直線l2:x-y+5=0的交點(diǎn)M,且與直線x-2y-1=0平行的直線的方程是

.

x-2y+11=0解析

設(shè)所求直線為(2x-y+4)+λ(x-y+5)=0,故(2+λ)x-(1+λ)y+4+5λ=0,因?yàn)榇酥本€與直線x-2y-1=0平行,故(2+λ)·(-2)=-(1+λ)·1,且(1+λ)·1+2(4+5λ)≠0,得λ=-3,則有x-2y+11=0,此時與直線x-2y-1=0平行.故所求直線為x-2y+11=0.考點(diǎn)二距離問題

A

C

11或-15

(2)(2024·河北邢臺模擬)已知△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(1,3),B(3,1),C(-1,0),則△ABC的面積為

.

5

考點(diǎn)三對稱問題(多考向探究預(yù)測)考向1

中點(diǎn)對稱問題例3(1)直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(-1,2)對稱的直線方程是(

)A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0D解析

設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則其關(guān)于點(diǎn)(-1,2)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2-x,4-y).因?yàn)辄c(diǎn)(-2-x,4-y)在直線2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.(2)過點(diǎn)P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段恰好被點(diǎn)P平分,則直線l的方程為

.

x+4y-4=0

考向2

關(guān)于直線對稱問題例4(1)(2024·湖北恩施模擬)已知光線從點(diǎn)A(-2,1)射出,經(jīng)直線2x-y+10=0反射,且反射光線所在直線過點(diǎn)B(-8,-3),則反射光線所在直線的方程是(

)A.x-3y-1=0 B.3x-y+21=0C.x+3y+17=0 D.3x+y+15=0B

(2)(2024·湖南常德模擬)若直線l1:2x-y+3=0關(guān)于直線l:x-y+2=0對稱的直線為l2,則l2的方程為(

)A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0C.x+y=0 D.x-2y+3=0D

[對點(diǎn)訓(xùn)練3]已知直線l:y=3x+7,求:(1)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線y=x+3關(guān)于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(4,2)對稱的直線方程.

(3)在直線l:y=3