2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第2節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

第2節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.結(jié)合實(shí)例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù),能求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件導(dǎo)數(shù)的符號(hào)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)f'(x)>0

不等式中不帶“=”f(x)在(a,b)內(nèi)

f'(x)<0

不等式中不帶“=”f(x)在(a,b)內(nèi)

單調(diào)遞增單調(diào)遞減微思考“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大(小)于0”是“f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)”的什么條件?提示

充分不必要條件.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大(小)于0,則必有f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,但f'(x)=3x2≥0.[教材知識(shí)深化]利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求函數(shù)的定義域;(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間,f'(x)<0的解集即為單調(diào)遞減區(qū)間.自主診斷一、基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若函數(shù)f(x)在其定義域上有f'(x)<0,則f(x)在定義域上單調(diào)遞減.(

)(2)若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根為有限個(gè),則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.(

)(3)一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)變化得越快,其導(dǎo)數(shù)就越大.(

)(4)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx在R上單調(diào)遞增,則a2-3b<0.(

)×√××2.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)參考題5第3題改編)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f'(x)的圖象可能是(

)D解析

由f(x)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以在(0,+∞)內(nèi)f'(x)≤0,在(-∞,0)內(nèi)f'(x)≥0,觀察四個(gè)圖象可知選D.3.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)5.3.1節(jié)例1(2)改編)函數(shù)f(x)=sinx-x在(0,π)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是

.

(0,π)解析

由于f(x)=sin

x-x,所以f'(x)=cos

x-1,因?yàn)閤∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)內(nèi)單調(diào)遞減,即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,π).二、連線高考4.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C

5.(2024·新高考Ⅰ,10)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4),則(

)A.x=3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<f(x2)C.當(dāng)1<x<2時(shí),-4<f(2x-1)<0D.當(dāng)-1<x<0時(shí),f(2-x)>f(x)ACD解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.當(dāng)x<1或x>3時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<3時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,∴x=3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),∴A正確.當(dāng)0<x<1時(shí),0<x2<x<1,又由上可知當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,∴f(x2)<f(x),

∴B錯(cuò)誤.當(dāng)1<x<2時(shí),f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正確.當(dāng)-1<x<0時(shí),2<2-x<3.由f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,且在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減知,-20<f(x)<-4,-4<f(2-x)<0,故f(2-x)>f(x),∴D正確.故選ACD.研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例1(1)(2024·山西太原二模)函數(shù)f(x)=xex的單調(diào)遞增區(qū)間是

.(-1,+∞)解析

因?yàn)閒(x)=xex的定義域?yàn)镽,則f'(x)=(x+1)ex,且ex>0,令f'(x)>0,則x+1>0,解得x>-1,所以函數(shù)f(x)=xex的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+∞).(2)(2024·福建福州期中)函數(shù)f(x)=xln(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024·廣東清遠(yuǎn)期末)函數(shù)f(x)=ex-ex+2025的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

(-∞,1)解析

函數(shù)f(x)=ex-ex+2

025的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得f'(x)=ex-e,由f'(x)<0,得ex<e,解得x<1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).

(0,1)

考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例2(2024·福建泉州模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-2)(aex-x).(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;(2)討論f(x)的單調(diào)性.解

(1)因?yàn)閒(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).當(dāng)a=4時(shí),f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y+8=-2x,即2x+y+8=0.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

考點(diǎn)三與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))

D

C

A

C

考向2

根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)例4(2024·陜西西安模擬)若函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx在區(qū)間(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1] D.[3,e2-1]B

3

變式探究2本例中,若改為“若函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx在區(qū)間(1,e)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間”,則a的取值范圍是

.

變式探究3本例中,若改為“若函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx在區(qū)間(1,e)內(nèi)不單調(diào)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍的類(lèi)型及解法已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),f(x)中含參數(shù)轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),I中含參數(shù)先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,再令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,建立不等式(組)求解已知函數(shù)f(x)