上海市靜安區(qū)新中高級中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

上海市靜安區(qū)新中高級中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個樣本數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為，，，，，，，，其中，中位數(shù)為，則（）A． B． C． D．2．下面給出了四種類比推理：①由實數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；②由實數(shù)運(yùn)算中的類比得到向量運(yùn)算中的；③由向量的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)；④由向量加法的幾何意義類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義；其中結(jié)論正確的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④3．函數(shù)f(x)=13ax3A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)≥24．已知函數(shù)，且，則=（）A． B．2 C．1 D．05．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為（）A． B．C． D．6．若集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)和直線分別是雙曲線的一個焦點(diǎn)和一條漸近線，若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．8．已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合為，樣本中心點(diǎn)為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時，的估計值為（）A． B． C． D．9．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機(jī)取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．10．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館,每天最多只安排一所學(xué)校,要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,其余學(xué)校均只參觀一天,那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種11．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．112．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)A，B，則線段AB的中點(diǎn)E到極點(diǎn)的距離是______.14．若命題：是真命題，則實數(shù)的取值范圍是______．15．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則_____________．16．已知拋物線的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年6月14日，國際足聯(lián)世界杯足球賽在俄羅斯舉行了第21屆賽事.雖然中國隊一如既往地成為了看客，但中國球迷和參賽的32支隊伍所在國球迷一樣，對本屆球賽熱情似火，在6月14日開幕式的第二天，我校足球社團(tuán)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對是否收看開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：收看沒收看男生6020女生2020（1）根據(jù)上表說明，能否有99%的把握認(rèn)為，是否收看開幕式與性別有關(guān)?（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加志愿者宣傳活動.（i）問男、女學(xué)生各選取了多少人？（ⅱ）若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開展足球項目的宣傳介紹，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X，寫出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87918．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：CE∥面PAD.（2）若直線CE與底面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積．19．（12分）已知；方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.若為真，求的取值范圍.20．（12分）已知正項數(shù)列中，且（1）分別計算出的值，然后猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.21．（12分）已知集合，.（1）求集合的補(bǔ)集；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）若的展開式中，第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)個，則中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù).【詳解】因為數(shù)據(jù)有個，所以中位數(shù)為：，所以解得：，故選：A.本題考查中位數(shù)的計算問題，難度較易.當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時（從小到大排列），中位數(shù)等于中間兩個數(shù)的平均數(shù)；當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時（從小到大排列），中位數(shù)等于中間位置的那個數(shù).2、D【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行判斷．【詳解】①設(shè)與的夾角為，則，，則成立；②由于向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，設(shè)，，所以，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，不一定成立；③設(shè)復(fù)數(shù)，則，是一個復(fù)數(shù)，所以不一定成立；④由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可表示的為向量，所以，由向量加法的幾何意義類比可得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，這個類比是正確的．故選D．本題考查數(shù)與向量、向量與復(fù)數(shù)之間的類比推理，在解這類問題時，除了考查條件的相似性之外，還要注意定義的理解，考查邏輯推理能力，屬于中等題．3、D【解析】

根據(jù)fx單調(diào)遞增可知f'x≥0在1,2【詳解】由題意得：ffx在1,2上單調(diào)遞增等價于：f'x即：ax2當(dāng)x∈1,2時，2x本題正確選項：D本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而利用分離變量的方式來進(jìn)行求解.4、D【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合條件，可求出實數(shù)的值．【詳解】因為，所以，解得，故選D．本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對稱中心坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1．首先確定振幅和周期，從而得到與；2．求的值時最好選用最值點(diǎn)求，峰點(diǎn)：，；谷點(diǎn)：，，也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)，升零點(diǎn)(圖象上升時與軸的交點(diǎn))：，；降零點(diǎn)(圖象下降時與軸的交點(diǎn))：，．6、C【解析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項是否正確即可．【詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項A錯誤；，選項B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項C正確，選項D錯誤．本題選擇C選項，故選C．本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識，熟記集合的基本運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．7、C【解析】

取雙曲線的左焦點(diǎn)為，設(shè)右焦點(diǎn)為，為漸近線，與漸近線的交點(diǎn)為關(guān)于直線的對稱點(diǎn)設(shè)為，連接，運(yùn)用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，離心率公式，計算可得所求值．【詳解】如圖所示，取雙曲線的左焦點(diǎn)為，設(shè)右焦點(diǎn)為，為漸近線，與漸近線的交點(diǎn)為關(guān)于直線的對稱點(diǎn)設(shè)為，連接，直線與線段的交點(diǎn)為，因為點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，則，且為的中點(diǎn)，所以，根據(jù)雙曲線的定義，有，則，即，所以，故選：C．本題主要考查了雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、D【解析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，可得，然后代值計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可得出答案。【詳解】事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C。本題考查條件概率的計算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關(guān)鍵，同時也考查了古典概型的概率公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。10、C【解析】

可用分步計數(shù)原理去做,分成兩步，第一步安排甲學(xué)校共有A61種方法,第二步安排另兩所學(xué)校有A52【詳解】先安排甲學(xué)校的參觀時間,因為甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有A61然后在剩下的5天中任選兩天有序地安排其余兩校參觀,安排方法有A5按照分步計數(shù)乘法原理可知共有A61本題主要考查分步計數(shù)原理在排列組合中的應(yīng)用，注意分步與分類的區(qū)別，對于有限制條件的元素要先安排，再安排其他的元素，本題是一個易錯題.11、A【解析】

根據(jù)的定積分的計算法則計算即可．【詳解】0πsinxdx＝（-cos故選：A．本題考查了定積分的計算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

利用函數(shù)的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù),是偶函數(shù)，是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除A選項;排除B,C選項;故選:D.本題考查已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,考查函數(shù)性質(zhì),借助特殊值代入的排除法是解答本題的關(guān)鍵,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

將曲線方程化為直角坐標(biāo)系下的方程，聯(lián)立方程組，由此求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出其到極點(diǎn)的距離.【詳解】將曲線方程化為直角坐標(biāo)方程可得將曲線方程化為直角坐標(biāo)方程可得，聯(lián)立兩方程可得故可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，則其到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即為所求，即.故答案為：2.本題考查將極坐標(biāo)方程化為普通方程，屬基礎(chǔ)題.14、.【解析】試題分析：命題：“對，”是真命題.當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有且，解得.綜上所示，實數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：1.全稱命題；2.不等式恒成立15、【解析】

利用概率之和為求得的值.解，求得的值，將對應(yīng)的概率相加求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)，解得.解得或，故所求概率為.本小題主要考查分布列的概率計算，考查含有絕對值的方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】利用拋物線的定義可知，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤1，當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時取最大值為1．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）見解析，【解析】

（1）套用公式，算出的值與6.635比較大小，即可得到本題答案；（2）（i）由男女的比例為3：1，即可得到本題答案；（ii）根據(jù)超幾何分布以及離散型隨機(jī)變量的均值公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以有99%的把握認(rèn)為，是否收看開幕式與性別有關(guān).（2）（?。└鶕?jù)分層抽樣方法得，男生人，女生人，所以選取的12人中，男生有9人，女生有3人.（ⅱ）由題意可知，X的可能取值有0，1，2，3.，，，X0123P∴.本題主要考查分層抽樣，獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用和超幾何分布以及其分布列均值的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）取PA中點(diǎn)Q，連接QD，QE，可證四邊形CDQE為平行四邊形，從而CE∥QD，于是證得線面平行；（2）連接BD，取BD中點(diǎn)O，連接EO，CO，可證EO∥PD，從而得到直線CE與底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最終可得棱錐體積．【詳解】解法一:(1)取PA中點(diǎn)Q，連接QD，QE，則QE∥AB，且QE=AB∴QE∥CD，且QE=CD.即四邊形CDQE為平行四邊形，CE∥QD.又∵CE平面PAD，QD平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)連接BD，取BD中點(diǎn)O，連接EO，CO則EO∥PD，且EO=PD.∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.則CO為CE在平面ABCD上的射影，即∠ECO為直線CE與底面ABCD所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，則BD=2，則在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=2PD=2E0=2，∴∴∴四棱錐P-ABCD的體積為.解法二：(1)取AB中點(diǎn)Q，連接QC，QE則QE∥PA∵PA平面PAD，QE平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，∴四邊形AQCDカ平行四跡形，則CQ∥DA∵DA平面PAD，CQ平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，證明其中一個即給2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積，考查直線與平面所成的角．涉及到直線與平面所成的角，必須先證垂直（或射影），然后才有直線與平面所成的角．19、.【解析】試題分析：因為，可命題為真時，又由命題為時，即可求解實數(shù)的取值范圍.試題解析：因為，所以若命題為真，則.若命題為真，則，即.因為為真，所以.20、（1）；；（2）見解析.【解析】

（1）逐個計算計算出的值，再通過觀察可猜。（2）