廣西玉林市八校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。A'B′=B'C'=1,則平面圖形ABCD的面積為()2.已知向量a=(1,-2),b=(cosa,sina),且alb,則tana=3.復(fù)數(shù)=的共軛復(fù)數(shù)為三，且滿足2z+z=3+i,則.三=()4.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P滿足AP=λAB(λ>0),則PCDP的最大值為異面直線的是()A.ADB.DD?C.CDD.DC?7.對(duì)于平面內(nèi)n個(gè)起點(diǎn)相同的單位向量a(i=1,2,,n,n=2k,keN),若每個(gè)向量與其相鄰向量的夾角均為則q與a?+-+a的位置關(guān)系為()A.垂直B.反向平行C.同向平行D.無(wú)法確定8.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3,圓心角為的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是().二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.如圖所示的圓臺(tái)O?O?,在軸截面ABCD中，,則()A.該圓臺(tái)的高為1C.該圓臺(tái)的體積為D.一只小蟲(chóng)從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的最短路程為510.已知復(fù)平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D構(gòu)成平行四邊形，頂點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)-5-2i,-4+5i,2,則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是()A.1-7iB.3+7iC.-7-3i11.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()A.若A=45°,a=√2,b=√3,則△ABC有一解B.若a2+b2<c2,則△ABC是鈍角三角形C.若△ABC為銳角三角形，則sinA>cosBD.若,則△ABC為等腰三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將一個(gè)蘋(píng)果切3刀，最多可以切成x塊，最少可切成y塊，則x+y的值14.正方體ABCD-AB?C?D?的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，過(guò)C,D?,M三點(diǎn)作正方體的截面，則該截面的面積為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。15.(13分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AB?C?D?中，E,F,G分別為C?D?,AB,DC的中16.(15分)如圖，四面體A-B?CD?的四個(gè)頂點(diǎn)均為長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?的頂點(diǎn).(1)若四面體A-B?CD?各棱長(zhǎng)均為√2,求該四面體的表面積(2)若AD?=√3,AC=2,AB?=√5,求四面體A-B?CD?外接球的表面積.17.(15分)在銳角△ABC中，已知m=(2(1)求角B的大??；(2)若AC=1,求△ABC面積的最大值.AB=√3,BC=CD=AD=1,△ABD和△BCD的面積分別為S和T,若BD=2x19.(17分)(1)對(duì)于平面向量a,b,求證：a·b|≤lab|,,并說(shuō)明等號(hào)成立的條件；《2025年春季期玉林市八校聯(lián)合調(diào)研考試》參考答案123456789DBCDCABA【分析】根據(jù)給定條件，求出梯形A'B'C'D'的面積，再利用原平面圖形面積與直觀圖面積的關(guān)系求出平面圖形ABCD的面積.【詳解】在梯形A'B'C'D'中，∠B'A'D′=45°,則該梯形的高為梯形A'B'C'D'的面積為在斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖形的面積是對(duì)應(yīng)直觀圖面積的2√2,所以平面圖形ABCD的面積【分析】根據(jù)a⊥b列等式，整理即可得到tana.故選：B.【分析】設(shè)z=a+bi,代入已知條件利用復(fù)數(shù)相等求解z,再求出z,最后由復(fù)數(shù)的乘法求解即可.【詳解】設(shè)z=a+bi,所以2z+z=3+i即為2(a+bi)+a-bi=3+i,故選：C【分析】法一：建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.法二：極化恒等式【詳解】法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為x,V軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,0),B(4,0),C(4,4)法二：設(shè)H為DC的中點(diǎn)，連接PH,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，PH的長(zhǎng)度最短。 PCDP=Pc(-PD=-(PCPD)=-PH2+HC2=-PH+4==42+22=-12【分析】舉反例，排除ADC,結(jié)合異面直線定義證明C正確.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)點(diǎn)M位于A位置時(shí)，證明BM與直線A?D相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)M位于A?C?的中點(diǎn)時(shí)，如圖，對(duì)于C,直線CDc平面ABCD,直線BMn平面ABCD=B,點(diǎn)B不在直線CD上，所以直線BM與直線CD為異面直線，C正確；【分析】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，故選：A【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得a?+a?+…+a?=0,所以a與a?+…+an的位置關(guān)系為反向平行.【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內(nèi)切球半徑，進(jìn)而由球的體積公式求出答案.【詳解】由題意得，扇形的弧所以該圓錐的底面圓的半徑設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為R,圓錐的軸截面如圖所示：則依題意得【分析】根據(jù)梯形性質(zhì)利用勾股定理計(jì)算可得A錯(cuò)誤；利用梯形面積公式計(jì)算可得B正確；代入圓臺(tái)體積公式可知C正確；利用圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖以及勾股定理計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于A,在梯形ABCD中，O?O?即代表圓臺(tái)的高，利用勾股定理計(jì)算可得,所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,軸截面梯形ABCD的面積,因此B正對(duì)于C,易知下底面圓的面積為π×22=4π,上底面圓的面積為π×12=π;所以該圓臺(tái)的體積可得C正確；對(duì)于D,將圓臺(tái)側(cè)面沿直線BC處剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖如下圖所示：易知圓弧BB',CC的長(zhǎng)度分別為2π,4π,設(shè)扇形圓心為0,圓心角為θ,OB=r;設(shè)E為AD的中點(diǎn)，連接EC,當(dāng)小蟲(chóng)從點(diǎn)C沿著EC爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)路程最由勾股定理可知EC=√O(píng)E2+OC2=5,可知D正確.【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義分類討論即可求解.所以zD=zA-ZB+zc=(-5-2i)-(-4+5i)+所以zD=Zc-zA+zB=2-(-5-2i)+(-4+5i所以zp=zB-Zc+za=(-4+5i)-2+(-5-2i)=所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1-7i或3+7i或-11+3i.【分析】根據(jù)正弦、余弦定理逐項(xiàng)判斷即可.所以△ABC為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤.【詳解】(1)當(dāng)三個(gè)平面無(wú)交線，即三個(gè)平面平行時(shí)，可以把空間分為4個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面經(jīng)過(guò)同一條直線或三個(gè)平面有兩條交線(一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交)時(shí)，可以把空間分為6個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且3條交線平行時(shí)，可以把空間分為7個(gè)部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且3條交線共點(diǎn)時(shí)，可以把空間分為8個(gè)部分，所以三個(gè)平面可以把空間分成4,6,7,8部分.(2)將一個(gè)蘋(píng)果切3刀可得塊數(shù)最多與最少問(wèn)題，相當(dāng)于三個(gè)平面把空間分成的部分?jǐn)?shù)最多與最少問(wèn)題，故答案為：12【詳解】解：因?yàn)閘a|=1,5=3,a-b|=4所以，向量a在向量b上的投影向量為故答案為：【詳解】取AB中點(diǎn)N,延長(zhǎng)D?M,CN交于點(diǎn)F,如圖，四邊形MNCD?的面積即為所求，是一個(gè)等腰梯形，由幾何關(guān)系可得MN為△FCD的中位線，設(shè)梯形的高為h,則故答案為：15.解：(1)如圖，取BB?的中點(diǎn)H,分別連接FH,C?H,CH,…………1分因?yàn)镕、H分別是A,B、B?B的中點(diǎn)，所以FH//A?所以FH//EC?且FH=EC?,所以四邊形EFHC?是平行四邊形，…………4分故EF//HC?,又HC?c平面BB?C?C,EF?平面B(2)因?yàn)镕、H分別是A?B、B?B的中點(diǎn)，所以FH//A?B?且…8分又G是CD的中點(diǎn)，則…8分所以FH//CG且FH=CG,9所以四邊形CGFH為平行四邊形，故FG//HC,10分又HCc平面BB?C?C,FG?平面BB?C?C,所以FG//平面BB?C?C,…………11分由(1)知EF//平面BB?C?C,所以平面EFG//平面BB?C?C.…………13分16.解：(1)因?yàn)樗拿骟wA-B?CD?各棱長(zhǎng)均為√2,則長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?為棱長(zhǎng)為1的正方體，…………1分,…………5分…………8分(2)由于四面體A-B?CD?的四個(gè)頂點(diǎn)均為長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?的頂點(diǎn)，所以四面體A-B?CD?外接球與長(zhǎng)方體的外接球是同一個(gè)球，設(shè)此四面體所在長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為DA=a,DD?=b,DC=c,…………9分法一：則解得……12分設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?外接球的半徑為R,則(2R)2=a2+b2+c2=6,則…………14分法二：三式相加，得以下解法同上由于B是銳角，所以,0<2B<π,所以.…………6分(2)法一：依題意，,b=1,由正弦定理得…………7分所以二…………9分,…………12分所以當(dāng)時(shí)，…………14分法二：由(1)可知，…………7分(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào))…………12分∴△ABC面積的最大值∴△ABC面積的最大值為18.解：(1)在△BCD中，∵0<2x<1+1,∵0<x<11分(2)如圖，過(guò)C作CE⊥BD交BD于點(diǎn)E.…………12分此時(shí)，,BD=√3又∵∠BCD是三角形的內(nèi)角最大值為5,最小值為3.當(dāng)且僅當(dāng)a//b時(shí)，即θ=0或θ=π,等號(hào)成立…………5分(2)①設(shè)a=(a,b),b=(c,d),