2025年中考數(shù)學總復習《特殊平行四邊形動點問題》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《特殊平行四邊形動點問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，G是正方形邊上一動點，于點F，于點E，，．(1)若，則；(2)當時，求的度數(shù)；(3)已知：①若，求的長度；②當點G從點B運動到點C，請直接寫出線段掃過的面積．2．綜合與實踐某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進行了深入研究，并提出了以下問題：【問題初探】（1）如圖1，在正方形中，點分別在邊上，且，則線段與之間的關系是______．（2）如圖2，在矩形中，，點是上的動點，連接，過點作于點，交于．問題：當為中點時，求的長度．【類比探究】（3）如圖3，在四邊形中，，點為上一點，連接，過點作交的延長線于點，交的延長線于點．問題：若，且，求的長度．【拓展延伸】（4）如圖4，在中，，點是上一動點，將沿翻折，使點落在點處，連接．問題：①當時，求的長度；②當最小時，的面積為______．3．在菱形中，，，點是的中點，連接．(1)如圖1，連接，求線段的長；(2)如圖2，點是線段上一動點，點是線段的中點，連接．①求的最小值；②如圖3，當點，，在同一直線上，取線段的中點，連接，判斷與的數(shù)量關系，并證明你的結論．4．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）若四邊形是菱形，，點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，如圖1，當點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接、，則與有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；【類比探究】（2）若四邊形是正方形，連接，點是射線上一動點，以為直角邊在邊的右側作等腰，其中，，如圖2．當點在對角線上，點恰好在邊所在直線上時，則與之間的數(shù)量關系？并說明理由；【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，如圖3，在正方形中，，當是對角線的延長線上一動點時，連接，若，求的邊長．5．如圖，在長方形中，，，動點沿著的路徑運動至點停止，設點運動的路程為，的面積為．(1)當點在上運動時，與的函數(shù)關系式為_____；(2)當時，_____；(3)當點在上運動時，與的函數(shù)關系式為_____；(4)若，求的值．6．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，過點分別作軸、軸的平行線，交軸于點，交軸于點，點是從點出發(fā)，沿以2個單位長度/秒的速度向終點運動的一個動點，設運動時間為秒．(1)當點在線段上運動時，用含的式子表示線段的長；(2)若x軸上有一點，連接．是否存在這樣的t值，使得三角形的面積是四邊形面積的？若存在，則直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．7．在矩形中，點，分別是，邊上的動點，連接，交于點．(1)如圖（1），當點，分別是，的中點時，求證：；(2)若，點是邊上的點，連結交于點，點是的中點，①如圖（2），若，求的長；②如圖（3），連接，當，且時，求的值．8．如圖，已知為長方形的四個頂點，，，動點分別從點同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到點為止，點以的速度向點移動．(1)求證：在點移動過程中，四邊形的面積始終不變；(2)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點和點間的距離是？(3)兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點組成的三角形是等腰三角形？9．正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點P，交于點M．①求證：點P在的平分線上；②當時，猜想與的數(shù)量關系，并證明；③作于點N，連接，當時，若，求的值．10．如圖，在四邊形中，，，，，，動點從點出發(fā)沿邊以的速度向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)沿邊以的速度向點勻速運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為．(1)用含有的代數(shù)式表示：______，______，______；(2)當為何值時，四邊形是矩形？(3)四邊形是否能成為菱形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．11．某數(shù)學興趣小組利用正方形硬紙片開展了一次活動，請認真閱讀下面的探究片段，完成所提出的問題．四邊形是邊長為3的正方形，點是射線上的動點，，且交正方形外角的平分線于點．【特例探究】（1）如圖1，當點是中點時，發(fā)現(xiàn)，這需要證明與所在的兩個三角形全等，但與顯然不全等，考慮到點是的中點，引條輔助線嘗試就行了，取的中點，連接，證明（

）（填全等的依據(jù)），從而得到．【類比遷移】（2）如圖2，如果把“點是邊的中點”改為“點是邊上（不與點，重合）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“”仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過程，如果不成立，請說明理由；【拓展應用】（3）如圖3，如果點是射線上的一動點，其他條件不變，當時，．12．在如圖所示的平面直角坐標系中，正方形邊長為2，點C的坐標為．(1)如圖1，動點D在邊上，將沿直線折疊，點B落在點處，連接并延長，交于點E．①當時，點D的坐標是；②若點E是線段的中點，求此時點D與點的坐標；(2)如圖2，動點D，G分別在邊，上，將四邊形沿直線折疊，使點B的對應點始終落在邊上（點不與點O，A重合），點C落在點處，交于點E．設，四邊形的面積為S，直接寫出S與t的關系式．13．如圖1，在正方形中，，、分別為邊、上的動點且滿足．(1)求證：；(2)若點為的中點，求的長；(3)如圖2，若，且點、分別為邊、上的動點，且始終滿足．求的最小值．14．已知：中，E在上，F(xiàn)在上，．(1)如圖1，D、F重合，，，，求的長．(2)如圖2，若F為中點，，求．(3)如圖3，中，，P為對角線上一動點，過P作直線使得，分別交直線、于點F、E，若，請直接寫出的最小值．15．如圖1，將底角為，腰長為2的等腰置于平面直角坐標系中，腰與軸重合，底邊與軸交于點．(1)求所在直線的解析式；(2)如圖2，將沿對折，點落在點處，判斷四邊形的形狀并求出點的坐標；(3)如圖3，在（2）的條件下，點、為線段上的兩動點（不與點、重合），且，連接、，請求出的最小值及點的坐標．參考答案1．(1)4(2)(3)①2位9【分析】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）證即可得解；（2）證得到，再由三線合一可得，所以，進而得解；（3）①設，，則，，所以根據(jù)可得，在中利用勾股定理求出a和b值，進而再利用求解即可；②由圓周角定理可知，點E的運動路徑為，點F的運動路徑為，進而可知掃過的區(qū)域為、、邊圍成的區(qū)域，由割補法可知．【詳解】（1）解：在正方形中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：4；（2）解：在正方形中，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）①設，，則，，∴，，若，則，∴，在中，，∴，即，∴，解得，，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得；②∵，∴點E在以為直徑的圓上運動，點F在以為直徑的圓上運動，設兩圓交于點O，∵點G在上，∴點E的運動路徑為，點F的運動路徑為，∴掃過的區(qū)域為、、邊圍成的區(qū)域，如圖所示，連接，則，即線段掃過的面積為9．2．（1），；（2）；（3）；（4）①；②【分析】（1）證明，即可得出結論．（2）根據(jù)四邊形為矩形，，得出，，即可得，根據(jù)，得出，即可得，證明，得出，當為中點時，，在中，勾股定理求出，即可求解．（3）如圖，過點作的垂線，交于點．由題意知四邊形為矩形，證明，得出，在中，勾股定理求出，即可求解．（4）①如圖，連接交于，作于．在中，勾股定理求出，當時，得出，根據(jù)等面積法求出，根據(jù)軸對稱可得，證明是直角三角形，，垂直平分線段，根據(jù)等面積法求出，即可求出，在中，勾股定理求出即可．②根據(jù)軸對稱可得，得出點E在以點A為圓心，6為半徑的圓上運動，如圖，根據(jù)圖象可得，即可得當點三點共線，即點E在邊上時，最小，此時，如圖，過點E作交于點，在中，得出，在中，即可得，求出，設，表示出，在中，根據(jù)，求出，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，∵，，∴的夾角為，即，綜上所述：線段與之間的關系是且．故答案為：且．（2）解：∵四邊形為矩形，，，，，，，，又，，，當為中點時，，在中，，，∴．（3）解：∵四邊形為矩形，，如圖，過點作的垂線，交于點．由題意知四邊形為矩形，，，，，，又，，又，，，在中，∵，，，，．（4）①如圖，連接交于，作于．在中，∵，，，當時，，，，，根據(jù)軸對稱可得，∴點在的垂直平分線上．，∴點在的垂直平分線上，是直角三角形，，∴垂直平分線段，∵，∴，∴，在中，．②根據(jù)軸對稱可得，∴點E在以點A為圓心，6為半徑的圓上運動，如圖，根據(jù)圖象可得，∴當點三點共線，即點E在邊上時，最小，此時，如圖，過點E作交于點，∵在中，，∴在中，，解得：，設，則，在中，，即，解得：，∴．【點睛】本題主要考查正方形的性質，矩形的性質和判定，全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、軸對稱圖形的性質、解直角三角形、圓相關知識點等，牢記全等三角形的判定定理及性質、相似三角形的判定定理及性質、勾股定理及軸對稱圖形的性質是解題的關鍵．3．(1)(2)①；②；證明見解析【分析】（1）連接，先證明為等邊三角形，得出，，根據(jù)勾股定理先求出，再求出即可；（2）①連接，取的中點G，過點M作于點K，連接，，過點G作于點H，交于點N，先說明點G與點F關于對稱，說明，根據(jù)直角三角形的性質求出，得出，根據(jù)兩點之間線段最短，垂線段最短，得出點M在點N處時，最小，即最小，根據(jù)勾股定理求出結果即可；②連接，延長，交于點H，證明為等邊三角形，，得出，，根據(jù)，得出，即可得出結論．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴為等邊三角形，∵點是的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：①連接，取的中點G，過點M作于點K，連接，，過點G作于點H，交于點N，如圖所示：根據(jù)解析（1）可知：為等邊三角形，，，∴，，∴與關于對稱，∵點是線段的中點，點G為線段的中點，∴點G與點F關于對稱，，∴，∵，，∴，∴，∵兩點之間線段最短，垂線段最短，∴點M在點N處時，最小，即最小，∵，，∴，∴，∴，即最小值為；②，理由如下：連接，延長，交于點H，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，∴為等邊三角形，，，∵G為的中點，∴，∴，∴，，∵為等邊三角形，∴，根據(jù)解析（1）可知：，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，直角三角形的性質，軸對稱的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．4．（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）先證明是等邊三角形，得到，，然后證明即可得到答案；（2）連接，只需要證明即可得到，由此求解即可；（3）連接交于，過點作于，證明，，，然后利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】解：（1），理由如下：四邊形是菱形，，又，是等邊三角形，，，又是等邊三角形，，，，，；（2），理由如下：如圖2，連接，四邊形是正方形，，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，，；（3）如圖3，連接交于，過點作于，四邊形是正方形，，，，，，又是等腰直角三角形，，，，，又，，，，設，則，，，解得負值舍去，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，菱形的性質等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．5．(1)(2)(3)(4)的值為或【分析】本題考查了動點在矩形上運動所形成的三角形面積的問題，函數(shù)的應用，需要利用面積公式表示出相關位置的函數(shù)關系式，并求特定取值的函數(shù)值．（1）用的長乘以，再除以即可；（2）將代入（1）中解析式，計算即可．（3）用含的式子表示出的長，再用的長乘以的長并除以，計算即可．（4）當時，點可能位于段或者段上，將分別代入（1）和（3）中函數(shù)解析式，求得值即可．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，當點在上運動時，，，，故答案為：；（2）四邊形是矩形，，，點在上運動，，當時，，故答案為：；（3）四邊形是矩形，，，，，，，故答案為：；（4）當點在上運動時，，當時，，解得：；當點在上運動時，，當時，，解得：；綜上所述，的值為或．6．(1)；(2)存在，點的坐標為或．【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，矩形的判定與性質，一元一次方程的應用等知識，正確的作出圖形是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意即可得到結論，，當點在線段上時，根據(jù)，，，得到，，于是得到結論；（2）當點在線段上時，當點在線段上時，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：軸于，軸于，點，，，，四邊形是矩形，當點在線段上時，，∴，故答案為：；（2）解：存在兩個符合條件的值，理由如下：由（1）得四邊形?ABOC?是矩形，∵，∴，，當點在線段上時，如圖，，∴，∵點，，當時，，解得：，∴∴當點在線段上時，如圖，，∵點，，當時，，解得：，∴，此時，綜上：點的坐標為或．7．(1)見解析(2)①的長為2；②．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質求得，利用三角形中位線的性質求得，推出，利用相似三角形的性質即可證明；（2）①連接交于點，連接，利用三角形中位線定理求得，，再證明四邊形是平行四邊形，據(jù)此求解即可；②設，則，連接，，作于點，求得，證明是線段的垂直平分線，求得，得到，證明，利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】（1）證明：連接交于點，∵矩形，∴，，，∴，∵點，分別是，的中點，∴，則，∴，∴，∴；（2）解：①連接交于點，連接，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵點是的中點，點是的中點，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，即的長為2；②設，則，連接，，作于點，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵點是的中點，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，線段垂直平分線的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，三角形中位線定理．正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．8．(1)證明見解析(2)或秒(3)或或或秒時【分析】（1）設點移動的時間是，得到，，再由梯形面積公式代值求解得到四邊形的面積為定值，即可得證；（2）過點作于點，如圖所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；（3）由題意，分三種情況：；；；分別由勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：設點移動的時間是，則，，四邊形的面積是，即四邊形的面積為定值，在點移動過程中，四邊形的面積始終不變；（2）解：過點作于點，如圖所示：，，則，在中，，，若點和點間的距離是，即時，由勾股定理可得，即，解得，或，即兩點從出發(fā)開始到或秒時，點和點間的距離是；（3）解：連接，如圖所示：當點組成的三角形是等腰三角形時，分三種情況：；；；當時，過點作于點，如圖所示：由等腰三角形三線合一性質得到，，，即，解得，即當兩點從出發(fā)開始到秒時，點組成的三角形是等腰三角形；當時，過點作于點，如圖所示：，，，在中，，，時，由勾股定理可得，即，解得，或，即當兩點從出發(fā)開始到或秒時，點組成的三角形是等腰三角形；當時，過點作于點，如圖所示：，，在中，，時，由勾股定理可得，，即，解得，即當兩點從出發(fā)開始到秒時，點組成的三角形是等腰三角形；綜上所述，當兩點從出發(fā)開始到或或或秒時，點組成的三角形是等腰三角形．【點睛】本題考查幾何綜合，涉及梯形面積公式、矩形性質、勾股定理、等腰三角形的性質、解一元一次方程及解一元二次方程等知識，讀懂題意，作出圖形，數(shù)形結合由勾股定理列方程求解是解決問題的關鍵．9．(1)見解析；(2)①見解析；②；③．【分析】（1）利用即可證明；（2）①證明是等腰直角三角形，再推出四點共圓，求得，據(jù)此即可證明結論成立；②由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，證明，根據(jù)相似三角形的性質即可求解；③證明四邊形是平行四邊形，推出和都是等腰直角三角形，設，則，，由，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）①證明：連接，

由（1）得，∴，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴四點共圓，∴，∵，，∴點P在的平分線上；②，理由如下：由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，

∵正方形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴；③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，

∴，同理四點共圓，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，設平行四邊形的對角線的交點為，且，∵是等腰直角三角形，∴和都是等腰直角三角形，設，則，，∵，，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，四點共圓，熟練掌握三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．10．(1)，，(2)(3)四邊形不能成為菱形，理由見解析【分析】本題考查了列代數(shù)式，矩形的判定和性質，勾股定理，菱形的性質，掌握矩形的判定和性質以及菱形的性質是解題的關鍵．（）由題意得，，進而即可求解；（）由矩形的性質可得，進而即可求解；（）由菱形的性質可得，即得，可得，過點作于，則四邊形是矩形，可得，，即得，由勾股定理得，即可判斷求解；【詳解】（1）解：由題意得，，，∵，，∴，，故答案為：，，；（2）解：∵在四邊形中，，，∴當時，四邊形是矩形，∴，解得，即當時，四邊形是矩形；（3）解：四邊形不能成為菱形，理由如下：若四邊形是菱形，則，∴，解得，∴，過點作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴四邊形不能成為菱形．11．（1）；（2）成立；見解析；（3）或5【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定：（1）取的中點，連接，證明，，，根據(jù)推出和全等即可；（2）在上截取，連接，證明，，，根據(jù)推出和全等即可；（3）當點E在上時，根據(jù)解析（2）求出結果即可；當點E在的延長上時，在的延長線上取一點N，使，連接，根據(jù)已知利用判定，因為全等三角形的對應邊相等，所以，再求出結果即可．【詳解】（1）解：如圖1，取的中點，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴∵，∴，∴，∵是正方形外角的平分線，∴，∴，∴∵，，∴，在和中，∴，∴；（2）仍然成立，即．證明：如圖2，在上截取，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵是正方形外角的平分線，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴；（3）當點E在上時，如圖所示：∵，∴，根據(jù)解析（2）可知：；如圖4，在的延長線上取一點，使，連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，即，∴，∵平分，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，綜上，或5．12．(1)①；②點的坐標為，點的坐標為(2)【分析】（1）①由折疊的性質得出，則可得出答案；②連接．證明，得出，設，則，由勾股定理可求出點坐標，證出，由可得出答案；（2）連接，設，則，設，則，解得．由梯形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：①∵正方形邊長為2，點的坐標為，，∵將沿直線折疊，，又∵，，，∴點的坐標是，故答案為：；②如圖，連接，∵點是線段的中點，，由折疊的性質可得，又∵，，在和中，，∴，，設點的坐標為，則，，，在中，，，解得，∴點的坐標為，，，又，，，，∴點的坐標為．（2）解：如圖，連接，設，則．設，則，在中，，，解得，，設，則，在中，．在中，，由折疊可知垂直平分，，，即，解得：，，，即．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．13．(1)見詳解(2)4(3)【分析】（1）通過正方形的性質證得，得到，推出，根據(jù)垂直的定義得到結論；（2）過點作于，且交于點，則，證明四邊形是矩形，運用勾股定理得，根據(jù)等面積法得，以及勾股定理得，，，即可得到結論；（3）過點作，過點作，兩直線交于點，則四邊形是平行四邊形，求得，，得到，要求的最小值，即求的最小值，連接，當，，三點共線時，的最小值為的長，根據(jù)平行線的性質得到，推出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：過點作于，且交于點，則，∴，則四邊形是矩形，∴，∵E是的中點，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，．在中，，∴，∵，∴，則，∴，則，在中，，∴，在中，．（3）解：過點作，過點作，兩直線交于點，則四邊形是平行四邊形，∴，，∴，要求的最小值，即求的最小值；連接，當，，三點共線時，的最小值為的長；∵，∴，又，∴，∴；由（1）得，∴，∵，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴的最小值是．【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的性質與判定，全等三角形的判定與性質，三角形等面積法，等腰直角三角形的性質于判定，勾股定理等知識；熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．(1)(2)(3)6【分析】（1）證明，則