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甘肅省金昌市永昌四中2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列各對函數(shù)中,圖象完全相同的是()A.與 B.與C.與 D.與2.已知數(shù)列,都是等差數(shù)列,,,設(shè),則數(shù)列的前2018項和為()A. B. C. D.3.下列說法錯誤的是()A.在統(tǒng)計學(xué)中,獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法B.在殘差圖中,殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模擬的效果越好C.線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點D.在回歸分析中,相關(guān)指數(shù)越大,模擬的效果越好4.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.5.點的直角坐標(biāo)為,則點的極坐標(biāo)為()A.B.C.D.6.過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點,若,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.7.如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖,陰影部分表示喜歡理科的百分比,由圖得到結(jié)論不正確的為()A.性別與是否喜歡理科有關(guān)B.女生中喜歡理科的比為C.男生不喜歡理科的比為D.男生比女生喜歡理科的可能性大些8.定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對任意的正實數(shù),都有恒成立,則使成立的實數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.9.已知,則除以9所得的余數(shù)是A.2 B.3C.5 D.710.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則()A.有極小值,但無極大值 B.既有極小值,也有極大值C.有極大值,但無極小值 D.既無極小值,也無極大值11.拋物線的焦點為,點,為拋物線上一點,且不在直線上,則周長的最小值為A. B. C. D.12.某同學(xué)同時拋擲兩顆骰子,得到的點數(shù)分別記為、,則雙曲線的離心率的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點,則__________.14.在直三棱柱中,.有下列條件:①;②;③.其中能成為的充要條件的是__________.(填上序號)15.已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,過的直線與交于,兩點,過作,垂足為,的中點為,若,則__16.若函數(shù)有且只有一個零點,是上兩個動點(為坐標(biāo)原點),且,若兩點到直線的距離分別為,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表商店名稱ABCDE銷售額x(千萬元)35679利潤額y(百萬元)23345(1)畫出散點圖.觀察散點圖,說明兩個變量有怎樣的相關(guān)性.(2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程.(3)當(dāng)銷售額為4(千萬元)時,估計利潤額的大小.其中18.(12分)已知函數(shù).(1)討論在上的單調(diào)性;(2)若對恒成立,求正整數(shù)的最小值.19.(12分)在數(shù)列中,,,設(shè).(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式.20.(12分)已知函數(shù)有極值.(1)求的取值范圍;(2)若在處取得極值,且當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.21.(12分)甲、乙兩人各進(jìn)行次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為,乙每次擊中目標(biāo)的概率,(Ⅰ)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)次的概率.22.(10分)設(shè)點F1,F(xiàn)2分別是橢園C:x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點,且橢圓C上的點到F2(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)F1N?(3)當(dāng)|F2N
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
先判斷兩個函數(shù)的定義域是否是同一個集合,再判斷兩個函數(shù)的解析式是否可以化為一致.【詳解】解:對于A、∵的定義域為,的定義域為.兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不相同,∴不是同一個函數(shù).對于B、∵的定義域,的定義域均為.∴兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).對于C、∵的定義域為且,的定義域為且.對應(yīng)法則相同,∴兩個函數(shù)是同一個函數(shù).對于D、的定義域是,的定義域是,定義域不相同,∴不是同一個函數(shù).故選C.本題考查兩個函數(shù)解析式是否表示同一個函數(shù),需要兩個條件:①兩個函數(shù)的定義域是同一個集合;②兩個函數(shù)的解析式可以化為一致.這兩個條件缺一不可,必須同時滿足.2、D【解析】
利用,求出數(shù)列,的公差,可得數(shù)列,的通項公式,從而可得,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列,的公差分別為,,則由已知得,,所以,,所以,,所以,所以數(shù)列的前2018項和為,故選D.本題主要考查等差數(shù)列通項公式基本量運算,考查了數(shù)列的求和,意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力,屬于中檔題.3、C【解析】對于A,統(tǒng)計學(xué)中,獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法,正確;對于B,殘差圖中,殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模擬的效果越好,正確;對于C,線性回歸方程對應(yīng)的直線過樣本中心點,不一定過樣本數(shù)據(jù)中的點,故C錯誤;對于D,回歸分析中,相關(guān)指數(shù)R2越大,其模擬的效果就越好,正確.故選C.4、B【解析】
寫出雙曲線的漸近線方程,由圓的方程得到圓心坐標(biāo)與半徑,結(jié)合點到直線的距離公式與垂徑定理列式求解.【詳解】解:雙曲線的漸近線方程為,由對稱性,不妨取,即.圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則圓心到漸近線的距離,,解得.故選:B.本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.5、A【解析】試題分析:,,又點在第一象限,,點的極坐標(biāo)為.故A正確.考點:1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化.【易錯點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化,屬容易題.根據(jù)公式可將直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間互化,當(dāng)根據(jù)求時一定要參考點所在象限,否則容易出現(xiàn)錯誤.6、B【解析】
根據(jù)對稱性知是以點為直角頂點,且,可得,利用雙曲線的定義得出,再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【詳解】由雙曲線的對稱性可知,是以點為直角頂點,且,則,由雙曲線的定義可得,在中,,,故選B.本題考查雙曲線的離心率的求解,要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì),在遇到焦點時,善于利用雙曲線的定義來求解,考查邏輯推理能力和計算能力,屬于中等題.7、C【解析】
本題為對等高條形圖,題目較簡單,逐一排除選項,注意陰影部分位于上半部分即可.【詳解】解:由圖可知,女生喜歡理科的占,故B正確;男生喜歡理科的占,所以男生不軎歡理科的比為,故C不正確;同時男生比女生喜歡理科的可能性大些,故D正確;由此得到性別與喜歡理科有關(guān),故A正確.故選:.本題考查等高條形圖等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】
分析:構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性,從而可得題中不等式的解.詳解:設(shè),則,由已知當(dāng)時,,∴在上是減函數(shù),又∵是偶函數(shù),∴也是偶函數(shù),,不等式即為,即,∴,∴,即.故選A.點睛:本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,然后解函數(shù)不等式.解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù).新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造.如,,,等等.9、D【解析】
根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì),將化簡為,再展開即可得出結(jié)果.【詳解】,所以除以9的余數(shù)為1.選D.本題考查組合數(shù)的性質(zhì),考查二項式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
通過導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)為增函數(shù),導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)為減函數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間,從而確定函數(shù)的極值.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知:導(dǎo)函數(shù)在上小于0,于是原函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上大于等于0,于是原函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以原函數(shù)在處取得極小值,無極大值,故選A.本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的聯(lián)系,極值的相關(guān)概念,難度不大.11、C【解析】
求△MAF周長的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值,設(shè)點M在準(zhǔn)線上的射影為D,根據(jù)拋物線的定義,可知|MF|=|MD|,因此,|MA|+|MF|的最小值,即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識,可得當(dāng)D,M,A三點共線時|MA|+|MD|最小,因此最小值為xA﹣(﹣1)=5+1=6,∵|AF|==5,∴△MAF周長的最小值為11,故答案為:C.12、A【解析】由題意知本題是一個古典概型,∵試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩顆骰子,得到點數(shù)分別為a,b,共有6×6=36種結(jié)果滿足條件的事件是e=∴b>a,符合b>a的情況有:當(dāng)a=1時,有b=3,4,5,6四種情況;當(dāng)b=2時,有a=5,6兩種情況,總共有6種情況.∴概率為.故選A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)出冪函數(shù),代入點計算函數(shù)表達(dá)式,將代入得到答案.【詳解】設(shè):,圖像經(jīng)過點,即故答案為本題考查了冪函數(shù)的計算,屬于簡單題.14、①③【解析】分析:由題意,對所給的三個條件,結(jié)合直三棱柱中,,作出如圖的圖象,借助圖象對的充要條件進(jìn)行研究.詳解:若①,如圖取分別是的中點,可得,由直三棱柱中,可得都垂直于側(cè)面,由此知都垂直于線,又,所以平面,可得,又由是中點及直三棱柱的性質(zhì)知,故可得,再結(jié)合垂直于線,可得面,故有,故①能成為的充要條件,同理③也可,對于條件②,若,可得面,,若,由此可得平面形,矛盾,故不為的充要條件,綜上,①③符合題意,故答案為①③.點睛:本題主要考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì),屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時,一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理,找出足夠的條件進(jìn)行推理;證明直線和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推論;(3)利用面面平行的性質(zhì);(4)利用面面垂直的性質(zhì),當(dāng)兩個平面垂直時,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.15、16【解析】
由題意畫出圖形,利用幾何知識得到直線的斜率,進(jìn)一步求得直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,由弦長公式即可得答案.【詳解】由題意畫出圖形如圖,,為的中點,且,,則直線的傾斜角為,斜率為.由拋物線,得,則直線的方程為.聯(lián)立,得.則,.本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,以及弦長的求法.16、【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求解出的值,然后根據(jù)判斷出中點的軌跡,再根據(jù)轉(zhuǎn)化關(guān)系將的最大值轉(zhuǎn)化為圓上點到直線的距離最大值,由此求解出結(jié)果.【詳解】因為的定義域為,且,所以是偶函數(shù),又因為有唯一零點,所以,所以,所以,因為,所以,所以,所以,設(shè)的中點為,,如下圖所示:所以,又因為,所以,所以的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心,半徑為的圓,所以當(dāng)取最大值時,為過垂直于的線段與的交點,所以,所以.故答案為:.本題考查函數(shù)奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點到直線的距離最值,屬于綜合型題型,難度較難.圓上點到一條與圓相離直線的距離最值求解方法:先計算出圓心到直線的距離,則距離最大值為,距離最小值為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(3)2.4(百萬元)【解析】
(1)根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù),得到5個點的坐標(biāo),把這幾個點的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對于的點,即可得到散點圖,可判斷為正相關(guān);(2)根據(jù)這組數(shù)據(jù),利用最小二乘法求得的值,即可求解回歸直線的方程;(3)利用作出的回歸直線方程,把的值代入方程,估計出對應(yīng)的的值.【詳解】(1)根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù),得到5個點的坐標(biāo):,把這幾個點的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點,得到如下的散點圖:(2)設(shè)回歸直線的方程是:,由表格中的數(shù)據(jù),可得,又由,即∴y對銷售額x的回歸直線方程為(3)當(dāng)銷售額為4(千萬元)時,利潤額為:=2.4(百萬元).本題主要考查了回歸直線方程的求解及其應(yīng)用,其中解答中正確求得線性回歸直線的方程的系數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.18、(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)5.【解析】分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),分類討論即可;(2)∵對恒成立,∴,解得或,則正整數(shù)的最小值為.即只需要證明當(dāng)時,對恒成立即可.詳解:(1),當(dāng)時,在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時,,在單調(diào)遞減.當(dāng)且時,令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)∵對恒成立.∴,解得或,則正整數(shù)的最小值為.下面證明當(dāng)時,對恒成立,過程如下:當(dāng)時,令,得;令,得.故,從而對恒成立.故整數(shù)的最小值為.點睛:不等式的證明問題,可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā),結(jié)合已有的知識利用轉(zhuǎn)化與化歸思想.19、(1)見證明;(2)【解析】
(1)結(jié)合已知條件,運用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明(2)先求出數(shù)列的通項公式,然后再求出數(shù)列的通項公式【詳解】(1)證明:因為,所以,所以,因為,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列,首項是2,公比是2.(2)解:由(1)可知,數(shù)列是等比數(shù)列,首項,公比,所以.因為,所以,則.本題考查了證明數(shù)列是等比數(shù)列,求數(shù)列通項公式,結(jié)合定義即可求出結(jié)果,較為基礎(chǔ)20、(1);(2).【解析】
(1)由已知中函數(shù)解析式,求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的解析式,然后根據(jù)函數(shù)有極值,方程f′(x)=x2-x+c=0有兩個實數(shù)解,構(gòu)造關(guān)于c的不等式,解不等式即可得到c的取值范圍;(2)若f(x)在x=2處取得極值,則f′(2)=0,求出滿足條件的c值后,可以分析出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而分析出當(dāng)x<0時,函數(shù)的最大值,又由當(dāng)x<0時,恒成立,可以構(gòu)造出一個關(guān)于d的不等式,解不等式即可得到d的取值范圍.【詳解】(1)∵,∴,因為有極值,則方程有兩個相異實數(shù)解,從而,∴.∴c的取值范圍為.(2)∵在處取得極值,∴,∴.∴,∵∴當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x<0時,在x=-1處取得最大值,∵x<0時,恒成立,∴,即,∴或,∴d的取值范圍為.本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件,導(dǎo)數(shù)在最大值,最小值問題中的應(yīng)用,其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式,是解答本題的關(guān)鍵.21、(1)
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