甘肅省蘭州市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

甘肅省蘭州市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A=A．x0<x≤3 B．x0≤x≤3 C．x2．已知直線與直線垂直，則的關(guān)系為（）A． B． C． D．3．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的結(jié)果為，則判斷框中的條件是（）A． B． C． D．4．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，出場(chǎng)順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z=1-i，則z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i6．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．7．有個(gè)人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù),若是函數(shù)唯一的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．9．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則這個(gè)方程可以是（）A． B．C． D．10．若集合，，若，則的值為（）A． B． C．或 D．或11．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為3，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．12．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l相交二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則__________．14．點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.15．函數(shù)f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)，(a>0且a≠1)是R上的減函數(shù)，則16．已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax()，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)的最小值是1，則a＝__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，，(其中).（1）時(shí),求函數(shù)的極值;（2）證：存在，使得在內(nèi)恒成立，且方程在內(nèi)有唯一解.18．（12分）互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學(xué)生在暑期社會(huì)活動(dòng)中針對(duì)人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問(wèn)卷的方式對(duì)100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵(lì)人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動(dòng)：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折.已知某商品原價(jià)50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購(gòu)買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨(dú)立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知橢圓:的上頂點(diǎn)為A,以A為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)分別為、.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且,試探究直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．21．（12分）盒子中放有大小形狀完全相同的個(gè)球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，求至少抽到個(gè)紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地從隨機(jī)抽取個(gè)球，記每抽到個(gè)紅球得紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，每抽到個(gè)白球得到紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，求該人所得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先化簡(jiǎn)求出集合A，B，進(jìn)而求出A∩B．【詳解】∵集合A={x|x-3xB={x|x≥0}，∴A∩B={x|0＜x≤3}．故選：A．本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)兩直線垂直，列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即選C根據(jù)兩直線垂直求出參數(shù)的問(wèn)題，熟記直線垂直的充要條件即可，屬于?？碱}型.3、C【解析】

根據(jù)已知的程序語(yǔ)句可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時(shí)，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時(shí)，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時(shí)，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時(shí)，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時(shí)，滿足輸出結(jié)果為，故進(jìn)行循環(huán)的條件，應(yīng)為：.故選：C.本題考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個(gè)元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列，利用排列組合的知識(shí)和分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時(shí)對(duì)兩名女歌手進(jìn)行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個(gè)元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列有種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)為.故選：D本題考查利用捆綁法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列數(shù)公式求解排列組合問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.5、A【解析】解：因?yàn)閦=1-i，所以z26、D【解析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數(shù)，為扇形的半徑），可計(jì)算出扇形的面積.【詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.本題考查扇形面積的計(jì)算，意在考查扇形公式的理解與應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】總排法數(shù)為，故選C．點(diǎn)睛：本題是排列中的相鄰問(wèn)題，用“捆綁法”求解，解決此問(wèn)題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個(gè)人，和其他3人看作是4人進(jìn)行排列，第二步這三人之間也進(jìn)行排列，然后用乘法原理可得解．8、A【解析】分析：由的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根.詳解：函數(shù)的定義域是，，是函數(shù)唯一的極值點(diǎn),是導(dǎo)函數(shù)的唯一根，在無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，即在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，必須.故選A.點(diǎn)睛：本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問(wèn)題，對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論.9、A【解析】

先由題意得到方程的兩復(fù)數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項(xiàng)，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠痰母趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，可設(shè)根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項(xiàng)可得，該方程為.故選A本題主要考查復(fù)數(shù)的方程，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.10、A【解析】

先解出集合，由，得出，于此可得知實(shí)數(shù)的值.【詳解】解方程，即，得，由于，，則，，，，故選：A.本題考查集合間的包含關(guān)系，利用包含關(guān)系求參數(shù)的值，解本題的關(guān)鍵就是將集合表示出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。11、D【解析】

將問(wèn)題變?yōu)?，即有個(gè)整數(shù)解的問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而可得圖象；利用恒過(guò)點(diǎn)畫出圖象，找到有個(gè)整數(shù)解的情況，得到不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，即：令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，且，由此可得圖象如下圖所示：由可知恒過(guò)定點(diǎn)不等式的解集中整數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)，則由圖象可知：，即，解得：本題正確選項(xiàng)：本題考查根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線和直線的位置關(guān)系問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式確定不等關(guān)系.12、D【解析】

通過(guò)條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：對(duì)函數(shù)的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而得到的值.詳解：因?yàn)?，所以，令，得到，解得，故答案?點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，運(yùn)用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.14、[﹣，0]【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可．【詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]．故答案為：[，0]．本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是綜合性題目．15、(0,【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)(a>0且a≠1)是R上的減函數(shù)，即?．故其每一段都為減函數(shù)，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；故答案為考點(diǎn)：分段函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】本題是對(duì)分段函數(shù)單調(diào)性的考查，難度適中，容易進(jìn)入陷阱，要想整個(gè)函數(shù)單調(diào)遞減，前提必須為分段函數(shù)的每一段都有自己的單調(diào)性，所以在研究整函數(shù)的單調(diào)性時(shí)每一段都在考查范圍內(nèi)．當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，故其每一段都為減函數(shù)，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，故其每一段都為增函數(shù)，且前一段的最大值須小于等于后一段的最小值.16、1【解析】由題意，得x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(，2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；;(2)見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結(jié)論即可．【詳解】解：（I）當(dāng)時(shí),,令,得,,當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值由表可知,；；（II）設(shè)，，，若要有解，需有單減區(qū)間，則要有解，由，，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則，當(dāng)時(shí)單增，令，由，得，需考察與區(qū)間的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，，，在上，單增，故單增，，無(wú)解；②當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)閱卧觯谏?，在上?dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，，單增，，無(wú)解；（ii）若，即，，在上，，單減；，，在區(qū)間上有唯一解，記為；在上，單增，，當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上有唯一解，記為，則在上，在上，在上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)若要恒成立且有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)，即，由有聯(lián)立兩式解得.綜上，當(dāng)時(shí)，本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．18、（1）；（2）440【解析】

（1）先計(jì)算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個(gè)概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項(xiàng)分布，求得銷售額的表達(dá)式，然后利用期望計(jì)算公式，計(jì)算出銷售額的期望.【詳解】（1）設(shè)事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機(jī)支付作為首選支付方式的概率為.設(shè)表示銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設(shè)表示銷售額，則，所以銷售額的數(shù)學(xué)期望（元）.本小題主要考查利用對(duì)立事件來(lái)計(jì)算古典概型概率問(wèn)題，考查二項(xiàng)分布的識(shí)別和期望的計(jì)算，考查隨機(jī)變量線性運(yùn)算后的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算.19、（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)【解析】

（1）根據(jù)圓的圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，令求得圓與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，由此列方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）根據(jù)，利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，并分別代入橢圓方程解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的方程，由此求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【詳解】解：（1）依題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則以點(diǎn)A圓心，以為半徑的圓的方程為:，令得，由圓A與y軸的交點(diǎn)分別為、可得，解得，故所求橢圓的方程為.（2）由得，可知PA的斜率存在且不為0，設(shè)直線-①則-②將①代入橢圓方程并整理得，可得，則，類似地可得，由直線方程的兩點(diǎn)式可得：直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程的兩點(diǎn)式以及直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題.屬于中檔題.要求直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要聯(lián)立直線和橢圓的方程，解方程組求得，這里需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力.直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，往往是將含有參數(shù)的部分合并，由此求得直線所過(guò)的定點(diǎn).20、（1）8（2）[－2,0].【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；（2）由于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進(jìn)而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時(shí)，求出即可．【詳解】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.又－x的最小值為0，－－x的最大值為