山西省山大附中等晉豫名校2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

山西省山大附中等晉豫名校2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份每月份最低氣溫與最高氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，繪制了折線圖（如圖）.已知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．最低氣溫低于的月份有個(gè)B．月份的最高氣溫不低于月份的最高氣溫C．月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在月份D．每月份最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)2．設(shè)n=0π2A．20 B．-20 C．120 D．-1203．一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與另一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較（）A．標(biāo)準(zhǔn)差一定相同 B．中位數(shù)一定相同C．平均數(shù)一定相同 D．以上都不一定相同4．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是()A． B．C． D．6．一個(gè)四面體各棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A． B． C． D．7．一工廠生產(chǎn)的100個(gè)產(chǎn)品中有90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個(gè)，則最多有一個(gè)二等品的概率為（）A．B．C．D．8．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．9．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則程序輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．12．對于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是()A．若,則B．若,則C．若則D．若,則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，使在上取得最大值3，最小值-29，則的值為__________．14．8人排成前后兩排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相鄰的排法有幾種______15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.16．設(shè),則等于_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，證明：.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，且（為與無關(guān)的常數(shù)），證明：.19．（12分）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為且.(1)求角(2)若求角及的面積.20．（12分）已知.(1)若,求.(2)設(shè)復(fù)數(shù)滿足，試求復(fù)數(shù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值.21．（12分）在的展開式中,求：(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(3)求系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).22．（10分）在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)．【詳解】由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得：在A中，最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)，故A錯(cuò)誤．在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；在D中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故D正確；故選：A．本題考查命題真假的判斷，考查折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．2、B【解析】

先利用微積分基本定理求出n的值，然后利用二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為零，解出相應(yīng)的參數(shù)值，代入通項(xiàng)可得出常數(shù)項(xiàng)的值?！驹斀狻俊遪=0二項(xiàng)式x-1x6令6-2r=0，得r=3，因此，二項(xiàng)式x-1x6故選：B.本題考查定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)，解題的關(guān)鍵就是微積分定理的應(yīng)用以及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題。3、D【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)變化規(guī)律確定平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)變化情況，即可判斷選擇.【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)分別為因?yàn)?，所以?shù)據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)分別為，即平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)與原來不一定相同，故選：D本題考查數(shù)據(jù)變化對平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)的影響規(guī)律，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.5、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【詳解】,故故選：A本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．6、A【解析】試題分析：正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求出球的表面積．由于正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體7、B【解析】解：解：從這批產(chǎn)品中抽取4個(gè)，則事件總數(shù)為個(gè)，其中恰好有一個(gè)二等品的事件有個(gè)，根據(jù)古典概型的公式可知恰好有一個(gè)二等品的概率為8、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計(jì)算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤．9、A【解析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡可得，則離心率.方法二：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，則有平行線的對應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.10、C【解析】

利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式即可得出．【詳解】x＝cos，y＝sin，可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為．故選：C．本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】依次運(yùn)行如圖給出的程序，可得；，所以輸出的的值構(gòu)成周期為4的數(shù)列．因此當(dāng)時(shí)，．故程序輸出的結(jié)果為．選C．12、C【解析】

若由線面垂直的判定定理知,只有當(dāng)和為相交線時(shí),才有

錯(cuò)誤；

若此時(shí)由線面平行的判定定理可知,只有當(dāng)在平面

外時(shí),才有錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)定理:若兩平面平行,第三個(gè)平面與他們都相交,則交線平行,可判斷,若，，，則為真命題,正確；若此時(shí)由面面平行的判定定理可知,只有當(dāng)、為相交線時(shí),才有錯(cuò)誤.

故選C.考點(diǎn)：考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可判斷在上的單調(diào)性，求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值，可得最大值，從而可得結(jié)果.詳解：函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)，，由解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.由，解得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取得極大值同時(shí)也是最大值，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.14、8640【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在除甲乙之外的6人中任選3人，與甲乙一起排在后排，滿足甲乙不相鄰，②，將剩下的三人全排列，安排在前排，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案。【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在除甲乙之外的6人中任選3人，與甲乙一起排在后排，由于甲乙不能相鄰，則有C6②，將剩下的三人全排列，安排在前排，有A3則有1440×6=8640種排法；故答案為：8640。(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法。15、【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，在上解不等式可得的單調(diào)減區(qū)間．【詳解】，其中，令，則，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，填．一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)減函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為減函數(shù)，則．注意求單調(diào)區(qū)間前先確定函數(shù)的定義域．16、【解析】設(shè)，則，則．應(yīng)填答案。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】

求導(dǎo)后對參量進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性由極值點(diǎn)求出兩根之和與兩根之積，將二元轉(zhuǎn)化為一元來求證不等式【詳解】（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，又由于，，故，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，,,故，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由，解得，因此在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，由，知，則，設(shè)，，，則在單調(diào)遞增，即，則，即.求含有參量的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類討論，得到在定義域內(nèi)不同的單調(diào)性，在證明不等式時(shí)結(jié)合的根與系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為一元問題，從而證明出結(jié)果，本題綜合性較強(qiáng)，有一定難度。18、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論，（2）先求，再結(jié)合恒成立轉(zhuǎn)化證明，即需證，根據(jù)條件消，令，轉(zhuǎn)化證，即需證，這個(gè)不等式利用導(dǎo)數(shù)易證.【詳解】（1），令，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以在存在唯一零點(diǎn)；（2）因?yàn)?，，所以，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，，而要求滿足的b的最大值，所以只需證明.所以（*）令，則，所以（*），令，則，所以在上單調(diào)遞增，即綜上，.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證能力，屬難題.19、（1）；（2）【解析】

（1）由余弦定理，求得，即可求得.（2）由正弦定理，求得，得到，再由三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知，即，在中，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，又b<a，所以，所以，所以，則.本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.20、（1）（2）【解析】

（1）復(fù)數(shù)相等時(shí)，實(shí)部分別相等，虛部分別相等；（2）由判斷出對應(yīng)的軌跡，然后分析軌跡上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值.【詳解】解：（1），，(2)設(shè)，即，即在平面對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，本題考查復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)方程對應(yīng)的軌跡問題，難度一般.以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程是：.21、(1)；(2)；(3).【解析】

寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式.(1)根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式可以求出此問；(2)根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和公式可以直接求出此問題；(3)設(shè)出系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為第（r+1）項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,列出不等式組,解這個(gè)不等式組即可求出此問題.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：.(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第三項(xiàng)的系數(shù)為；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(3)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為第（r+1）項(xiàng),則,又,所以r=2.∴系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為．本題考查了二項(xiàng)式