山東省青島市2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

山東省青島市2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“a>1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在上是減函數(shù)，則（）A． B．C． D．3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某班上午有五節(jié)課，計(jì)劃安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)各一節(jié)，要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，且數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，則不同排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．5．由曲線，，，圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿足，，的點(diǎn)組成的圖形繞y軸旋一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則（）A． B． C． D．6．在棱長(zhǎng)為的正方體中，如果、分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．7．已知恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．隨機(jī)變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．9．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q=（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．11．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實(shí)”．經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，則BC的長(zhǎng)為（）A． B． C．3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則______.14．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD-中，設(shè)AD=A=1，AB=2，則·等于____________15．已知，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為____16．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，且．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的最大值與最小值。19．（12分）已知命題：對(duì)，函數(shù)總有意義；命題：函數(shù)在上是增函數(shù).若命題“”為真命題且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、無(wú)土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示，該地周光照量X(小時(shí))都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的周數(shù)有5周，不低于50小時(shí)且不超過70小時(shí)的周數(shù)有35周，超過70小時(shí)的周數(shù)有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(百斤)與使用某種液體肥料x(千克)之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(精確到0.01)(若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)（2）蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如表關(guān)系：周光照量（單位：小時(shí)）光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)321若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周利潤(rùn)為3000元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發(fā)生的概率，商家欲使周總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？附：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在時(shí)恒成立，求的取值范圍。22．（10分）（江蘇省南京師大附中高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的范圍；（3）對(duì)于曲線y＝f(x)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，證明：f′()＜k．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'【詳解】當(dāng)函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數(shù)fx=ax-sin本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關(guān)系來判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。2、D【解析】

根據(jù)條件，可得函數(shù)周期為4，利用函數(shù)期性和單調(diào)性之間的關(guān)系，依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，由此得到答案?！驹斀狻恳?yàn)椋?，，可得的周期?，所以，，.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以，即，故選D.本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。3、A【解析】

復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選A.本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義.4、B【解析】

先用捆綁法將語(yǔ)文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序；將這個(gè)整體與英語(yǔ)，物理全排列，分析排好后的空位數(shù)目，再在空位中安排數(shù)學(xué)，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】由題得語(yǔ)文和化學(xué)相鄰有種順序；將語(yǔ)文和化學(xué)看成整體與英語(yǔ)物理全排列有種順序，排好后有4個(gè)空位，數(shù)學(xué)不在第一節(jié)有3個(gè)空位可選，則不同的排課法的種數(shù)是，故選B.本題考查分步計(jì)數(shù)原理，屬于典型題.5、C【解析】

由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等．【詳解】解：如圖，兩圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等，故選：．本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

作出圖形，取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計(jì)算出的三邊邊長(zhǎng)，然后利用余弦定理計(jì)算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【詳解】如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，則，且，在正方體中，，為的中點(diǎn)，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用定義法或空間向量法計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7、A【解析】分析：先設(shè)，再求導(dǎo)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最小值，再數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍.詳解：設(shè)所以當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.,當(dāng)a<0時(shí)，y=a(2x-1)單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾.當(dāng)a=0時(shí)，，與矛盾.當(dāng)a>0時(shí)，.直線y=a(2x-1)過點(diǎn)（）.設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線方程為.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出過點(diǎn)（）的切線的斜率k=或k.8、D【解析】由題設(shè)可得，，所以由隨機(jī)變量的方差公式可得，應(yīng)選答案D。9、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A，再求，進(jìn)而求.【詳解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由題意得，=（0,2），∴，故選C.本題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，在解題的過程中，要先化簡(jiǎn)集合，明確集合的運(yùn)算法則，進(jìn)而求得結(jié)果．10、D【解析】分析：根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為減函數(shù)，分析的特殊值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在區(qū)間和上都有，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間和上都有，進(jìn)而將不等式變形轉(zhuǎn)化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又，則在區(qū)間上，，又由，則，在區(qū)間上，，又由，則，則在區(qū)間和上都有，又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及不等式的解法，關(guān)鍵是分析與的解集.11、A【解析】

由題意，這個(gè)問題的關(guān)鍵是四人中有兩人說真話，另外兩人說了假話，通過這一突破口，進(jìn)行分析，推理即可得到結(jié)論.【詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙、丁兩人的觀點(diǎn)是一致的，因此乙丁兩人的供詞應(yīng)該是同真同假（即都是真話或都是假話，不會(huì)出現(xiàn)一真一假的情況）；假設(shè)乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話可推出丙是犯罪的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結(jié)論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說假話，丙說真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選A.本題主要考查了推理問題的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中結(jié)合題意，進(jìn)行分析，找出解決問題的突破口，然后進(jìn)行推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.12、D【解析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由，由余弦定理可得，則，故選D.本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用兩角差的正切公式展開，代入相應(yīng)值可計(jì)算出的值．【詳解】.本題考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，解題時(shí)，首先應(yīng)利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式展開進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．14、1【解析】

選取為基底，把其它向量都用基底表示后計(jì)算．【詳解】由題意．故答案為1．本題考查空間向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示后再進(jìn)行計(jì)算．15、-32【解析】n＝，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令＝0，則r＝3，展開式中常數(shù)項(xiàng)為(－2)3＝－8×4＝－32.故答案為-32.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).16、【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】，

復(fù)數(shù)的實(shí)部為1．

故答案為：1．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）.【解析】

（1）由柯西不等式即可證明；（2）可先計(jì)算的最小值，再分，，三種情況討論即可得到答案.【詳解】解：（1）由柯西不等式得．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴；（2），要使得不等式恒成立，即可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，∴的取值范圍為：．本題主要考查柯西不等式，均值不等式，絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，分類討論能力，難度中等.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的值，作為切線的斜率，并計(jì)算出，再利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出極值，再與端點(diǎn)值比較大小，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值?！驹斀狻浚?），，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，，因?yàn)?，，所以，，則，所以，函數(shù)在上的最大值為。本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)，在處理函數(shù)的最值時(shí)，要充分利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并將極值與端點(diǎn)函數(shù)值作大小比較得出結(jié)論，考查計(jì)算能力與分析問題的能力，屬于中等題。19、【解析】

由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到為真時(shí)，的取值范圍；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及基本不等式，我們可以求出為真時(shí)的取值范圍；而根據(jù)“”為真且命題“”為假，可得真假，或假真，求出這兩種情況下的的取值范圍再求并集即可．【詳解】解：當(dāng)為真命題時(shí)，解得當(dāng)為真命題時(shí)，在上恒成立，即對(duì)恒成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以.因?yàn)槊}“”為真命題且命題“”為假命題，所以命題與命題一個(gè)為真一個(gè)為假當(dāng)真假時(shí)，有解得當(dāng)假真時(shí)，有解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合命題的真假，屬于中檔題.20、（1），可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；（2）2臺(tái)光照控制儀.【解析】

（1）由題中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算，進(jìn)而結(jié)合參考數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，得出答案；（2）記商家周總利潤(rùn)為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺(tái)，最多安裝3臺(tái)光照控制儀．①安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周總利潤(rùn)3000元；②安裝2臺(tái)光照控制儀有2種情形：做出分布列即可求解．【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，所以相關(guān)系數(shù)因?yàn)?，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）記商家周總利潤(rùn)為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺(tái)，最多安裝3臺(tái)光照控制儀．①安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周總利潤(rùn)3000元；②安裝2臺(tái)光照控制儀的情形：當(dāng)X＞70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤(rùn)Y＝3000﹣1000＝2000元，當(dāng)30＜X≤70時(shí)，2臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)周總利潤(rùn)Y＝2×3000＝6000元，故Y的分布列為：Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝1000×0.2+5000×0.7+9000×0.1＝4600元．綜上可知，為使商家周利潤(rùn)的均值達(dá)到最大應(yīng)該安裝2臺(tái)光照控制儀.本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，分布列的求法，利潤(rùn)的計(jì)算，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解其切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，求得函數(shù)，進(jìn)而由，即可求解的取值范圍。【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，可得，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為。（2）因?yàn)?，令，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范圍是。本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的恒成立問題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。22、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】分析：（1）求極值可先求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間從而確定極值點(diǎn)求極值；（2）由（1）可知當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；故只需討論當(dāng)a＞0時(shí)的零點(diǎn)情況，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)有極大值，令（x＞0），求導(dǎo)分析單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)定理進(jìn)行證明即可；（3）由斜率計(jì)算公式得，而，將看成一個(gè)整體構(gòu)造函數(shù)（），分析其最大值即可.解：（1），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，