北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題52 生活中的軸對(duì)稱章末測(cè)試卷（拔尖卷）（舉一反三）（原卷版+解析）

第5章生活中的軸對(duì)稱章末測(cè)試卷（拔尖卷）

【北師大版】

考試時(shí)間：100分鐘：滿分：1（）（）分

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分1（）。分，限時(shí)6（）分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋

面廠，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2023秋?石城縣期末）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京

是全世界唯?同時(shí)舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市.下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)部分圖標(biāo)，其中是軸

對(duì)稱圖形的為（）

2.（3分）（2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)。出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊

時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角.當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為。第2次碰到矩形的邊時(shí)的

點(diǎn)為M,….第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）

A.點(diǎn)PB.點(diǎn)QC.點(diǎn)、MD.點(diǎn)N

3.（3分）（2023秋?青田縣期末）如圖，點(diǎn)A、B、。都在方格紙的“格點(diǎn)”上，請(qǐng)找出“格點(diǎn)”D,使點(diǎn)

4、B、C、。組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這樣的點(diǎn)。共有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

4.（3分）（2023秋?遷安市期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿"。和N尸折疊，使線段P8和。。重合，則下列

結(jié)論正確（）

①NBPB'=|ZC/PC

②ZBPM+ZBPM=90°

③NBPM+NNPC=90"

④/NPM=90°

⑤NB,PM+/NPC=90°

A.①②③B.③?⑤C.②③④D.①?

5.（3分）（2023秋?薨州期末）定義：過(guò)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線機(jī)，若直線機(jī)能將△48c恰好分成

兩個(gè)等腰三角形，則稱△ABC為“奇妙三角形”.如圖，下列標(biāo)有度數(shù)的四個(gè)三角形中，不是“奇妙三

6.（3分）（2023秋?越秀區(qū)期末）如圖，在8c中，A4邊的垂直平分線?！?分別與川邊和AC邊交

于點(diǎn)。和點(diǎn)￡，8c邊的垂直平分線FG,分別與8c邊和AC邊交于點(diǎn)尸和點(diǎn)G,又△3EG的周長(zhǎng)為16,

且GE=1,則AC的長(zhǎng)為（）

B

7.（3分）（2023秋?蘇州期末）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的々倍，我們把這樣的等腰三角形

叫做“攵倍邊等腰二角形”.如果一個(gè)等腰二角形是“4倍邊等腰二角形”，且周長(zhǎng)為則該等腰

三角形底邊長(zhǎng)為（）

A.12cmB.12cm?￡2cmC.2cmD.或12a〃

8.（3分）（2023秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，AB=AC,NB=70°,在直線6C上取一點(diǎn)P,使CP=C4,

連接AP,則N84P的度數(shù)為（）

A.15°B.55°C.15°或55°D.15°或75°

9.（3分）（2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，在△A8C中，A。是NBAC的平分線，延長(zhǎng)AO至E,使AO=OE,

連接8E,若AB=4AC,ABOE的面積為12,則△48C的面積是（）

A.6B.9C.12D.15

10.（3分）（2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，若乙408=44°,P為NAO8內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在。4上，點(diǎn)N

在08上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，NMPN的度數(shù)為（）

A.82°B.84°C.88°D.92°

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2023秋?永城市期末）在如圖所示的圖中補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為軸對(duì)稱圖形，共有種

補(bǔ)法.

A

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2023秋?黃石港區(qū)期末）如圖〃，網(wǎng)格中的每一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC為格點(diǎn)三角形,

直線MN為格點(diǎn)直線（點(diǎn)A、8、C\M、N在小正方形的頂點(diǎn)上）.

（1）僅用直尺在圖〃中作出AABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△%'B'C'.

（2）如圖爪僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)一..角形八4。的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影.

18.（6分）（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期末）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

（1）如圖①，四邊形A/3CO中，AB=AD,NB=ND,畫出四邊形A8CQ的對(duì)稱軸機(jī)；

（2）如圖②，四邊形44。。中，AD//BC,ZA=ZD,畫出AC邊的垂直平分線”.

圖②

19.（8分）（2023秋?密山市校級(jí)期末）在△入8C中，A8=AC,人。邊上的中線8。把△ABC的周長(zhǎng)分成

15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng).

20.（8分）（2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△/WC中，點(diǎn)￡是3。邊上的一點(diǎn)，連接A￡,3。垂直平分

AE,垂足為人交AC于點(diǎn)。，連接D￡.

（1）若△ABC的周長(zhǎng)為18,△DEC的周長(zhǎng)為6,求A8的長(zhǎng).

(2)若NA8C=30°,ZC=45°,求NCD七的度數(shù).

B

21.（8分）（2023秋?湖里區(qū)期末）經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)辿上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩

個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”.

例如，如圖，/XABC中，點(diǎn)。在/W邊上，若AO=OC=CB,則稱△ABC是“鉆石三角形”，直線

是△/WC的“鉆石分割線”.

（1）已知中，ZA=90°,/B=60",則RtZ\A8C"鉆石三角形”（填“是”或者

“不是”）；

（2）已知，AABC是“鉆石三角形"，NA>NB>NC,直線3。是△43C的“鉆石分割線”，探求N

ABC與NC之間的關(guān)系.

A

22.（8分）（2023春?新城區(qū)校級(jí)期末）已知：四邊形A8C。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，OA=OC,

OB=OD+CD.

（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AE〃CD交BD于點(diǎn)E,求證：AE=BE；

（2）如圖2,將△八沿八5折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為力，求證：/BDC=2乙ABD'.

01圖2

23.（8分）（2023秋?順平縣期末）如圖（1）,三角形A8C中，B。是NABC的角平分線.

（1）若N4=80°,N/1BC=58°,則°.

（2）若A8=6,設(shè)和△CB。的面積分別為Si和S2,已知?=|,則8c的長(zhǎng)為.

（3）如圖（2）,NACE是△A8C的一個(gè)外角，C尸平分NACE,8。的延長(zhǎng)線與CF相交于點(diǎn)凡CG平

分NACB,交BD于點(diǎn)H,連接AA設(shè)N84C=a,求/8HC與/"FC的度數(shù)（用含a的式子表示）.

BBE

圖⑴圖（2）

第5章生活中的軸對(duì)稱章末測(cè)試卷（拔尖卷）

【北師大版】

考試時(shí)間：100分鐘；滿分：100分

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分10（）分，限時(shí)60分鐘，本卷題型制

對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2023秋?石城縣期末）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京和張

家口舉辦，北京是全世界唯一同時(shí)舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市.下列四個(gè)圖分別是

四屆冬奧會(huì)部分圖標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）

分析：根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫

做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：選項(xiàng)A、8、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)。能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

所以是軸對(duì)稱圖形，

故選：D.

2.（3分）（2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小

球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角.當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)

為。第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M,….第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）

M

A.點(diǎn)尸B.點(diǎn)、QC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

分析：根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán),

進(jìn)而確定位置即可.

【解答】解：如圖所示，小球反彈6次回到點(diǎn)尸處，而9-6=3,

???第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)N.

故選：D.

3.（3分）（2023秋?青田縣期末）如圖，點(diǎn)A、B、C都在方格紙的“格點(diǎn)”上，請(qǐng)找出“格

點(diǎn)”。，使點(diǎn)A、B、C、。組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這樣的點(diǎn)。共有（）個(gè).

A.IB.2C.3D.4

分析：直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案.

【解答】解：如圖所示：點(diǎn)A、B、a。組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這樣的點(diǎn)。共有4個(gè).

故選：D.

D\…L-…,

：IJ：

△…工…工…辦

????

4.（3分）（2023秋?遷安市期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿MP和NP折疊，使線段P9和

尸C重合，則下列結(jié)論正確（)

@ZBPBf=|ZCZPC

②NBPM+N8PM=90°

③NBPM+NNPC=90”

④NNPM=90°

⑤N8尸M+NNPC=90°

A.①②③B.③??C.②?④D.@@

分析：由折疊可知，NBPM=NB，PM=ZCPN=ZCPN=\LCPC,據(jù)此解答

即可.

【解答】解：由折疊可知，NBPM=NB,PM=gNBPB\NCPN=NCPN=GLCPC,

乙乙

:.ZBPM+ZNPC=4CPC'=2x180°=90°,故③正確；

乙乙乙

ZNPM=ZB'PM+ZCPN=^ZBPB'+^￡CPC,=1X180°=90°,故④正確；

乙乙乙

NBPM+/NPC=^ZBPB'+^CPC1=1x180°=90",故⑤正確

乙乙乙

故①②錯(cuò)誤.

故選：B.

5.（3分）（2023秋?亳州期末）定義：過(guò)△A8C的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線/〃，若直線加能將

△ABC恰好分成兩個(gè)等腰三角形，則稱△A8C為“奇妙三角形”.如圖，下列標(biāo)有度數(shù)

的四個(gè)三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）

分析：根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可判斷.

【解答】解：A.是“奇妙三角形"，不合題意:

是“奇妙三角形"，不合題意;

C.不是“奇妙三角形”，符合題意;

，不合題意;

6.（3分）（2023秋?越秀區(qū)期末）如圖，在△/WC中，A8邊的垂直平分線分別與A8

邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E,BC邊的垂直平分線FG,分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和

點(diǎn)G,又aBEG的周長(zhǎng)為16,且GE=1,則AC的長(zhǎng)為（)

A.16B.15C.14D.13

分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到仍=￡4、G8=GC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)

算，得到答案.

【解答】解：???￡＞七是邊的垂直平分線,

；?EB=EA,

???bG是8C邊的垂直平分線,

：?GB=GC,

???△BEG的周長(zhǎng)為16,

：,GB+GE+EB=\6,

/.AE+GE+GC=16>

：,AC+GE+GE=\6,

VGE=1,

???AC=16-2=14,

故選：C.

7.（3分）（2023秋?蘇州期末）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍、我們把這

樣的等腰三角形叫做'”倍邊等腰三角形”.如果一個(gè)等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”,

且周長(zhǎng)為1&加，則該等腰三角形底邊長(zhǎng)為（）

A.12c7〃B.12CM或2c加C.2cmD.或12c/

分析：設(shè)該等腰三角形的較短邊長(zhǎng)為（x>0）,則較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4xc〃?.分①xc〃?為腰；

②4xa〃為腰兩種情況討論即可.

【解答】解：設(shè)該等腰三角形的較短邊長(zhǎng)為（4>0），則較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4xc/〃.

①當(dāng)xcrn為腰時(shí)，

VX+A*<4X,

Ax,x,4x不能組成三角形；

②當(dāng)4xc〃?為腰時(shí)，4x,4x,x能夠組成三角形，

V4x+4x+x=18,

；?x=2,

???該等腰三角形底邊長(zhǎng)為2c"i.

故選：C.

8.（3分）（2023秋?招遠(yuǎn)市期末）在△44C中，AB=AC,NB=70",在直線4c上取一

點(diǎn)P,使CP=C4,連接4P,則N84P的度數(shù)為（）

A.15°B.55°C.15°或55°D.15°或75°

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形,

利用分類討論的方法求出N8AP的度數(shù)即可.

【解答】解：如右圖所示，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，

'：AB=AC,NA3C=70°,

,NACB=NABC=70°,

，NBAC=1800-NHCB-NA8C=180°-70°-70°=40°,

\*CA=CP\,

180--^180^70：

：.ZCAP\=ZCP\A===55O

???N84Pi=NC4Pi-/CAB=55°-40°=15°；

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí),

*：AB=AC,NABC=70°,

AZACR=ZARC=1O°,

AZBAC=1800-ZACB-ZABC=l80a-70°-70°=40°,

*：CA=CP2,

?人LACB

??Z/.CcAPi_=A"CPD1A=―2—=—70°=35

???NZMP2=NC4P2+NC4B=35°+40°=75°；

由上可得，NBA尸的度數(shù)是15°或75°,

故選：D.

9.（3分）（2023秋?羅莊區(qū)期末）如圖，在3c中，AO是N3AC的平分線，延長(zhǎng)力。至

￡使AD=O區(qū)連接8E,若48=4AC,△BOE的面積為12,則△回（；的面積是（）

D.15

分析：由角平分線的性質(zhì)可得。G=。”，由三角形的面積關(guān)系可求解?

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作QG_LAC,交AC的延長(zhǎng)線于G，O〃_LA3于從

:.S&ABD=S^BDE=12,

???4。是NB4C的平分線，Oa_L48,DGA.AC,

:?DG=DH,

'：AB=4AC,

??S^ABD~^S^,ACDf

，S&4C￡>=3,

/.SAABC=12+3=15,

故選：D.

10.（3分）（2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，若NAO8=44°,P為NAOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M

在O人上，點(diǎn)N在上，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí),NMPN的度數(shù)為（）

B.84°C.88°D.92°

分析：作點(diǎn)尸關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)/V,點(diǎn)P關(guān)于03的對(duì)稱點(diǎn)產(chǎn)，連接W交。4于"，

OB與N,此時(shí)P戶，的長(zhǎng)即為的周長(zhǎng)的最小值，可知NPFP”=180°-44°=

136°,再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案.

【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于。A的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)P關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)/，連接了P”交0A

于M,0B與N,

P'

.??PM'=P*M,PN=P'N,

此時(shí)P尸'的長(zhǎng)即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值，

VZAOB=44°,

???NP'PP"=180°-44°=136°,

：,ZP'+P"=44°,

?：NP'=NMPP,/P"=NP"PN,

:?/MPN=/P'PP”?（ZP'+ZP"）=136°-44°=92°,

故選：D.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2023秋?永城市期末）在如圖所示的圖中補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為軸對(duì)稱圖

形，共有4種補(bǔ)法.

分析：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形即可.

故共有4種補(bǔ)法.

故答案為：4.

12.（3分）（2023秋?澄海區(qū)期末）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,點(diǎn)。為斜邊A4

上的一點(diǎn)，連接C。，將△BC。沿CO翻折，使點(diǎn)〃落在點(diǎn)E處，點(diǎn)尸為直角邊4c上

一點(diǎn)，連接DF,將△4?！把?。/翻折,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合,則NCE/的度數(shù)為90°

4

分析；根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)詒.

【解答】解：???將△BCQ沿C。翻折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處,

：.ZB=ZCED,

???將△4。/沿。尸翻折，點(diǎn)4恰好與點(diǎn)石重合，

/.N4=NOE凡

/.ZCEF=ZDEF+ZCED=ZA+ZB=90a,

故答案為：90".

13.（3分）（2023秋?官渡區(qū)期末）如圖，鈍角△ABC中，AB=6,4C=3,BC=4,過(guò)三

角形一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線可將△ABC分成兩個(gè)三角形，若分成的兩個(gè)三角形中有一個(gè)三

角形為等腰三角形，貝!這樣的直線有7條.

分析：分別以4、B、C為等腰三角形的頂點(diǎn)，可畫出直線，再分別以AA、AC、"C為底

的等腰三角形，可畫出直線，綜合兩種情況可求得答案.

【解答】解：分別以4、B、C為等腰三角形的頂點(diǎn)的等腰三角形有4個(gè)，

???滿足條件的直線有4條；

分別以4B、AC.BC為底的等腰三角形有3個(gè),

???滿足條件的直線有3條，

綜上可知滿足條件的直線共有7條，

故選：C.

14.（3分）（2023秋?臨海市期末）如圖，在△ABC中，C7）是NAC8的平分線，延長(zhǎng)C。

至點(diǎn)E,使。連接BE,若AC=28C,4BDE的面積為1,則△ABC的面積是

6__.

分析：由角平分線的性質(zhì)可得。G=。"，由三角形的面積關(guān)系可求解.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。G_LAC于G,DH上CB于H,

C

??S^BCD=^S^BLyE=2,t

???C。是NACB的平分線，DHLCB,DG1AC,

：.DG=DH,

11

'：AC=2I3C,ShACD=^AC-GD,SABCD=^BC-DH,

/.SMCD=2SDBCD,

??S^ACD=^i

SMBC=SMCD+S^BCD=4+2=6,

故答案為：6.

15.（3分）（2023秋?寧津縣期末）如圖，已知NAOB=40°,點(diǎn)。是邊。4上一點(diǎn)，在射

線OB上取一點(diǎn)C,當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，ZOCD的度數(shù)為40?；?0°或

分析：分三種情況討論：①當(dāng)。。=OC,②當(dāng)OQ=DC,③當(dāng)OC=C。，根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，

①當(dāng)oo=oc時(shí)，

ZOCD=ZODC==70°；

②當(dāng)0。=。。時(shí)，

ZOCD=ZCOD=40a；

③當(dāng)OC=CO時(shí)，

/OOC=NCOO=40°,

???NOCO=18（T-ZODC-ZC（9D=100°.

綜上所述，NO。。的度數(shù)為40°或70,或100”.

16.（3分）（2023秋?黃岡期末）已知：如圖，/AO8=3（T，點(diǎn)M,N分別是邊04OB

上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB,QA上的動(dòng)點(diǎn)，記NMPQ=a,NPQN=0.當(dāng)MP+PQ+QN

最小時(shí)，則0-a=60°

OPNB

分析：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M',N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N',連接M'N交0A于Q,

交03于P,則MP+P0+QN最小，易知NOPM=NOPM'=NNPQ,ZOQP=ZAQN'

=NAQN,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M',N關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)N',連接M'N'

交OA于Q,交0B于P,則MP+PQ+QN最小，

11

：,40PM=N0PM'=4NPQ=WLM'PM,N0QP=/AQN'=/AQN="NQN，

/.ZQPN==1(180°-1(1800-a)

*/ZQPN=ZAOB+ZOQP

=NAOB+NAQN

=/AOB+/NQN，

=30°+1x(1800-p),

1i

(180°-a)=30°+>(180°-p),

A180o-a=60c+(180°-0),

A1800-a=240°-p,

.*.p-a=240°-180°,

/.p-a=60°,

故答案為60°.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2023秋?黃石港區(qū)期末）如圖小網(wǎng)格中的每一個(gè)正方形的功長(zhǎng)為1,AABC

為格點(diǎn)三角形，直線MN為格點(diǎn)直線（點(diǎn)A、B、C、必、N在小正方形的頂點(diǎn)上）.

（1）僅用直尺在圖a中作出AABC關(guān)于直.線MN的對(duì)稱圖形AA'B'C.

（2）如圖b,僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛

筆涂成陰影.

（3）如圖c,僅用直尺作三角形ABC的邊AC上的高，簡(jiǎn)單說(shuō)明你的理由.

圖a

分析：（1）分別作出A,13,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',",C’即可.

（2）如圖，取格點(diǎn)。，計(jì)算可知SAAOC=S^HOC=S^AOB=2（平方單位）.本題方法多

只要滿足條件即可.

（3）如圖，選擇格點(diǎn)0、E,證明△48。絲/XCBE.于是，AB=CB.選擇格點(diǎn)Q,證明

XABgXCBQ、于是，AQ=CQ.推出8Q為線段AC的垂直平分線，設(shè)8Q與47相

交于點(diǎn)F,則BF為所要求的△48C的邊AC上的高.

【解答】（1）解：如圖〃中，ZX/VB'C'即為所求.

圖a

（2）解：如圖，取格點(diǎn)O,計(jì)算可知S"0C=SA80C=Sa408=2（平方單位）

本題方法多，列舉部分方法如下:

(3)解：如圖，選擇格點(diǎn)。、E,證明△A8。g/XCBE.于是，AB=CB.

選擇格點(diǎn)Q，證明△48Q0△CBQ,于是，AQ=CQ.

???BQ為線段AC的垂直平分線，設(shè)BQ與AC相交于點(diǎn)凡則"為所要求的△A8C的邊

AC上的高.

18.(6分)(2023秋?思明區(qū)校級(jí)期末)請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保

留畫圖痕跡.

(1)如圖①，四邊形A/3c。中，AB=AD,NB=ND,畫出四邊形ABC。的對(duì)稱軸加；

(2)如圖②，四邊形ABCO中，AD//BC,N4=ND,畫出8c邊的垂直平分線〃.

A

圖②

分析：（I）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作出對(duì)稱軸〃"

（2）延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E,連接AC,B。交于點(diǎn)F,連接E/即可畫出BC邊的垂直

平分線n.

【解答】解：（1）如圖，對(duì)稱軸機(jī)即為所求;

（2）8c邊的垂直平分線〃即為所求.

19.（8分）（2023秋?密山市校級(jí)期末）在△A4C中，AB=AC,AC邊上的中線8。把A43C

的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng).

分析：已知腰上的中線8。將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，而沒(méi)有說(shuō)明哪

部分是15,哪部分是6：所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行討論:第一種15,第二種A4+4O

=6；分別求出其腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理將不合題意的解舍去.

【解答】解：如圖，

???4。是△ABC的中線，

：.CD=AD=\AC=x,

又?.?A8=AC,

，A8=AC=2x,

又：中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，

①當(dāng)AZ)+AB=15時(shí)，有2vhr=l5,得x=5,即AB=10,

：.BC+CD=6,即5+BC=6,得BC=1,

???等腰△A8C的腰為10,底邊為1；

②當(dāng)AO+AB=6時(shí)，有2x+x=6,得x=2,即48=4,

：.BC+CD=\5,即8C+2=15,得8C=13,

又?.?4+4V13,

???此種情況不能構(gòu)成三角形.

???綜上所述：等腰△ABC的腰為10,底邊為1.

20.（8分）（2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE,

30垂直平分垂足為八交AC于點(diǎn)O,連接。E.

（I）若△ABC的周長(zhǎng)為18,△OEC的周長(zhǎng)為6,求48的長(zhǎng).

（2）若/4BC=30°,ZC=45°,求NCDE的度數(shù).

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=BE,AD=DE,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公

式計(jì)算，得到答案；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N/MC,證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到NBEO=NB/1C=I05°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：（I）..d。是線段AE的垂直平分線，

：.AB=BE,AD=DE,

???△ABC的周長(zhǎng)為18,△OEC的周長(zhǎng)為6,

：.AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+CE+AD=6,

?M8+8￡=18-6=12,

???A8=6；

（2）???/4BC=30°,ZC=45°,

???/84c=180°-30°-45°=105°,

在△840和△8EO中，

BA=BE

BD=BD，

DA-DE

???△BAgABED（SSS）,

：.ZBED=ZBAC=\05°,

：?NCDE=NBED-NC=105°-45°=60°.

21.（8分）（2023秋?湖旦區(qū)期末）經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，若能將此

三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三

角形的“鉆石分割線”.

例如，如圖，△A8CU」，點(diǎn)。在A8邊上，若八。=OC=C8,則稱△AVC是“鉆石三角

形”，直線CQ是△ABC的“鉆石分割線”.

（1）已知RtZkA8c中，ZA=90°,ZB=60°,則RtZ\A8c是“鉆石三角形”（填

“是”或者“不是”）;

（2）已知，△ABC是“鉆石三角形"，NA>NB>/C,直線8。是△48C的“鉆石分

割線”，探求NA3C與NC之間的關(guān)系.

分析?：（1）如圖，取BC的中點(diǎn)。連接A。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=CO=BD,

求得△ACO和是等腰三角形，F(xiàn)是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意得到△SCO與△AB。是等腰三角形，且腰相等，求得CO=BZ）,設(shè)/C=

x,則/Z）8C=/C=x,ZADB=ZC+ZDBC=2x.在aAB。當(dāng)AB=8。時(shí)，如圖1,根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NAQ4=2r.求得NA8C=1800-ZA-ZC=180°-

3x,于是得到結(jié)論，在△48。當(dāng)AB=A。時(shí)，，如圖2,推出△AOB是等邊三角形，得到

NAOB=N48O=Zr=60°,ZC=v=30°,求得NA8C=180°-ZA-ZC=90°,是

得到結(jié)論.

【解答】解：（I）是，

理由：如圖，取8c的中點(diǎn)。連接AD,

VZ4=90°,

：.AD=CD=BD,

???△AC。和△A3。是等腰三角形,

???RtZXABC“鉆石三角形”，

故答案為：是；

（2）???△A4C是鉆石三角形，直線3。是鉆石分割線,

與AAB。是等腰三角形，且腰相等，

yBOAOAB,

??.在△3CO中，8c最大，不可能為腰.

:.CD=BD,

設(shè)NC=x,則NOBC=NC=x,ZADB=ZC+ZDBC=2x.

在△A3。當(dāng)時(shí)，如圖1,

，NABC=1800-ZX-ZC=180°-3x,

即3NC+NA8C=180°,且45°>ZC>36°；

在△A/Y）當(dāng)時(shí)，如圖2,

/.ZADB=2ZC=2x,ZABD=ZADB=2x,

：.ZABC=3x,

：.NABC=3NC,

在△ABD中，當(dāng)4O=B。時(shí)，如圖3,

?/八一/Aon180°-ZJWBo

..ZA=ZABD=--------------=9n0n-x,

???N/WC=1800-ZX-ZC=90°,

是最大邊，這與BC是最大邊矛盾，

???不合題意，舍去；

綜上所述，NA4c=3NC或3NC+NABC=180°,且45°>ZC>36°

解法二：???△ABC是鉆石三角形，直線B。是鉆石分割線，

???△BCD與△AB。是等腰三角形，且腰相等，

*：BOAOAB,

???在△BCO中，BC最大,不可能為腰.

:.CD=BD,

???△ABO的一條腰為80.

設(shè)NC=x,則NQ3C=NC=x,ZADB=ZC+ZDBC=2x.

①在△A3。的另一條腰為AB時(shí)，BPAB=BD,如圖1,

/.ZA=ZADB=2x.

???/ABC=1800-ZZ-ZC=180°-3x,

即3NC+NA8c=180°,且45°>ZC>36°,

②在△AB。的另一條腰為A。時(shí)，即AQ=8。，如圖3,

180°-Z.ADB

/.ZA=ZABD=

2=90°

???/A8C=1800-ZA-ZC=90°,

???4C是最大邊，這與8C是最大邊矛盾，

???不合題意，舍去.

綜上所述，NA/3C=3NC或3NC+NA/3C=18O°,且45°>ZC>36°.

22.（8分）（2023春?新城區(qū)校級(jí)期末）已知：四邊形ABCO中，對(duì)角線AC與B。相交于

點(diǎn)。，OA=OC,OB=OD+CD.

（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AE〃CQ交3。于點(diǎn)E,求證：AE=BE；

（2）如圖2,將△ABO沿人B折疊，點(diǎn)/）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。'，求證：NBDC=2NABD'.

圖1