北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題23 一元一次不等式-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.3元一次不等式.重難點題型

【北師大版】

【知識點一元一次不等式】

(1)不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，這樣的不等式叫做一元

一次不等式.能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱不等式的解.

(2)解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將x項的系數(shù)化為L

【題型1一元一次不等式的概念】

【例1】(2023?南崗區(qū)校級開學(xué))下列各式中，是一元一次不等式的有()

3

(1)x+2+x1<2x-5+.V2；(2)2x+xy+y；(3)3x-4y>0；(4)--5<x；(5)xWO；(6)(r+\>5.

2X

A.I個B.2個C.3個D.4個

【變式1-1](2023?龍灣區(qū)二模)寫出含有解為x=l的一元一次不等式(寫出一個即可).

【變式1-2】(2023春?任城區(qū)校級期末)下列不等式中，一元一次不等式有①』+3>2x；②-3V0；③x-3

>2y；($)——>5ir；⑤3y>-3,其中一元一次不等式有____個.

n

【變式1-3](2023秋?北暗區(qū)校級期末)若不等式31)內(nèi)-3是關(guān)于x的一元一次不等式，求

冽、〃的取值.

【題型2一元一次不等式的解法】

03%—Ix+04

【例2】（2。23春?東坡區(qū)期末）解不等式：

【變式2-1］（2023?南崗區(qū)校級開學(xué)）解不等式:

(1)2-5x>8—2r：

1-xl-2x

(2)-1<

3~2~,

x—12

【變式2-2］（2023?利州區(qū)模擬）（2023春?湯陰縣期末）下面是小明解一元一次不等式=<K+/勺過程,

63

請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：去分母，得x-lW6x+4....第一步

移項，得X+GW4-1.……第二步

合并同類項，得7xW3.……第三步

解得入w1……第四步

（1）小明解答過程是從第步開始出錯的，這一步正確的解答結(jié)果為，此步的依據(jù)

是;

（2）請你寫出此題正確的解答過程，并將解集表示在數(shù)軸上.

a0d=a(a+b)-b(a<b)

【變式2-3］（2023春?順義區(qū)期末）現(xiàn)定義運算，對于任意有理數(shù)〃，b,都有

a0b=b(a+b)—a(a>b)

如：2@3=2X(2+3)-3=7,5③2=2X(5+2)-5=9.

(1)若旭)(x+2)>.v0(x-3),求x的取值范圍；

(2)有理數(shù)a,〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，計算：b)0(28)-[(b-a)(2a-2b)].

*

01b

【題型3一元一次不等式的整數(shù)解問題】

【例3】(2023春?鹽城期末)已知方程=2的解為負(fù)數(shù),求正整數(shù)a的值.

Y—9Y+1

【變式3-1](2023春?房山區(qū)校級月考)x取何正整數(shù)時，代數(shù)式丁+1的值不大于代數(shù)式三一-1的值.

【變式3-2](2023春?房山區(qū)校級月考)閱讀下歹U材料.

讓我們規(guī)定一種運算I：^\=ad-bc,如仁,=2X5-3X4=-2,再如《：|=4廠2.按照這種運算

規(guī)定，請解答下列問題.

（1）一:；』=_____（只填結(jié)果）；

—ZU.bi

（2）若-1：+］的值小于5,求出此時工的正整數(shù)解.（寫出解題過程）

【變式3-3］（2023春?岳麓區(qū)校級期中）材料閱讀：

已知加，〃為整數(shù)，關(guān)于x的不等式機(jī)的最小整數(shù)解為x=〃Hl,關(guān)于），的不等式），〈〃的最大整數(shù)解

為根據(jù)材料回答以下問題：

已知小〃是整數(shù)，關(guān)于x的不等式23的最小整數(shù)解為x=8,關(guān)于），的不等式y(tǒng)V24-38-19的

最大整數(shù)解為y=-8.

（1）求處人的值；

（2）在（1）的條件下，若卜-3=。-工，求符合題意的最大整數(shù)達(dá)

（3）在（1）的條件下，求關(guān)于x,y的方程Q毋竽=0的非負(fù)整數(shù)解.

【題型4含有字母的一元一次不等式的解法】

【例4】（2023秋?雙清區(qū)校級月考）已知一元一次不等式〃tr-3>2x+〃?.

（1）若它的解集是XV?號，求機(jī)的取值范圍；

m—￡

（2）若它的解集是試問：這樣的用是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，請說明理

由.

【變式4-1］（2023秋?湖州期中）（2023?合肥模擬）若不等式二一-1W2-%的解集中x的每一個值，都能

使關(guān)于X的不等式3（X-1）+5>5x+2（m+x）成立，求機(jī)的取值范圍.

【變式4-2］（2023春?新余期末）如果關(guān)于x的不等式（2〃-〃）工+。-5%>0的解集為4Vl.

（1）請用含〃的式子表示a；

（2）求關(guān)于x的不等式如〉〃的解集.

【變式4-3］（2023春?岳麓區(qū)校級期中）已知加，〃為實數(shù).若不等式（2,〃-〃）x+3/〃-4〃<0的解集為

求不等式(m-4n)x+2m-3n>()的解集.

【題型5含絕對值的一元一次不等式】

【例5】(2023春?匯川區(qū)期末)閱讀：

我們知道，同=(。'于是要解不等式|x-3|W4,我們可以分兩種情況去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為我

-a,a<0

們熟悉的不等式，按上述思路，我們有以下解法：

解：(1)當(dāng)x?320,即時：x?3W4

解這個不等式，得：xW7

由條件有：3WxW7

(2)當(dāng)X-3V0,即x<3時，-(x-3)W4

解這個不等式，得：-1

由條件x<3,有：-IWX<3

???如圖，綜合(1)、(2)原不等式的解為：-1WXW7

根據(jù)以上思想，請?zhí)骄客瓿上铝?個小題：

(1)k+l|W2；

(2)Lv-2|>1.

【變式5-1](2023春?河西區(qū)期末)已知：〃是整數(shù)，關(guān)于x的不等式￡>〃?2〃的最小整數(shù)解為8,關(guān)

于y的不等式y(tǒng)<2a-3b-19i勺最大整數(shù)解為-8.

(I)求小〃的值；

(2)\x-b\=x-h,\x-a\>a-xf求符合題意的最小整數(shù)x.

【變式5-2](2023?利州區(qū)模擬)已如不等式(7?-1)x>(/?-1)(〃L2)的解是不等式||,v+3|-|，v-3||>3

的解集的一部分，求〃?的取值范圍.

【變式5-3](2023?利州區(qū)模擬)解不等式L”1|>2,如圖1,在數(shù)軸上找出|x?1|=2的解,即到1的距

離為2的點對應(yīng)的數(shù)為?1,3,則僅-1|>2的解集為xV-1或x>3.

例3：解方程k-l|+k+2|=5.曰絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5

的點對應(yīng)的x的值.在數(shù)軸上，1和-2的距離為3,滿足方程的x對應(yīng)的點在1的右邊或-2的左邊，

若x對應(yīng)點在1的右邊，由圖2可以看出x=2.同理，若x對應(yīng)點在-2的左邊，可得工=-3,故原方

程的解是％=2或%=-3.

回答問題：（只需直接寫出答案）

①解方程|"3|=4

②解不等式3|24

③解方程|工?3|+僅+2|=8.

【題型6一元一次不等式的應(yīng)用】

【例6】（2023?江西模擬）某學(xué)校為獎勵學(xué)生分兩次購買A,B兩種品牌的圓珠筆，兩次的購買情況如卜.表:

第一次第二次

A品牌圓珠筆/支2030

8品牌圓珠筆/支3040

總計采購款/元102144

（1）問A,3兩種品牌圓珠筆的購買單價各是多少元？

（2）由于獎勵人數(shù)增加，學(xué)校決定第三次購買，且購買8品牌圓珠筆支數(shù)比A品牌圓珠筆支數(shù)的1.5倍

多5支，在采購總價不超過213元的情況下，最多能購進(jìn)多少支A品牌圓珠筆？

【變式6-1］（2023春?博興且期末）如圖，某JL廠與A、B兩地有公路、鐵路相連.這家JJ.近期從A地購

買一批原料運回工廠，制成的產(chǎn)品再全部運到B地.已知公路的運價為2元/（噸?千米），鐵路的運價

為1.5元/（噸?千米），且這兩次運輸共支出公路運費48000元，鐵路運費207000元.

鐵路150千米

公路20千米

某工廠

鐵路120千米

公路30千米

（1）求從A地購買的原料和運到B地的產(chǎn)品各多少噸？

（2）如果購買這批原料的價格為每噸1千元，且這家工廠希望這批產(chǎn)品全部售出后獲得不低于20萬元

的利潤（利潤=銷售額-原料費■運輸費），那么每噸產(chǎn)品的最低售價應(yīng)定為多少元（結(jié)果取整數(shù)）？

【變式6-2］（2023春?遷安市期末）某工程隊計劃招聘從事甲、乙兩種工作的工人共150名，設(shè)從事甲工作

的人數(shù)為4人.

（1）若招聘經(jīng)理說：“招聘從事乙工作的人數(shù)是從事甲工作人數(shù)的2倍.”若設(shè)從事乙工作的人數(shù)為），

人，請列方程組解答從事甲、乙工作的人數(shù)各有多少人？

（2）根據(jù)招聘工作人員透露：從事乙工作的人數(shù)比從事甲工作人數(shù)至少多25人，試通過列不等式的方

法說明從事甲工作人數(shù)最多有多少人？

【變式6-3］（2023春?鐵西區(qū)期中）小明家準(zhǔn)備給長8米，寬6米的長方形客廳地面（如圖所示）鋪設(shè)瓷質(zhì),

現(xiàn)將其劃分成一個長方形A8CD區(qū)域I（陰影部分）和一個環(huán)形區(qū)域II（空白部分）兩部分.

（1）若區(qū)域I中4B=4,BC=x,則區(qū)域I的面積為4x米2（用含1的代數(shù)式表示）；

（2）若鋪設(shè)區(qū)域I的瓷磚均價為300元/米2,鋪設(shè)區(qū)域H的竊磚均價為200元/米2,且兩區(qū)域的瓷磚總

價不超過11600元，求x取最大值時區(qū)域H的面積.

專題2.3一元一次不等式?重難點題型

【北師大版】

“如夜山一二*次示辱女】

(1)不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，這樣的

不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱

不等式的解.

(2)解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將x項的系數(shù)化為1.

【題型1一元一次不等式的概念】

【例1】(2023?南崗區(qū)校級開學(xué))下列各式中，是一元一次不等式的有()

,)3

(1)x+2+/V2r-5+/；(2)2x+xy+y；(3)3x?4y20；(4)——5<x；(5)kWO：

(6)tz*12+*45l>5.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷即可.含有一?個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1

的不等式，叫做一元一次不等式.

【解答過程】解：(1)x+2+/v2x-5+/，化簡可得-x<7,是一元一次不等式；

(2)2A■+工)”，沒有不等符號，所以不是一元一次不等式；

(3)3x-4.y20含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式；

33

(4)--5<x,丁不是整式，所以不是一元一次不等式；

2x2x

(5)xWO是一元一次不等式；

(6)/+1>5,未知數(shù)的次數(shù)是2,所以不是一元一次不等式；

所以是一元一次不等式的有2個.

故選：B.

【變式1-1］（2023?龍灣區(qū)二模）寫出含有解為工=1的一元一次不等式x>0（答案不唯）

（寫出一個即可）.

【解題思路】根據(jù)一元一次不等式的定義寫出的一元一次不等式的解集含有x=l即可.

【解答過程】解：例如：x>0（答案不唯一）.

故答案為：x>0（答案不唯一）.

【變式1-2］（2023春?任城區(qū)校級期末）下列不等式中，一元一次不等式有①7+3>23②

_3—1

-3<0；③v-3>2v；?-—>5TT；⑤3y>-3,其中一元一次不等式有2個.

TC

【解題思路】根據(jù)一元一次不等式的定義“不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，

并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1”，進(jìn)行解答即可.

【解答過程】解：①存在二次項，不符合題意；

②沒有未知數(shù)，不符合題意；

③有兩個未知數(shù)，所以都不是?元??次不等式，不符合題意；

④?是一元一次不等式.

所以一元一次不等式有④⑤共2個.

故答案為：2.

【變式1-3］（2023秋?北倍區(qū)校級期末）若不等式3（x-1）</+心-3是關(guān)于x的一元

一次不等式，求）〃、〃的取值.

【解題思路】根據(jù)一元一次不等式的定義，可得答案.

【解答過程】解:由不等式3（A--1）《加入心一3是關(guān)于*的一元一次不等式，得

m=0,fi-3W0?

解得〃力3.

【題型2一元一次不等式的解法】

【例2】（2023春?東坡區(qū)期末）解不等式：胃4+1>蕓竽.

0.20.6

【解題思路】根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可.

0.3X-1X+0.4

【解答過程】解:----------41>----------

0.20.6

原不等式整理，吟生〉等,

去分母，得3（3x-10）+6>10A+4,

去括號，得9.i-30+6>10x+4,

移項，得9廠10工>30+4-6,

合并同類項，得-心>28,

系數(shù)為1，得x<-28.

【變式2?1】（2023?南崗區(qū)校級開學(xué)）解不等式:

(1)2-5.r>8—2x；

1-xl-2x

-1<

3

【解題思路】（1）移項、合并同類項，系數(shù)化成1,即可求得不等式的解集.

（2）首先去分母，去括號，然后移項、合并同類項，系數(shù)化成1,即可求得不等式的解

集.

【解答過程】解：⑴2-5Q8-2X,

移項得-5x+2x>8-2,

合并得?3x>6,

系數(shù)化為1得XV-2；

去分母得2(l-x)-6V3(1-2.V),

去括號得2-2x-6V3-6x,

移項得-2.r+6x<3?2+6,

合并得4x<7,

系數(shù)化為1得xv[.

V—1

【變式2-2]（2023?利州區(qū)模擬）（2023春?湯陰縣期末）下面是小明解一元一次不等式丁<

%+|的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：去分母，得x-lW6x+4.……第一步

移項，得x+6xW4?1.……第二步

合并同類項，得7xW3.……第三步

解得……第四步

（1）小明解答過程是從第二步開始出錯的,這一步正確的解答結(jié)果為x+6xW

4+1，此步的依據(jù)是不等式的性質(zhì)1；

（2）請你寫出此題正確的解答過程，并將解集表示在數(shù)軸上.

【解題思路】（1）利用不等式的性質(zhì)2可判定第一步錯誤；

（2）先去分母、去括號，然后移項、合并，最后把工的系數(shù)化為1即可.

【解答過程】解：（1）小明的解答過程是從第二步開始出錯的，出錯原因是移項沒有變

號，正確解答應(yīng)該是仆6xW4+l,依據(jù)是不等式的性質(zhì)1；

故答案為：二；x+6xW4+l；不等式的性質(zhì)1：

（2）正確解答為：

解：去分母,得X-1W6X+4,

移項，得x-6xW4+1,

合并同類項，得-5xW5,

解得1,

解集表示在數(shù)軸上為：

g

-4-3-2-1012345.

【變式2-3)(2023春?順義區(qū)期末)現(xiàn)定義運算，對于任意有理數(shù)a,b,都有

a0b=a(a+Z?)—b(a<b)

,如：2③3=2X(2+3)-3=7,502=2X(5+2)-5

a0b=b(a+b)-a(a>b')

=9.

(1)若遇(x+2)>.v0(x-3),求x的取值范圍；

(2)有理數(shù)a,人在數(shù)軸上的位置如圖所示，計算：(a-〃)g(2b)-[(h-a)0(2a

-2b)].

1111.

a016

【解題思路】(1)因為x+2>x,所以.1⑥(x+2)—2X2+X-2,又因為x>x-3,.咆(x

-3)=2?-10A+9,根據(jù)題意解不等式2X2+X-2>2,r-10,v+9即可；

(2)由數(shù)軸可得，h>\,〃V0,則(a-b)0(2b)=(a-〃)(a-h+2b)-2b,(h

-a)8(2a-2b)=(2a-2b)(/?-a+2a-2b)-(b-a),整理后代人所求式子即

可.

【解答過程】解：⑴??3+2>工

/..v0(x+2)=x(X+A+2)-(x+2)=Zr2+x-2,

Vx>x-3,

A.v0(x-3)=(x-3)(x+x-3)-X=2JT-10A+9,

V.v0(x+2)>.r0(A-3),

.,.2?+x-2>Zv2-10x+9,

.?.QI；

(2)由數(shù)軸可得，b>\,a<0,

???a?6V0,

:.(a-b)0(2h)=(〃-〃)(a-b+2b)-2b=c?-b2-2h,

(b-a)0(2a-2b)=(2a-2b)Cb-a+2a-2b)-(b-a)=2(a-b>2-b+a=

2a1+2h2-4ab-h+a,

:.(a-b)?(2b)-[(.b-a)0C2a-2b)]=(a2-tr-2b)-(2^+2層-4ab-b+a)

a2-3tr+4ab-b-a.

【題型3—元一次不等式的整數(shù)解問題】

【例3】（2023春?鹽城期末）已知方程"I一0）=2的解為負(fù)數(shù),求正整數(shù)。的值.

【解題思路】首先解關(guān)于X的不等式求得X的范圍，然后根據(jù)不等式組的解集是負(fù)數(shù),

即可得到一個關(guān)于。的不等式，求得4的范圍.

【解答過程】解：去分母，得：X-（2x-〃）=4,

去括號，得：x-2x+a=4,

移項，得：x-2x=4-a,

合并同類項，得：?x=4?m

系數(shù)化成1得：x=a-4,

根據(jù)題意得：a-4<0,

解得：a<4.

〃的正整數(shù)解為1,2,3.

%—9

【變式3-1］（2023春?房山區(qū)校級月考）工取何正整數(shù)時，代數(shù)式丁+1的值不大于代數(shù)式

【解題思路】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件

的正整數(shù)即可.

【解答過程】解：—+1工燮-1,

解不等式得：％《17,

則不等式的正整數(shù)解為：1，2,3,4、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

17.

【變式3-2］（2023春?房I」區(qū)校級月考）閱讀下列材料.

讓我們規(guī)定一種運算J：1二口/-加，如］=2X5-3X4=-2,再如「：|二4%-

2.按照這種運算規(guī)定，請解答下列問題.

（1）匚;.=3.5（只填結(jié)果）；

（2）若1：+1］的值小于5,求出此時x的正整數(shù)解.（寫出解題過程）

【解題思路】（1）根據(jù)題意列出算式?1X0.5?2X（?2）,計算可得：

（2）根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式，解不等式即可得.

【解答過程】解：⑴原式=-1X0.5-2X（-2）=-0.5+4=35

故答案為：3.5；

（2）根據(jù)題意得4（2r-1）-3（x+1）<5,

8x-4-3x-3<5>

8A-3x<5+4+3,

5xV⑵

x<2.4,

則此時正整數(shù)解為1、2.

【變式3-3］（2023春?岳麓區(qū)校級期中）材料閱讀：

已知m,n為整數(shù)，關(guān)于x的不等式x>m的最小整數(shù)解為x=m+\,關(guān)于y的不等式y(tǒng)<

〃的最大整數(shù)解為1.根據(jù)材料回答以下問題：

已知。，人是整數(shù)，關(guān)于x的不等式公>。-28的最小整數(shù)解為犬=8,關(guān)于），的不等式y(tǒng)

<2a-3b-19的最大整數(shù)解為y=-8.

（1）求。，。的值；

（2）在（1）的條件卜，若|x-a|=a-x,求符合題意的最大整數(shù)x；

（3）在（1）的條件下，求關(guān)于1,），的方程外+工+竽=。的非負(fù)整數(shù)解.

【解題思路】（1）根據(jù)已知得出a?2b=7,2a-3b-19=-7,組成方程組，求出方程

組的解即可：

（2）根據(jù)絕對值和（I）中的〃的值得出3-x20,求出即可；

（3）解方程得到王二神下于是求得符合題意的非負(fù)整數(shù)解即可.

【解答過程】解：（1）???他是整數(shù)，

???。-2氏2。-3〃-19也是整數(shù)，

???關(guān)于x的不等式-2b的最小整數(shù)解為8,關(guān)于y的不等式y(tǒng)<2a-3b-19的最大

整數(shù)解為-8,

：,a-2b=l,2a-3b-19=-7,

解得：a=3,b=-2.

（2）V|x-a\=a-x,

?*.a-“20,

???〃=3,

；?3-BO,

.,.xW3,

符合題意的最大整數(shù)x是3；

（3）??%>+%+孚=0,a=3,b=-2.

.'.xy+x-3=0,

._3

??x-嚴(yán)’

???關(guān)于X,y的方程所計竽=0的非負(fù)整數(shù)解為仁；，

【題型4含有字母的一元一次不等式的解法】

【例4】（2023秋?雙清區(qū)校級月考）已知一元一次不等式〃?x?3>2v+加.

（1）若它的解集是xV旁，求機(jī)的取值范圍；

771-Z

（2）若它的解集是試問：這樣的加是否存在？如果存在，求出它的值；如果不

存在，請說明理由.

【解題思路】（1）求不等式的解集，根據(jù)已知得出關(guān)于/〃的不等式，求出不等式的解

集即可;

m+33

（2）根據(jù)已知和不等式的解集得出一:；=:和求出即可.

771-24

【解答過程】解：⑴mx-3>2x+//b

-2）x>m+3,

???一元一次不等式的解集是xV”I，

m-L

???/〃-2<0,

???〃？的取值范圍是機(jī)V2；

（2）nix-3>2x+m,

(m-2)x>m+3,

??,一元一次不等式的解集是Q1

771+33

???莉二=7且〃?-2>0,

/.tn=-18且m>2,

?..此時m不存在,

故若它的解集是x>l，這樣的團(tuán)不存在.

2x+5

【變式4“】（2023秋?湖州期中）（2023?合肥模擬）若不等式二一-1W2?x的解集中”的

每一個值，都能使關(guān)于x的不等式3（x-1）+5>5/2（W+x）成立，求〃?的取值范圍.

2X+5

【解題思路】求出不等式丁TW2r的解，再求出不等式3G-1）+5>5/2（，^）

的解集，得出關(guān)于加的不等式，求出加即可.

【解答過程】解：解不等式號J1W2-X得：.在:

解關(guān)于x的不等式3(X-1)+5>5x+2(〃?+x),

得叢

2

2X+5

?.?不等式一7一TWZ-x的解集中％的每一個值，都能使關(guān)于x的不等式3（x-1）+5

>5x+2(〃?+x)成立,

1-7714

:.----

25

解得：〃?V—

［變式4-2］（2023春?新余期末）如果關(guān)于x的不等式C2a-b）x+a-5b>0的解集為A<1.

U）請用含。的式子表示a：

（2）求關(guān)于x的不等式卬>/，的解集.

【解題思路】（1）根據(jù)解不等式的一般步驟，可得天等式的解集，根據(jù)不等式的解集,

可得關(guān)于a、b的分式,根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案;

（2）由題意可得。<0,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得不等式的解集.

【解答過程】解：（1）移項，得(2a-b)x>5b-a,

—a

兩邊都除以（2a-b）,得"站E

5b-a

整理得。=26

(2)由題意2〃-8<0,

：.2a<b,

：.2aV，

：.3〃VO,

，aV0,

當(dāng)〃<0時，不等式的解集為X，，即

【變式4-3］（2023春?岳麓區(qū)校級期中）已知〃?，〃為實數(shù)，若不等式（2m-n）x+3m-4n

<0的解集為％>不，求不等式（m-4〃）x+2rn-3n>0的解集.

【解題思路】先根據(jù)已知不等式的解集得出Q轉(zhuǎn)，且2〃…V。，即可得出

4.71-37724

幻=或求出機(jī)在代入求出不等式的解集即可

【解答過程】解：:不等式（2〃L〃）1+3m?4〃〈0的解集為工>小

??.解不等式（2〃L〃）X+3〃L4〃V0得：Q舞舞，且2…〃V0,

4n-3m4

2m-n9’

即〃=孤，2〃?一孤<0,

解得：m<0?〃V0,

■:(m-4〃)x+2ni-3/;>0,

721

:.(m-)x>-2w4--g-w,

5、5

一TZ，

LIIIXAo

x>-上,

即不等式(〃？?4〃)r+2-3〃>0的解集是r>—i.

【題型5含絕對值的一元一次不等式】

【例5】(2023春?匯川區(qū)期末)閱讀:

我們知道，間二匕r。于是要解不等式q30,我們可以分兩種情況去掉絕對值符

號，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的不等式，按上述思路，我們有以下解法:

解:(1)當(dāng)X-320,即工23時：X-3W4

解這個不等式，得：xW7

由條件x23,有：3W.tW7

(2)當(dāng)X-3V0,即工V3時，-(工-3)W4

解這個不等式，得：-1

由條件xV3,有：-1WXV3

???如圖，綜合(1)、(2)原不等式的解為：?1WXW7

根據(jù)以上思想，請?zhí)骄客瓿上铝?個小題：

(1)|x+l|W2；

(2)2|21.

【解題思路】(1)分①工+12(),即工2-I,②x+lVO,即xV-1,兩種情況分別求解

可得；

(2)分①x-220,即x22,②4?2V0,即xV2,兩種情況分別求解可得.

【解答過程】解：(1)|戈+1限2,

①當(dāng)刈420,即-1時：X+1W2,

解這個不等式，得：xWl

由條件-1,有：-1WxW1：

②當(dāng)x+lVO,即x<-1時：-(x+1)<2

解這個不等式，得：X2-3

由條件xV7,有：-3?-1

???綜合①、②，原不等式的解為：?3WxWl.

(2)|x-2|21

①當(dāng)x-220,即x22時：廠221

解這個不等式，得：x?3

由條件x22,有：x23；

②當(dāng)X-2V0,即xV2時：-(x-2)21,

解這個不等式，得：

由條件/<2,有：xWl,

???綜合①、②，原不等式的解為:x23或xWL

【變式5-1](2023春?河西區(qū)期末)已知：mb是整數(shù)，關(guān)于x的不等式x>4?2》的最小

整數(shù)解為8,關(guān)于)，的不等式)V2a?38-19的最大整數(shù)解為?8.

(1)求小力的值;

(2)\x-b\=x-b,\x-a\>a-x,求符合題意的最小整數(shù)x.

【解題思路】(1)根據(jù)已知得出"-2b=7,2a-3b-19=-7,組成方程組，求出方程

組的解即可；

(2)根據(jù)絕對值和(I)中的"的值得出3-xV0,戶220,求出即可.

【解答過程】(1)解：:必是整數(shù)，

???〃-2b、2a-3b-19也是整數(shù),

???關(guān)于x的不等式Q”2〃的最小整數(shù)解為8,關(guān)于)，的不等式)，<2〃-38-19的最大

整數(shù)解為-X,

：.a-2b=l,2a-3b-19=-7,

解得：。=3,b=-2.

(2)解：*.*|x-a\>a-x?|x-b\=x-b,

??a-x<0,x-b20,

Va=3,b=-2,

：.3-x<0,x+220,

???x>3,

符合題意的最小整數(shù)x是4.

【變式5-2](2023?利州區(qū)模擬)已知不等式(m-1)x>(m-1)(m-2)的解是不等式

|k+3|-k-3||>3的解集的一部分,求m的取值范圍.

【解題思路】先根據(jù)不等式|卜+3|-僅-3||>3表示的幾何意義，得出xV-怖或再

分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)m-I>0,即m>1時,x>m-2；當(dāng)/〃-IV0,即〃?V1時，x

V,〃-2,分別求得，"的取值范圍即可.

【解答過程】解:不等式||工+3|?|「3||>3表示的幾何意義為:在數(shù)軸上一點到3和?3

的距離之差的絕對值大于3,

①當(dāng)xW-3或G3時，不等式|僅+3|-Q3||>3成立；

②當(dāng)-3<rW0時，不等式b+3|-|x-3||>3化簡得：k+3+x-3|>3,解得-3VxV-泰

3

③當(dāng)0<x<3時，不等式|卜+3|-卜-3||>3化簡得：|x+3+x-3|>3,解得￡<r<3；

**?A-V—9或X>

當(dāng)m-1>0,即m>1時，x>m-2,

??-2八>23，

解得〃應(yīng);（符合題意）

當(dāng)〃?-1<0>即/??<1時，x<rn-2?

二.iti-2<—于

解得〃（符合題意）.

綜上所述，〃S義或,心左.

【變式5-3]（2023?利州區(qū)模擬）解不等式|x-1|>2,如圖I,在數(shù)軸上找出|x-1|=2的

解，即至lj1的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為?1,3,貝肛「1|>2的解集為xV-1或x>3.

例3：解方程|x-l|+|x+2|=5.由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2

的距離之和為5的點對應(yīng)的x的值.在數(shù)軸上，1和-2的距離為3,滿足方程的x對應(yīng)

的點在1的右邊或?2的左邊.若x對應(yīng)點在1的右邊,由圖2可以看出x=2.同理.

若x對應(yīng)點在-2的左邊，可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3.

?10123-2012

圖1圖2

回答問題：（只需直接寫出答案）

①解方程僅+3|=4

②解不等式3|24

③解方程|x-3|+|x+2|=8.

【解題思路】①根據(jù)題意可■以求得方程|x+3|=4的解；

②根據(jù)題意可以求得不等式田-3|24得解集；

③討論x的不同取值范圍可以求得方程lx-3|+|x+2|=8的解.

【解答過程】解.：①解方程僅+3|=4,容易看出，在數(shù)軸上與-3距離為4的點的對應(yīng)數(shù)

為-7,1,即該方程的解為x=-7或x=l；

②解不等式lx-3|24,

如圖3,在數(shù)軸上找出|x-3|=4的解，即到3的距離為4的點對應(yīng)的數(shù)為-I,7,則以

-3|>4的解集為xW-1或x27.

@\x-3|+|x+2|=8,

當(dāng)xV-2時，

3-X-A-2=8,

解得，x=-3.5；

當(dāng)x=-2時，

|-2-3|+|-2+2|=5^8,

???x=-2不能使得|x-3|+|x+2|=8成立；

當(dāng)?2V%W3時，

3-x+x+2=5#8,

在-2VxW3時,不能使得口-3|+|x+2|=8成立；

當(dāng)x>3時，，

x-3+x+2=8,

解得，x=4.5,；

故田-3|+|x+2|=8的解是x=-3.5或x=4.5.

【題型6一元一次不等式的應(yīng)用】

【例6】（2023?江西模擬）某學(xué)校為獎勵學(xué)生分兩次購買人，8兩種品牌的圓珠筆，兩次的

購買情況如下表：

第一次第二次

A品牌圓珠筆/支2030

B品牌圓珠筆/支3040

總計采購款/元102144

（1）問4,B兩種品牌圓珠筆的購買單價各是多少元？

（2）由于獎勵人數(shù)增加，學(xué)校決定第三次購買，且購買8品牌圓珠筆支數(shù)比A品牌圓珠

筆支數(shù)的1.5倍多5支，在采購總價不超過213元的情況下，最多能購進(jìn)多少支人品牌

圓珠筆？

【解題思路】（1）設(shè)A種品牌圓珠筆的購買單價為二元，8種品牌圓珠筆的購買單價為

y元，根據(jù)總價=單價X數(shù)量結(jié)合前兩次購買情況表，可得出關(guān)于x,y的二元一次方程

組，解之即可得出結(jié)論;

（2）設(shè)購進(jìn)機(jī)支A品牌圓珠筆，根據(jù)“在采購總價不超過213元的情況下”，列不等

式，于是得到結(jié)論.

【解答過程】解：（1）設(shè)4種品牌圓珠筆的購買單價為x元，8種品牌圓珠筆的購買單

價為y元,

20%+30y=102

依題意，得:

30x+40y=144'

x=2.4

解得:

y=18

答：A種品牌圓珠筆的購買單價為2.4元，B種品牌圓珠筆的購買單價為1.8元;

（2）設(shè)購進(jìn)〃?支A品牌圓珠筆,

根據(jù)題意得，2.4m+1.8（l.5m+5）W213,

解得：mW40,

答：最多能購進(jìn)40支A品牌圓珠筆.

【變式61］（2023春?博興縣期末）如圖，某工廠與A、△兩地有公路、鐵路相連.這家工

廠近期從A地購