北京高中數(shù)學知識應用競賽初賽試題及參考答案

北京高中數(shù)學知識應用競賽初賽

試題及參考答案

一、窗戶造型（滿分15分）

《中學生數(shù)學》雜志200。年第一期的封面是一幅歐洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。建

筑物上有一個窗戶的造型如下圖所示。圖中弧AB和弧AC分別是以C和B為圓心BC長為半徑的圓弧.

?！?、?！?和?！?兩兩相切，并且?！?、。仇與弧AB相切，?！恪?、。牡與弧然相切，

?！?、。°?的半徑相等.如果使。4、。03充分大，記BC的長度為a,請你計算出。°】的半

徑，并給出這個圓的作法.

二、買房貸款（滿分20分）

根據(jù)中國人民銀行頒布的《個人住房貸款管理辦法》（第十一條）“借款人應和貸款銀行制定還

本付息計劃，貸款期限在一年以上的，按月歸還貸款本息”的規(guī)定，為方便貸款銀行操作和選擇，

中國人民銀行具體規(guī)定了個人住房貸款的兩種按月還本付息的辦法，允許借款人和貸款銀行在雙方

商議的基礎上做出選擇.

第一種辦法是等額本息還款法，其還款方式已經在1399年第三屆北京高中教學知識應用競費初獲

試題的第3題中作了介紹，并要求給出月均還款頷、還款總額和利息負擔總和的計算公式.按照這

些公式不難算出，一個人如果從銀行得到買房貸款40萬元，計劃20年還清貸款，按規(guī)定貸款的年利

率應為5.58%（折合月利率4.65%。）,這時貸款人的月均還款額應為0.27696萬元，還款總額為

66.4717萬元，利息負擔總和為26.4717萬元.

第二種辦法是等額本金還款法（又叫等本不等息還款法），指在貸款期間內，每月除了要還清當

月貸款的利息外，還要以相等的額度償還貸款的本金.這樣一來，每月償還的貸款的利息將隨本金

的減少而逐月遞減.因此稱之為等本不等息還款法,如果這個貸款人選擇了等額本金還款法在20年

內償還他所借的40萬元貸款，他只需要借還本息總合62.413萬元，其中利息負擔的總合為22.413萬

元，比前一種還款方法少支付利息4.0587萬元，節(jié)省了15.33%的利息.

請你給出等額本金還款法的每月還款額、還款總額和利息負擔總和的計算公式，使用這些公式計

算貸款初期的前三個月的每月還款頷，并進一步分析貸款人還款多少個月之后他每個月的還款負擔

將低干等額本息還款法的還款負擔.

三、環(huán)保規(guī)劃（滿分15分）

某工廠的一個車間生產某種產品，其成本為每公斤27元，售價為每公斤50元.在生產產品的同

時，每公斤產品產生出0.3立方米的污水.污水有兩矛樹F放方式：其一是輸送到污水處理廠，經處理

（假設污水處理率為85%）后排入河流；其二是直接排入河流。若污水處理廠每小時最大處理能力是

0.9立方米污水，處理成本是每立方米污水5元；環(huán)保部門對排入河流的污水收費標準是每立方米污

水17.6元，根據(jù)環(huán)保要求該車間每小時最多允許排入河流中的污水是0.225立方米.試問：該車間應

選擇怎樣的生產與排污方案，使其凈收益最大.

四、估算人口（滿分15分）

請你搜集有關的數(shù)據(jù)，估算一下我國2000年18歲的人口數(shù).

五、隼的分類（滿分15分）

燕隼（sun）和紅隼是同屬千隼形目隼科的鳥類.它們的體形大小如鴿，形略似燕，身體的形態(tài)

特征比較相似.紅隼的體形比燕隼略大.通過抽樣測量已知燕隼的平均體長約為31厘米，平均翅長約

為27厘米；紅隼的平均體長約為35厘米，平均翅長約為25厘米。近日在某地發(fā)現(xiàn)了兩只形似燕隼的紅

隼的鳥。經測量，知道這兩只鳥的體長和翅長分別為A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，

26.9厘米）。你能否設計出一種近似的方法，利用這些數(shù)據(jù)判斷這兩只鳥是燕隼還是紅隼？

六、女子舉重（滿分20分）

2UUU年悉尼奧運會上第一次列入文千舉重的項目，各級別冠軍的成績如下:

級別運動員國籍體重抓舉挺舉總成績

48kg震拉諾娃保加利亞47.48kg82.5kg102.5kg185kg

53kg楊霞中國52.46kg100kg125kg225kg

58kg門丁維爾墨西哥56.92kg95kg127.5kg222.5kg

63kg陳曉敏中國62.82kg112.5kg130kg242.5kg

69kg李偉寧中國66.74kg110kg132kg242kg

75kg鳥魯?shù)賮喐鐐惐葋?3.28kg11Okg135kg245kg

>75kg丁美援中國103.56kg135kg165kg300kg

試利用這些數(shù)據(jù)組建模型，描述運動員舉重的總成績對運動員體重的依賴關系。根據(jù)模型分析

哪些級別上運動員舉重的總成績還有較大的提高潛力。

參考答案:

一、解說。。I、相切干點E,O。］、?Q相切干點F,。劣、oG相切干點D，。。1、

與強AB相切千點G。顯然，點F在°l03,點G在C°i的延長線上，且°1D_LBC,易知和。Q

的半徑為a/4。如果?！?的半徑為心則有C。1=。-仁8=微,。］。3=r+￡,由此可得

22

CO：-CD=OQ；-O3D

即一章解得r=0.3a.

。°】的半徑為r=0.3a,它的圓心?！渴且浴?為圓心，0.55a為半徑的圓與BC的中垂線的交點。

二、解設貸款（本金）為N，貸款期限為n（月），月利率為G,則根據(jù)題意，每月償還的本金頷

應為A=—

n

如果規(guī)定從貸款的第二個月開始千每個月的月初傳還上個月所余的本金的利息及部分本金，貝|第

^-1

k月的月底貸款人尚欠銀行的貸款頷：Ck=（1-——）從峰=1,2,..?人第1<+1月的月初所償還的第

n

k個月的欠款的利息為：Dk=Ckrx，k=b2,...n.

第k+1月的月初的還款總額為：8k1=少穴+<，k=1,2,...n.

整個賃款期間利息的負擔總額為：

D=+D+,'D

DY2?x=[1+（1-―）+（1-—）+,,1+（1---^]明

nnn

12n-L,,?+1.

=r[?_（z_+_+,,?+——）]叱r=r

nnn2

還款總額為：B=D+N?

對千上述實例我們有

N=40（萬元）,n=240（月）,=4.654.65%。，A=——=0.16667（萬元/月）

D=22.413（萬元），B=62.413（萬元）。

與題中給出的結果一致。

還可以得得_

口1=0.186（萬元），D2=0.1852（萬元），口3=01845（萬元）；

B2=0.35267（萬元），B3=0.35187（萬元），&=0.35117（TJ7L）.

由于定額本息還款法的月均還款額為a=0.27696（萬元），欲使定額本金還款法的月還款負擔低

干上述月均還款額，則它應滿足Dx+A<a.

k-\NN

-

（1----）%+—<4，即要求上—I>[1-（。——）/Nrn]n

力力/。

將a,N,n和G的數(shù)值代入止式，可以得到k-1>97.69由此可知,從第99個月開始,即

從第九年的第三個月開始定額本金還款法的每月還款負擔就開始低千定額本息還款法。

三、解設該車間凈收入為每小時車間污水產生量為0.3再；污水處理廠污水處理量0.3應一勺；

經污水處理廠處理后的污水排放量（l-0.85）（0.3%-今）；車間產品成本27片；車間生產

收入50勺；車間應交納排污費用17.6［（1-0.85）（0.3再-無2）+叼］；車間交納的污水

處理費為5（0.3XJ-x2）,這樣車間每小時凈收入為:

z=50/-27--5（0.3々-町）77.6［0.15（0.3勺-勺）+町］

=20.708占-9.96%

由于污水處理廠的最大處理能力，有0.3為-x2<19；根據(jù)允許排入河流的最大污水量的限制，

有。-0.85）0.3^-x2<0.225.輸送給污水處理廠的污水量應滿足。3再-叼20.

綜上所述，這個環(huán)保問題可歸納為以下數(shù)學模型：

maxz=20708汗1-9.96叼

0.3々-孫<09

9^+170x2<45

約束條件

0.3々一町20

和泡20

下面用圖解法來角這個線性規(guī)劃問題:

（1）畫出可行域（圖中四邊形OABC）；

（2）求最優(yōu)解；從圖中可以看出直線

33009

z=20.708彳1-9.96M在兩條直線

0.3再-0=09和9玉+170町=45的交點上達到極大值。求出交點坐標（3.3,0.09）：即

當人］-3.3,0-0.09時,z取得最人值，最大值為67.44.

四、解要估算2000年18歲的人口數(shù).由于2000年的統(tǒng)計資料我們還不能按集到，我們根據(jù)以往的

統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行推算.即根據(jù)2Q00年以前，如1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的數(shù)據(jù)正行推

算。

這里給出兩種估算方法.一種是用年總人口數(shù)除以平均壽命，再根據(jù)人口分布情況進行調節(jié)，從而

推算出18歲的人口數(shù)。

另一種我們以1998年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)為依據(jù)，即根據(jù)1998年16歲的人口數(shù)來估算2000年18歲的

人口數(shù).1998年中國人口統(tǒng)計年鑒中全國分年齡、性別的人口數(shù)表顯示：1998年全國16歲人口總數(shù)為

22010千人.全國分年齡、性別的死亡人口狀況表顯示：1998年16歲到17歲、17歲到18歲人口的死亡

率分別為1.21%,1.16%。

假設每年的死亡率是個常數(shù)，則我們可以做如下的估算：

1999年17歲的人口數(shù)等于1998年16歲的人口數(shù)減去這些人成長到17歲的過程中死亡的人數(shù).這

些死亡人數(shù)由1998年16歲的人口數(shù)乘以17歲的死亡率得到.

即22010-22010X1.21%=21983（千人）.

2000年18歲的人口數(shù)等于1999年17歲的人口數(shù)減去這些人成長到18歲的過程中死亡的人數(shù)。這

些死亡人數(shù)由1999年17歲的人口數(shù)乘以18歲的死亡率得到.

即21983-21983X1.16%。=21957（千人）.

2000年18歲的人口數(shù)為21957千人.

注：從不同的資料中收集到的數(shù)據(jù)差異可能很大.只要說清楚資料的來源，并且數(shù)據(jù)處理方式合理,

就可以認為答案正確，得滿分.如果自己假設一些數(shù)據(jù)作為資料來源，最多給5分：若僅是數(shù)據(jù)處理方式

不當，可以給7分。

五、解法一把（31,27）,（35,25）,（32.65,25.2）,（31.4,26.9）看作平面直

角坐標系中的點.可以通過這兩只鳥體長和翅長所確定的點與燕隼和紅隼的平均體長和平均翅長所確

定的點之間的距離的大小來判斷他們應歸屬千那一類.設燕隼的平均體長為々，平均翅長為hi.紅

隼的平均體長為叼，平均超長為丁2.待判鳥的體長x,翅長為y,則它與燕隼和紅隼的距離分別為

2=.（._句）2+。“）2

由此可得判別規(guī)則：若01>”2則判此鳥為紅隼，、>“1則判此鳥為燕隼,“1則表明僅

用這些數(shù)據(jù)無法給出明確的判斷。

在問題中有々=31,71=27,x2=35,g=25.還有以=32.65,〃=25.2,&=33.4,力=26.9

由上面的模型可以得到如下的分析結果：______

與=1（4一々）2+3月一乃）2=7^9625=2.44,

"J（"一出"+3/一為尸=7^625=2.36

3切=反5+3「乃產=衍=2.40,

口町=/（4-孫尸+乂-%）2=A/647=2.48

由干22<0⑷可知鳥A是紅隼，,式>4?可知鳥B是紅隼。

22

（由于”等價千n<%,計算中可以不用開方）。

T

解法二用體長與翅長的比，1=一（體翅比）來進行判別。

y

不難算出，對千燕隼來說有d=&,對干紅隼A=紅，而對千鳥謝馬B分別有

必當

'廠共和人=藍。干是可以算出司=1?148J=140,『1.2964=1.242.

由千I4-a1=0,148>0.104=|4-小P故鳥A為紅隼。

由千I叢-41=0,094<0.158=|4一I'故鳥B為燕隼。

六、解假設運動員舉重的總成績y與她們的體重x呈線性依賴關系產a+bx。因此數(shù)據(jù)表中關于

體重為和總成績X的七組數(shù)據(jù)將有關系必=。+8個+￡,，i=l,2,?..7,其中4表示觀測數(shù)據(jù)

與模型的誤差。使用最小二乘法給出直線的參數(shù)融b的估計值，也就是求參數(shù)的b,使得觀測值

和模型之間誤差的平方和達到最小。經計算可以得到P120.91,b=1.76。由此得到運動員體重和

舉重總成績的模型為y=120.91+1.76x（1）

將七個運動員的體重代入模型（1），可以得到她們舉重成績的模型值。與她們的實際舉重總成

績比較如下：

級別48kg53kg58kg63kg69kg75kg>75kg

體重47.48kg52.46kg56.92kg66.74kg73.28kg73.28kg103.56kg

185.00kg225.00kg222.50kg242.00kg245.00kg245.00kg300.00kg

慢型（1）成204.50kg213.30kg221.10kg238.40kg249.90kg249.90kg303.20kg

績

從擬合效果上看有四個級別較好，一個級別較差；48公斤級別的運動員沒能取得理想的成績，

使用這個數(shù)據(jù)參與建模將會增加誤差，降低模型的可信程度。去掉這組數(shù)據(jù)，使用其余的六組數(shù)

據(jù)來估計模型的參數(shù)痢b。類似的計算可得a=141.8,b=1.51,于是得到修正的模型為

y=141.8+1.51x（