同步練習(xí)：雙曲線2

1/12.2雙曲線一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.雙曲線的焦距為（）A.3 B.4 C.3 D.42.“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.5.與曲線共焦點(diǎn)，而與曲線共漸近線的雙曲線方程為（） A.B.C.D.6.已知雙曲線（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y=kx(k＞0),離心率e=,則雙曲線方程為（）A.－=1 B.C. D.7.如果雙曲線上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是（）A. B. C. D.8.雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.9.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為的右支上一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A.B.C.D.10.連接雙曲線與的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S1，連接它們的的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S2，則S1：S2的最大值是（）A.2 B.1 C. D.11.設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.12.為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13.若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是.14.已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為.15.過雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_______.16.方程所表示的曲線為C，有下列命題：①若曲線C為橢圓，則；②若曲線C為雙曲線，則或；③曲線C不可能為圓；④若曲線C表示焦點(diǎn)在上的雙曲線，則.以上命題正確的是.（填上所有正確命題的序號(hào)）三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本題滿分12分）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M（），且以直線x=1為右準(zhǔn)線.（1）如果F（3，0）為此雙曲線的右焦點(diǎn)，求雙曲線方程；（2）如果離心率e=2，求雙曲線方程.18.（本題滿分12分）設(shè)雙曲線的方程為，A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線上的任一點(diǎn)，引，AQ與BQ相交于點(diǎn)Q.（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.19.（本小題滿分12分）如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點(diǎn)，，曲線是滿足為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，且曲線過點(diǎn).（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、.若△的面積等于，求直線的方程.20.（本小題滿分12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn).已知成等差數(shù)列，且與同向.（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程.OFxyPM第21題圖H21.（本題滿分12分）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn).P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)OFxyPM第21題圖H（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程.22.（本小題滿分14分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.（I）證明為常數(shù)；（II）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.D解：由雙曲線方程得，于是，故選D.2.A解：“雙曲線的方程為”“雙曲線的準(zhǔn)線方程為”但是“準(zhǔn)線方程為”“雙曲線的方程”，反例：.故選A.3.D解：取頂點(diǎn),一條漸近線為故選D.4.B解：如圖在中，，，故選B.5.A解：由雙曲線與曲線共焦點(diǎn)知焦點(diǎn)在軸上，可排除B、D，與曲線共漸近線可排除C，故選A.6.C解：，所以，故選C.7.A解：由點(diǎn)到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2知在雙曲線右支上.又由雙曲線的第二定義知點(diǎn)到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是，故點(diǎn)到軸的距離是.選A.8.C解：而雙曲線的離心率故選C.9.C解法一：∵雙曲線中∴∵∴作邊上的高，則∴∴的面積為故選C.解法二：∵雙曲線中∴設(shè)，則由得又∵為的右支上一點(diǎn)∴∴∴即解得或（舍去）∴∴的面積為故選C.10.C，∴，故選C.11.A解：對(duì)于橢圓，，曲線為雙曲線，，標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選A.12.B解：設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（－5，0）與F2（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線以及P與N、F2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9，故選B.二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13解：.14.解：如圖由題設(shè)，，所以雙曲線方程為15.解：雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)一條漸近線方程為，建立方程組，得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而.16.②④解：若曲線C為橢圓，則，∴①錯(cuò)誤；若曲線C為雙曲線，則，∴②正確；當(dāng)時(shí)曲線C方程為，表示圓，∴③錯(cuò)誤；若曲線C表示焦點(diǎn)在上的雙曲線，則，∴④正確.三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.解：（1）設(shè)P（x，y）為所求曲線上任意一點(diǎn)，由雙曲線定義得=化簡(jiǎn)整理得（2）因此，不妨設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)M（）在雙曲線上，所以，得，BPOBPOAQ18.解：（1）設(shè)∵∴，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得：，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)不合題意，∴點(diǎn)Q的軌跡方程為（2）由（1）得的方程為，，∵，∴，∴.19.解：（Ⅰ）解法1：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，依題意得∴曲線是以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則，，∴曲線的方程為.解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得.∴曲線是以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0）.則由解得,∴曲線C的方程為(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，得.∵直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn),∴∴.設(shè)，則由①式得于是=而原點(diǎn)到直線的距離,∴若，即解得,滿足②.故滿足條件的直線有兩條，其方程分別為和解法2：依題意，可設(shè)直線的方程為,代入雙曲線C的方程并整理，得. ①∵直線與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)，∴∴ ②設(shè)，則由①式得. ③當(dāng)在同一支上時(shí)（如圖1所示），；當(dāng)在不同支上時(shí)（如圖2所示），綜上得，于是由及③式，得.若，即,解得,滿足②.故滿足條件的直線有兩條，方程分別為和20.解：（Ⅰ）設(shè)，，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,則離心率.（Ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立將，代入，化簡(jiǎn)有將數(shù)值代入，有,解得故所求的雙曲線方程為.21.解：∵四邊形是平行四邊形，∴，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求.22.解：由條件知，設(shè)，.（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，此時(shí).當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是.代入，有.則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，于是.綜上所述，為常數(shù).（II）解法一：設(shè)，則，，，，由得：