【蒙特卡羅方法的基本思想、過程及應(yīng)用領(lǐng)域分析】4800字

蒙特卡羅方法的基本思想、過程及應(yīng)用領(lǐng)域分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u23102蒙特卡羅方法的基本思想、過程及應(yīng)用領(lǐng)域分析綜述 1281741.1蒙特卡羅方法概述 28291.1.1歷史起源 2269461.1.2蒙特卡羅方法的基本思想 2164261.1.3蒙特卡羅方法的過程 3295631.2蒙特卡羅方法的發(fā)展運(yùn)用 5308781.2.1蒙特卡羅的發(fā)展 5303031.2.2蒙特卡羅方法的優(yōu)點 5220981.2.3蒙特卡羅方法的缺點 5268191.2.4蒙特卡羅的應(yīng)用領(lǐng)域 583811.3常見的幾種隨機(jī)變量抽樣 6226171.3.1隨機(jī)數(shù)生成 6190951.3.2危險有機(jī)變量的抽樣 616792(1)直接采樣法 626771(2)逆函數(shù)變換方法 612314(3)舍選法 717102(4)普通隨機(jī)數(shù)的Box-Muller算法 7130021.4幾種常用的蒙特卡羅仿真軟件 8324471.4.1MCNP系列 8190901.4.2EGS4矛盾 1035091.4.3GEANT4程序包 10蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計模擬方法或統(tǒng)計檢驗方法。這種方法是一種基于現(xiàn)象的數(shù)字仿真方法，如果采用樣本法下的統(tǒng)計值。1940年，蒙特卡羅提出了美國數(shù)學(xué)烏拉姆和美國麥克爾數(shù)學(xué)馮諾依曼研究核武器提出的方法。該方法通過以賭場蒙特卡羅命名的方式來顯示其隨機(jī)采樣的特點。蒙特卡羅方法隨機(jī)采樣的特點導(dǎo)致其適用于離散系統(tǒng)的仿真實驗。在利用計算機(jī)對蒙特卡羅方法進(jìn)行仿真過程中，主要在構(gòu)造與系統(tǒng)性能相似概率模型的基礎(chǔ)上，通過隨機(jī)試驗來對系統(tǒng)隨機(jī)性的特點進(jìn)行模擬。蒙特卡羅方法在設(shè)備能效評估中地位舉足輕重，因為它可以描述設(shè)備運(yùn)行的很多隨機(jī)現(xiàn)象，所以蒙特卡羅方法能夠很好的解決分析方法無法解決的問題?；舅枷?為了解決一些沒有辦法用分析方法解決的難題。第一步：建立一個參數(shù)或數(shù)值和問題的解一樣的隨機(jī)模型；第二步：通過觀察采樣實驗的數(shù)值特性或者觀察模型解出參數(shù)；第三步：估算的誤差可以用來表示解決方法的準(zhǔn)確率，最后得到待解決問題的近似解。下面詳細(xì)介紹了用蒙特卡羅方法解決實際問題的基本步驟:第一步：構(gòu)造的模型需要跟原問題契合度高且簡單；第二步：為模型中分布不同的各種隨機(jī)變量提供抽樣方法；第三步：處理模擬結(jié)果，估計統(tǒng)計結(jié)果和估計準(zhǔn)確性。1.1蒙特卡羅方法概述蒙特卡羅方法是一種概率統(tǒng)計方法，起源于20世紀(jì)40年代，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步以及計算機(jī)的出現(xiàn)，蒙特卡羅方法得到了飛速的發(fā)展。作為一種重要的隨機(jī)算法，解決問題的方法是使用（偽）隨機(jī)數(shù)在計算機(jī)中模擬計算。確定性算法與其相似。最開始人們進(jìn)行核武器實驗時，慢慢的發(fā)現(xiàn)了這種獨立計算方法，并進(jìn)行使用。與其它方法相比，蒙特卡羅方法主要基于概率學(xué)和統(tǒng)計理論。1.1.1歷史起源蒙特卡洛方法最初由1940年代第二次世界大戰(zhàn)中的曼哈頓計劃成員SMUlam和J.vonNeumann所提出。1777年,法國布馮(Buffon)提出了可以使用擲針實驗的方法來嘗試考慮速度П,這些一直被認(rèn)為是蒙特卡洛方法的起源。1.1.2蒙特卡羅方法的基本思想20世紀(jì)40年代中期,科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步以及計算機(jī)的發(fā)明使得蒙特卡羅方法作為一種獨立的方法被提出，隨后被用于核武器的研究實驗中。蒙特卡羅方法的基本思想并非首次提出，人們已經(jīng)在生產(chǎn)實踐以及科學(xué)實驗中進(jìn)行了一定程度的運(yùn)用。在問題求解的過程中，當(dāng)問題的解為事件發(fā)生概率、隨機(jī)變量的期望或者與概率期望相關(guān)的變量時，利用實驗的方法即可確定該事件發(fā)生的概率或者變量期望值，從而獲得問題的解。這是蒙特卡羅的基本思想。當(dāng)隨機(jī)變量取值為0或1時，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表示事件發(fā)生的概率。因此，蒙特卡羅方法通過隨機(jī)事件進(jìn)行積分計算，即積分常數(shù)服從分布密度函數(shù)QUOTEf(r)f(r)的隨機(jī)變量QUOTEg(r)g(r)的數(shù)學(xué)期望。(2-1)這種方法基于某種隨機(jī)實驗,獲得了與N個觀測值。然后利用概率從分布密度函數(shù)QUOTEf(r)f(r)以及Ⅳ個隨機(jī)變量QUOTEg(r1)g(r1)、QUOTEg(r2)g(r2)(2-2)為了獲得具有一定精度的近似解,需要進(jìn)行大量的實驗,并且通過手工方法進(jìn)行大量的實驗非常困難甚至不可能。因此,盡管蒙特卡洛方法的基本思想已經(jīng)提出了很長時間,但是自1940年代以來,由于電子計算機(jī)的出現(xiàn),人們可以通過電子計算機(jī)模擬隨機(jī)實驗的過程并進(jìn)行大量的隨機(jī)實驗到電腦。因此,蒙特卡洛方法可以被廣泛使用,其應(yīng)用應(yīng)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮作用。1.1.3蒙特卡羅方法的過程(1)構(gòu)造或描述概率過程隨機(jī)性問題的關(guān)鍵是正確描述和模擬概率過程。當(dāng)隨機(jī)性問題最初不是確定性問題時，必須構(gòu)造一個人工概率過程，需要把肺隨機(jī)問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)問題進(jìn)行解決。(2)從已知的概率分布中采樣在建立的概率模型中，所建立的概率模型可認(rèn)為是概率分布，生成概率分布的的隨機(jī)變量是實現(xiàn)MonteCarlo模擬的基本實驗方法。由于這個特點，蒙特卡羅方法也被稱為隨機(jī)抽樣。常用的最基本最重要的概率分布是(0,1)區(qū)域內(nèi)的均勻分布，具有這種均勻分布的隨機(jī)變量叫做隨機(jī)數(shù)，具有這種分布的總體簡單子樣本叫做隨機(jī)數(shù)序列，從這個分布中抽樣問題叫做隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生問題。在電子計算機(jī)中，基于物理方法生產(chǎn)隨機(jī)數(shù)成本很高，且該方法無法進(jìn)行重復(fù)使用?；跀?shù)學(xué)遞歸公式的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法所生產(chǎn)的序列與實際隨機(jī)數(shù)序列存在差異，因此被稱為偽隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)數(shù)序列，但各種統(tǒng)計檢驗表明基于數(shù)學(xué)遞歸公式的產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)與真實的隨機(jī)序列性質(zhì)相似，可以用作真實的隨機(jī)數(shù)。現(xiàn)有多種方法從已知分布中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，與(0，1)上的均勻分布采樣不同，多數(shù)方法通過隨機(jī)序列產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，即前提是生成隨機(jī)數(shù)，因此，進(jìn)行MonteCarlo模擬時需要能夠產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。(3)建立各種估計當(dāng)完成概率模型的建立以及抽樣后，即完成模擬實驗后，必須確定隨機(jī)變量作為問題的解，也稱為無偏估計。各種估算器的建立等雨對模擬實驗的結(jié)果進(jìn)行調(diào)查和登記，從而得到解決方案。數(shù)學(xué)應(yīng)用程序:蒙特卡羅法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來實現(xiàn)各種問題的求解，當(dāng)數(shù)值解問題太復(fù)雜導(dǎo)致無法獲得解析解或者根本沒有解析解時，蒙特卡羅方法能夠很好的解決問題。在數(shù)學(xué)應(yīng)用中，最常用的是蒙特卡羅積分。1.2蒙特卡羅方法的發(fā)展運(yùn)用1.2.1蒙特卡羅的發(fā)展理論上,蒙特卡羅方法是基于大量實驗基礎(chǔ)上的。直到20世紀(jì)初,盡管實驗次數(shù)已達(dá)數(shù)千次，但用蒙特卡羅方法得到的轉(zhuǎn)化率π準(zhǔn)確率還是沒有祖沖之第五次計算的準(zhǔn)確性高。這可能是蒙特卡羅方法長期未得到推廣的主要因素。原始蒙特卡了方法中的實驗過程雖然費(fèi)時費(fèi)力，但是可以對許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解或者進(jìn)行項目管理，隨著蒙特卡羅方法的發(fā)展，目前已不需要進(jìn)行人工實驗或者利用計算機(jī)進(jìn)行高速操作。1.2.2蒙特卡羅方法的優(yōu)點借助計算機(jī)技術(shù),蒙特卡羅方法取得了兩個主要優(yōu)點:1.簡單,沒有復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算過程,所以普通人都能理解掌握2.非?？?。蒙特卡羅方法在項目管理領(lǐng)域的應(yīng)用技術(shù)基礎(chǔ)簡單、快速。1.2.3蒙特卡羅方法的缺點1.收斂速度慢2.誤差具有概率性3.當(dāng)進(jìn)行粒子輸運(yùn)問題求解時，系統(tǒng)大小對計算結(jié)果有直接影響。1.2.4蒙特卡羅的應(yīng)用領(lǐng)域蒙特卡羅方法由于具有簡單性、適用的特點，被廣泛應(yīng)用于計算數(shù)學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、計算物理（如核工程與核技術(shù)、粒子遷移計算）等領(lǐng)域。1.3常見的幾種隨機(jī)變量抽樣隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法主要包括物理法和數(shù)學(xué)方法兩種。利用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)雖然沒有重復(fù)性，但對程序和模擬的正確性進(jìn)行檢查時較為困難。數(shù)學(xué)方法生成快速,計算簡單,重復(fù)性好，便于數(shù)學(xué)分析等優(yōu)點，得到了廣泛的應(yīng)用。1.3.1隨機(jī)數(shù)生成一般來說，現(xiàn)在計算機(jī)上產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。以這種方式生成的隨機(jī)數(shù)替換是在數(shù)學(xué)上生成的。當(dāng)選擇正確計算方法，通過對隨機(jī)數(shù)序列進(jìn)行統(tǒng)計檢驗即可作為“實數(shù)”隨機(jī)數(shù)進(jìn)行使用。偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要包括平方法、同余法、混合同余法以及雙隨機(jī)平均法等多種。最簡單的方法是平方法,最常用的是同余法,混合同余法和雙隨機(jī)平均法。1.3.2危險有機(jī)變量的抽樣它是在已知[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)的假設(shè)下執(zhí)行的。主要目的是為某些分布類別和重要分布設(shè)計更好的采樣方法。下面還列出了幾種常用的方法(1)直接采樣法任意給定的分布函數(shù)QUOTEF(x)F(x)的一般直接抽樣形式如下:(3-1)其中QUOTEr1,…,rnr1,…,rn為一個隨機(jī)數(shù)序列。QUOTEXn(2)逆函數(shù)變換方法是一個隨機(jī)變量,并且其分布均勻地分布在[0,1]上。因此,存在一種使用給定分布函數(shù)生成非均勻隨機(jī)變量x的算法:(3-2)上式中，QUOTEU[0,1]U[0,1]表示0到1區(qū)間內(nèi)的均勻分布,QUOTEFF和QUOTEF-1F-1互為反函數(shù)。逆函數(shù)變換方法僅適用于連續(xù)函數(shù)，分連續(xù)分布的函數(shù)沒有快速算法，且對于常見的正態(tài)分布等分布函數(shù)，沒有解析表達(dá)式。(3)舍選法假設(shè)QUOTEf(.)f(.)表示隨機(jī)變量QUOTExx的密度函數(shù),利用密度函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)對隨機(jī)數(shù)生成尤為關(guān)鍵。隨機(jī)數(shù)生成過程如下:（A）存在函數(shù)滿足以下條件:(3-3)也是密度函數(shù),容易生成密度為的隨機(jī)變量y。（B）生成隨機(jī)變量y?和隨機(jī)數(shù)r?U[0,1]。（C）如果M(y)r<f(y),則x=y,否則轉(zhuǎn)到(b)（D）輸出x,且x的密度為f(-)。滿足(1)的函數(shù)稱為該函數(shù)的上級函數(shù)。您無需附加任何條件即可輕松找到最佳功能。(4)普通隨機(jī)數(shù)的Box-Muller算法在統(tǒng)計學(xué)中，利用Box-Muller算法即可生成正態(tài)隨機(jī)數(shù)以及多元正態(tài)隨機(jī)向量。具體過程如下：產(chǎn)生足夠獨立的隨機(jī)數(shù)；令，輸出然后,X1和X2服從N(O,1)分布,并且彼此獨立。這等效于說我們使用兩個獨立的U(O,1)隨機(jī)數(shù)來獲得兩個獨立的N(O,1)隨機(jī)數(shù)。Box-Muller算法計算過程中三角函數(shù)的運(yùn)算對隨機(jī)數(shù)的生成速度產(chǎn)生了極大的影響。1964年，Marsaglia和Bray為了提高隨機(jī)數(shù)的生成速度，提出了一種不使用三角函數(shù)的改進(jìn)Box-Muller算法。1.4幾種常用的蒙特卡羅仿真軟件1.4.1MCNP系列蒙特卡羅中子-光子傳輸代碼（MonteCarloNeutronandPhotoTransportCode，簡稱：MCNP），是由LosAlamos美國國家實驗室MonteCarlo小組開發(fā)而成，MCNP是一種基于蒙特卡羅方法的多功能粒子輸運(yùn)程序。從20世紀(jì)70年代到現(xiàn)在，MCNP已經(jīng)發(fā)展了十個多版本，有效的解決了核能領(lǐng)域需要關(guān)鍵問題。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，MCNP目前能夠兼容Windows、UNIX、LINUX等操作系統(tǒng)。最新MCNP已更新至51.30，主要功能如下：（1）非電子相的形成。MCNP-5在指定網(wǎng)格中通過使用多個點探測器即可確定某個像素區(qū)域內(nèi)的粒子流。在此過程中，為了使圖像更加平滑，用戶所設(shè)置的檢測點需要盡可能多。（2）隨機(jī)幾何能力?？梢詫崿F(xiàn)顆粒燃料或石墨基體中燃料芯隨機(jī)位置的分析。（3）實現(xiàn)對復(fù)雜三維幾何系統(tǒng)輸運(yùn)問題的處理。幾何界面包括平面、二階曲面以及四階橢球。（4）粒子輸運(yùn)的方式可以是中子-光子-電子聯(lián)合輸運(yùn)、電子輸運(yùn)、中子輸運(yùn)、中子-光子聯(lián)合輸運(yùn)、光子-電子聯(lián)合輸運(yùn)、光子輸運(yùn)、電子-光子聯(lián)合輸運(yùn)和。可實現(xiàn)一般輸運(yùn)方程及多群共軛輸運(yùn)方程的求解。（5）用于計算穿透問題和臨界特征值問題。在臨界特征值計算過程中，當(dāng)給出KEFF、期望壽命和生存時間時，可實現(xiàn)對介質(zhì)組成、密度和截面等各種計數(shù)數(shù)據(jù)的一階和二階微擾量的計算。（6）截面數(shù)據(jù)實現(xiàn)了常用核素和同位素、點截面或多群截面的覆蓋。中子能量范圍為QUOTE10E-11～20MeV10E-11～20MeV，光子和電子能量范圍為QUOTE0.001～（7）實現(xiàn)對點/界面通量、顆粒流、幾何上的通量和能量沉積等物理量的計算。給出了粒子流的譜（分布）和空間、時間、能量的聯(lián)合分布，增加了粒子流的角分布。此外，還對脈沖高度譜進(jìn)行計算，并給出結(jié)果的統(tǒng)計誤差。（8）可選用多種降低方差方法。（9）能實現(xiàn)良好的圖形輸出?？蓪崿F(xiàn)粒子軌跡、二維/三維曲面的制作，以及通過批處理命令計算，最多可實現(xiàn)64種顏色的繪制。（10）它可以在串行和并行環(huán)境中運(yùn)行此外，由于部分應(yīng)用具有特殊要求，MCNP還包括MCNP-X、MCNP-PoliMi等特殊版本。其中，MCNP-X是一種基于MCNO4B版本開發(fā)的用于多粒子輸運(yùn)模擬的蒙特卡羅程序，能實現(xiàn)40多種粒子的跟蹤，最大中子能量可