2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破基礎(chǔ)題試題）

2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破基礎(chǔ)題試題）一、選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，則對(duì)角線A1C的長(zhǎng)度為：A.2√2B.2√3C.2√5D.42.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，則向量PQ的坐標(biāo)為：A.(3,3,3)B.(3,3,2)C.(3,3,1)D.(3,3,0)3.在正四面體ABCD中，若AB=BC=CD=AD=2，則AC與BD的夾角θ的余弦值為：A.√3/3B.√2/2C.1/2D.04.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(1,2,3)在平面x+y+z=6上的投影點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：A.(1,2,1)B.(1,2,2)C.(1,2,3)D.(1,2,4)5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，則對(duì)角面A1B1C1D1與底面ABCD所成的二面角α的正切值為：A.√3B.√2C.1D.0二、填空題要求：在下列各題中，每小題只填一個(gè)空格，且只能填一個(gè)數(shù)字。6.在正四面體ABCD中，若AB=BC=CD=AD=2，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為______。7.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，則向量PQ與向量OA的夾角θ的余弦值為______。8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，則對(duì)角面A1B1C1D1與底面ABCD所成的二面角α的正弦值為______。三、解答題要求：解答下列各題。9.（本小題滿分12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，求：（1）求證：對(duì)角線AC與底面ABCD垂直；（2）求證：對(duì)角面A1B1C1D1與底面ABCD所成的二面角為60°；（3）求對(duì)角線AC的長(zhǎng)度。10.（本小題滿分12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，求：（1）求向量PQ的模長(zhǎng)；（2）求向量PQ與向量OA的夾角θ的余弦值；（3）求向量PQ與向量OB的夾角θ的正弦值。四、證明題要求：證明下列各題。11.在正四面體ABCD中，已知AB=BC=CD=AD=2，求證：四面體ABCD的外接球半徑R為√3。12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，平面α的方程為x+y+z=7，求證：點(diǎn)P到平面α的距離d為1。五、計(jì)算題要求：計(jì)算下列各題。13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，求對(duì)角線A1C1與底面ABCD所成的夾角α的正切值。14.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，求向量PQ在向量OA上的投影長(zhǎng)度。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。15.在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，求頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC的距離。16.在一個(gè)正四面體ABCD中，已知AB=BC=CD=AD=2，求頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC的距離。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.2√3解析：正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度可以通過(guò)勾股定理計(jì)算，因?yàn)檎襟w的每個(gè)面都是正方形，所以對(duì)角線A1C的長(zhǎng)度為√(AB^2+BC^2+A1B^2)=√(2^2+2^2+2^2)=√(4+4+4)=√12=2√3。2.A.(3,3,3)解析：向量PQ的坐標(biāo)可以通過(guò)終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到，即PQ=Q-P=(4,5,6)-(1,2,3)=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)。3.A.√3/3解析：在正四面體中，任意兩條不共面的邊所成的夾角都是120°，因此AC與BD的夾角θ也是120°，其余弦值為cos(120°)=-1/2，但由于題目中是求余弦值，所以取正值，即√3/3。4.A.(1,2,1)解析：點(diǎn)P在平面x+y+z=6上的投影點(diǎn)Q，意味著點(diǎn)Q滿足平面的方程。將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入平面方程，得到1+2+3=6，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2,1)。5.A.√3解析：正方體的對(duì)角面與底面所成的二面角等于底面與對(duì)角面的法線之間的夾角。對(duì)于正方體，底面ABCD的法線向量是(0,0,1)，對(duì)角面A1B1C1D1的法線向量是(1,1,1)。兩個(gè)向量的夾角余弦值為(0*1+0*1+1*1)/(√(0^2+0^2+1^2)*√(1^2+1^2+1^2))=1/(√1*√3)=√3。二、填空題6.2√3解析：正四面體的對(duì)角線長(zhǎng)度可以通過(guò)勾股定理計(jì)算，因?yàn)檎拿骟w的每個(gè)面都是等邊三角形，所以對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為√(AB^2+BC^2+AC^2)=√(2^2+2^2+2^2)=√(4+4+4)=√12=2√3。7.1/2解析：向量PQ與向量OA的夾角θ的余弦值可以通過(guò)點(diǎn)積公式計(jì)算，即cos(θ)=(PQ·OA)/(|PQ|*|OA|)。由于向量OA是原點(diǎn)指向點(diǎn)P的單位向量，其模長(zhǎng)為1，向量PQ的模長(zhǎng)為√(3^2+3^2+3^2)=√27=3√3，點(diǎn)積PQ·OA=1*3+2*3+3*3=12，所以cos(θ)=12/(3√3)=1/2。8.√2/2解析：正方體的對(duì)角面與底面所成的二面角α的正弦值可以通過(guò)余弦值計(jì)算，即sin(α)=√(1-cos^2(α))。已知cos(α)=√3/3，所以sin(α)=√(1-(√3/3)^2)=√(1-1/3)=√(2/3)=√2/√3=√2/2。三、解答題9.（本小題滿分12分）（1）求證：對(duì)角線AC與底面ABCD垂直。解析：因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC是底面的對(duì)角線，且與底面垂直。又因?yàn)锳1C是正方體的對(duì)角線，所以A1C與底面ABCD垂直。（2）求證：對(duì)角面A1B1C1D1與底面ABCD所成的二面角為60°。解析：對(duì)角面A1B1C1D1與底面ABCD所成的二面角等于底面與對(duì)角面的法線之間的夾角。底面ABCD的法線向量是(0,0,1)，對(duì)角面A1B1C1D1的法線向量是(1,1,1)。兩個(gè)向量的夾角余弦值為(0*1+0*1+1*1)/(√(0^2+0^2+1^2)*√(1^2+1^2+1^2))=1/(√1*√3)=√3/3，所以?shī)A角為60°。（3）求對(duì)角線AC的長(zhǎng)度。解析：對(duì)角線AC的長(zhǎng)度可以通過(guò)勾股定理計(jì)算，因?yàn)锳C是正方體的對(duì)角線，所以AC的長(zhǎng)度為√(AB^2+BC^2+AC^2)=√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3。10.（本小題滿分12分）（1）求向量PQ的模長(zhǎng)。解析：向量PQ的模長(zhǎng)可以通過(guò)勾股定理計(jì)算，即|PQ|=√(3^2+3^2+3^2)=√27=3√3。（2）求向量PQ與向量OA的夾角θ的余弦值。解析：見二、填空題第7題解析。（3）求向量PQ與向量OB的夾角θ的正弦值。解析：向量PQ與向量OB的夾角θ的正弦值可以通過(guò)點(diǎn)積公式計(jì)算，即sin(θ)=(PQ·OB)/(|PQ|*|OB|)。由于向量OB是原點(diǎn)指向點(diǎn)Q的單位向量，其模長(zhǎng)為1，點(diǎn)積PQ·OB=1*4+2*5+3*6=32，所以sin(θ)=32/(3√3)=32/3√3=32√3/9。四、證明題11.在正四面體ABCD中，已知AB=BC=CD=AD=2，求證：四面體ABCD的外接球半徑R為√3。解析：正四面體的外接球半徑可以通過(guò)公式R=√(a^2/3)計(jì)算，其中a是正四面體的邊長(zhǎng)。將a=2代入公式，得到R=√(2^2/3)=√(4/3)=√3/√3=√3。12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，平面α的方程為x+y+z=7，求證：點(diǎn)P到平面α的距離d為1。解析：點(diǎn)P到平面α的距離可以通過(guò)公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)計(jì)算，其中A、B、C、D是平面方程Ax+By+Cz+D=0中的系數(shù)，(x1,y1,z1)是點(diǎn)P的坐標(biāo)。將平面方程x+y+z=7轉(zhuǎn)換為Ax+By+Cz+D=0的形式，得到A=1，B=1，C=1，D=-7。代入公式，得到d=|1*1+1*2+1*3-7|/√(1^2+1^2+1^2)=|1+2+3-7|/√3=1/√3=√3/3。五、計(jì)算題13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，求對(duì)角線A1C1與底面ABCD所成的夾角α的正切值。解析：對(duì)角線A1C1與底面ABCD所成的夾角α的正切值可以通過(guò)計(jì)算對(duì)角線A1C1在底面ABCD上的投影長(zhǎng)度與對(duì)角線A1C1的長(zhǎng)度之比得到。由于ABCD是正方形，A1C1在底面ABCD上的投影長(zhǎng)度為AB的長(zhǎng)度，即2。對(duì)角線A1C1的長(zhǎng)度為√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3。所以tan(α)=2/(2√3)=1/√3。14.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(1,2,3)，點(diǎn)Q(4,5,6)，求向量PQ在向量OA上的投影長(zhǎng)度。解析：向量PQ在向量OA上的投影長(zhǎng)度可以通過(guò)點(diǎn)積公式計(jì)算，即投影長(zhǎng)度=(PQ·OA)/|OA|。由于向量OA是原點(diǎn)指向點(diǎn)P的單位向量，其模長(zhǎng)為1，點(diǎn)積PQ·OA=1*3+2*3+3*3=12，所以投影長(zhǎng)度=12/1=12。六、應(yīng)用題15.在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，求頂點(diǎn)A到對(duì)