2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)課件 27.2.2 相似三角形的性質(zhì)

第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質(zhì)新課導(dǎo)入1．類似三角形全等，若兩個(gè)三角形相似，它有哪些性質(zhì)？2．已經(jīng)掌握相似三角形有哪些性質(zhì)？相似三角形的性質(zhì)有:對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成比例探究新知如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對(duì)應(yīng)高的比.

1探究ABCA'B'C'ABCA'B'C'解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

則∠ADB=∠A'

D'

B'=90°.

∴△ABD∽△A'

B'

D'.

DD'∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'

，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.(1)在三角形中除了三條邊的長度，三個(gè)角的度數(shù)，還有哪些量是我們可以研究的？ABCA'B'C'它們的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、周長和，面積.(2)如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，證明：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比；ABCA'B'C'解：如圖，分別作出∠A和∠A'

的角平分線AD和A'

D'

．

則∠B

=∠B'.

∴△ABD∽△A'B'D'.

ABCA'B'C'DD'∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A＝∠A'，

∴∠BAD＝∠B'A'D'.

相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.(3)如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，證明：相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比；ABCA'B'C'解：如圖，分別作出BC和B'

C'的中點(diǎn)D和D'

,連接AD和A'

D'

．

則∠B

=∠B'.

ABCA'B'C'DD'∵△ABC∽△A′B′C′，

ABCDA'B'C'D'∴△ABD∽△A'

B'

D'.

相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.(4)如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，證明：相似三角形周長的比等于相似比．ABCA'B'C'解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,

ABCA'B'C'

相似三角形周長的比等于相似比.如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k

，求證相似三角形面積的比等于相似比的平方．

2思考相似三角形面積的比與相似比有什么關(guān)系？ABCA'B'C'ABCA'B'C'解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

DD'

相似三角形周長的比等于相似比.

=k2.

知識(shí)歸納1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．2．相似三角形對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線)的比等于________．3．相似三角形周長的比等于________．4．相似三角形面積的比等于相似比的平方．相似比相似比例題與練習(xí)例1

已知△ABC∽△A′B′C′，它們的周長分別為60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求BC，AC，A′B′和A′C′的長．∴AC＝60－20－15＝25(cm)，

A′C′＝72－18－24＝30(cm)．解：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴A′B′＝18cm，同理，BC＝20cm，

例2

如圖，△ABC是一塊銳角三角形涂料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)在AB，AC上．該矩形的長QM＝y(tǒng)(mm)，寬MN＝x(mm)，如何用含x的代數(shù)式表示y?解：∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN.易知PN＝QM＝y(tǒng)，DE＝MN＝x.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

例3

如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AD∥BC，且AD＝BC，E為AD上一點(diǎn)，AC與BE交于點(diǎn)F，若AE∶DE＝2∶1，則＝____．

課堂小結(jié)1．相似三角形對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線)的比等于相似比．2．相似三角形周長的比等于相似比．3．相似三角形面積的比等于相似比的平方．隨堂檢測(cè)1．教材P39練習(xí)第1，2，3題．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，則下列結(jié)論中正確的是(

)C

3．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，點(diǎn)P在AC上(與點(diǎn)A，C不重合)，點(diǎn)Q在BC上．(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長；解：(1)∵S△PQC＝S四邊形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，

(2)當(dāng)△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時(shí)，