湘教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)全冊(cè)

分式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

A

1.分式的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子B叫做分式。

2.分式有意義、無意義的條件：

分式有意義的條件：分式的分母不等于0;

分式無意義的條件：分式的分母等于0。

3.分式值為零的條件：

當(dāng)分式的分子等于0且分母不等于0時(shí)，分式的值為0。

（分式的值是在分式有意義的前提下才可以考慮的，所以使分式為。的條件是A=o,且

B#0.）

（分式的值為。的條件是：分子等于0,分母不等于0,二者缺一不可。首先求出使分

子為0的字母的值，再檢

驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0.當(dāng)分母的值不為0時(shí)，就是所要求的字母的值。）

4.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不

變。

A^ACA^A^C

用式子表示為（C/0）,其中A、B、C是整式

注意：（1）“C是一個(gè)不等于0的整式”是分式基本性質(zhì)的一個(gè)制約條件；

（2）應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要深刻理解“同”的含義，避免犯只乘分子（或分母）

的錯(cuò)誤；

（3）若分式的分子或分母是多項(xiàng)式，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要先用括號(hào)把分子或分

母括上，再乘或除以同一

整式C；

（4）分式的基本性質(zhì)是分式進(jìn)行約分、通分和符號(hào)變化的依據(jù)。

5.分式的通分：

和分?jǐn)?shù)類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值?/p>

把幾個(gè)異分母分式化成

相同分母的分式，這樣妁分式變形叫做分式的通分。

通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)式子的最簡公分母。幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母所有因式

的最高次嘉的積作為公分

母，這樣的分母就叫做最簡公分母。求最簡公分母時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)“各分母所有因式的最高次累”是指凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的

累選取指數(shù)最大的；

(2)如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的

系數(shù)；

(3)如果分母是多項(xiàng)式，一般應(yīng)先分解因式。

6.分式的約分：

和分?jǐn)?shù)一樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的

值，這樣的分式變形叫

做分式的約分。約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡公因式。

約分的關(guān)鍵是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)約分時(shí)注意分式的分子、分母都是乘積形式才能進(jìn)行約分；分子、分母是多項(xiàng)式

時(shí)，通常將分子、分母

分解因式，然后再約分；

(2)找公因式的方法：

①當(dāng)分子、分母都是單項(xiàng)式時(shí)，先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母

的最低次賽，它們的積就

是公因式；

②當(dāng)分子、分母都是多項(xiàng)式時(shí)，先把多項(xiàng)式因式分解。

易錯(cuò)點(diǎn)：(1)當(dāng)分子或分母是一個(gè)式子時(shí)，要看做一個(gè)整體，易出現(xiàn)漏乘(或漏除以)；

(2)在式子變形中要注意分子與分母的符號(hào)變化，一般情況下要把分子或分母前的“一”

放在分?jǐn)?shù)線前；

(3)確定幾個(gè)分式的最簡公分母時(shí)，要防止遺漏只在一個(gè)分母中出現(xiàn)的字母；

7.分式的運(yùn)算：

分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

acacacadad

bdbd'bdbcbe

用式子表示是：

提示：(1)分式與分式相乘，若分子、分母是單項(xiàng)式，可先將分子、分母分別相乘，

然后約去公因式，化為最簡

分式；若分子、分母是多項(xiàng)式，先把分子、分母分解公因式，看能否約分，

然后再相乘；

(2)當(dāng)分式與整式相乘時(shí)，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變

（3）分式的除法可以轉(zhuǎn)化為分式的乘法運(yùn)算；

（4）分式的乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一為乘法運(yùn)算。

①分式的乘除法混合運(yùn)算順序與分?jǐn)?shù)的乘除混合運(yùn)算相同，即按照從左到右的順

序，有括號(hào)先算括號(hào)

里面的；

②分式的乘除混合運(yùn)算要注意各分式中分子、分母符號(hào)的處理，可先確定積的符

號(hào)；

③分式的乘除混合運(yùn)算結(jié)果要通過約分化為最簡分式（分式的分子、分母沒有公

因式）或整式的形式。

分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母各自乘方.

用式子表示是：（其中n是正整數(shù)）

注意：（1）乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào)；

（2）分式乘方時(shí)確定乘方結(jié)果的符號(hào)與有理數(shù)乘方相同，即正分式的任何次塞都為

正；負(fù)分式的偶次嘉

為正，奇次賽為負(fù)；

（3）分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看做一個(gè)整體；

（4）在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，

有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解

因式，再約分。

分式的加減法則：

法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。

用式子表示為：±=

法則：異分母的分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分學(xué)分式，然后再加減。

用式子表示為：±=±=

注意：（1）“把分子相加減”是把各個(gè)分子的整體相加減，即各個(gè)分子應(yīng)先加上括號(hào)

后再加減，分子是單項(xiàng)式對(duì)括

號(hào)可以省略；

（2）異分母分式相加減，“先通分”是關(guān)鍵，最簡公分母確定后再通分，計(jì)算時(shí)要

注意分式中符號(hào)的處理，

特別是分子相減，要注意分子的整體性;

②解這個(gè)整式方程；

③檢驗(yàn)：把整式方程的解代人最簡公分母，使最簡公分母不等于0的解是原方程的

解，使最簡公分母等于0

的解不是原方程的解，即說明原分式方程無解。

注意：①去分母時(shí)，方程兩邊的每一項(xiàng)都乘以最簡公分母，不要漏乘不含分母的項(xiàng)；

②解分式方程必須要驗(yàn)根，千萬不要忘了！

解分式方程的步驟：

（1）能化簡的先化簡；（2）方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；（3）解整式方程;

（4）驗(yàn)根.

分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式

方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。

1L含有字母的分式方程的解法：

在數(shù)學(xué)式子的字母不僅可以表示未知數(shù)，也可以表示已知數(shù)，含有字母已知數(shù)的分式方

程的解法，也是去分母，

解整式方程，檢驗(yàn)這三個(gè)步驟，需要注意的是要找準(zhǔn)哪個(gè)字母表示未知數(shù)，哪個(gè)字母表示

未知數(shù)，還要注意題目的

限制條件。計(jì)算結(jié)果是用已知數(shù)表示未知數(shù)，不要混淆。

12.列分式方程解應(yīng)用題的步驟是：

（1）審：審清題意；（2）找：找出相等關(guān)系；（3）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；（4）列：列出分式方程；

（5）解：解這個(gè)分式方程；（6）驗(yàn)：既要檢驗(yàn)根是否是配列分式方程的解，又要檢驗(yàn)根是否

符合題意；（7）答：寫出答案。

應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？

基本上有五種：（1）行程問題基本公式：路程=速度X時(shí)間而行程問題中又分相遇問

題、追及問題.

（2）數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.

（3）工程問題基本公式：工作量-工時(shí)X工效.

⑷順?biāo)嫠畣栴}v順?biāo)?v靜水+丫水-v速水=v靜水-V水.

11.科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)表示成的形式（其中】Wa<10,n是整數(shù)）的記數(shù)方法

叫做科學(xué)記數(shù)法.

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)表示為axw的形式，其中1W|a|<10,n

為原整數(shù)部分的位數(shù)減1;

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)時(shí)，則可表示為aXlOf的形式，其中n為原數(shù)第1個(gè)

不為。的數(shù)字前面所有0的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前面的那個(gè)0),Ia|<10.

三角形知識(shí)點(diǎn)

一、三角形及其有關(guān)概念

1、三角形：

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的

線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三

角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

2、三角形的表示：

三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。

3、三角形的三邊關(guān)系：

(1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

(2)三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

(3)作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

4、三角形的內(nèi)角的關(guān)系：

(I)三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°o

(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

5、三角形的穩(wěn)定性：

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

6、三角形的分類：

(1)三角形按邊分類：

r不等邊三角形

三角形1r底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形I

等邊三角形

(2)三角形按角分類:

r直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）

三角形1「銳角三角形（三個(gè)角都是說角的三角形）

Y

斜三角形一

鈍角三角形（有?個(gè)角為匏角的三角形）

還有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

7、三角形的三種重要線段：

（1）三角形的角平分線：

定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的

線段叫做三角形的先平分線。

性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。交點(diǎn)在三侑形的內(nèi)部。

（2）三角形的中線：

定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)動(dòng)的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

性質(zhì)：三角形的一條中線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。

（3）三角形的高線：

定義：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三

角形的高線（簡稱三角形的高）。

性質(zhì)：三角形的三條高所在的直線交于?點(diǎn)。銳角三角形的三條高線的交點(diǎn)在它的內(nèi)

部；直角三角形的三條高線的交，點(diǎn);在它的直角頂點(diǎn);：鈍角二角形的三條高所在的直線的交點(diǎn)

在它的外部；

8、三角形的面積：

三角形的面積=，X底X高

2

二、全等圖形：

定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。

性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。

三、全等三角形

1、全等三角形及有關(guān)概念：

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫

做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)■應(yīng)角。

2、全等三角形的表示：

全等用符號(hào)“且”表示，讀作“全等于"。如AABC經(jīng)ZXDEF,讀作“三角形ABC全等于

三角形DEF”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

4、三角形全等的判定：

（1）邊邊邊：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

（2）角邊角：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或

“ASA”）

（3）角角邊：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”

或“AAS”）

（4）邊角邊：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或

“SAS”)

直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：斜邊和一條

直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

三角形練習(xí)

一.選擇題

1、下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cm

C.2a,3a,5a（a>C）D.+1、yyi+2,+3（m聲0）

2、若三條線段中a=3,b=5,c為奇數(shù)，那么由a,b,c為邊組成的三角形共

有（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.無數(shù)多個(gè)D.無法確定

3、一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角的和是2010°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

（）

A、13B、14C、15D、16

4、己知△ABC中，ZA=8O°,NB、NC的平分線的夾角是（）

A.130°B.60°C.130°或50°D.60°或120°

5、如圖所示，已知△ABC為直角三角形，NB=90',若沿圖中虛線剪去NB,則

Z1+Z2等于（）

第5題圖

第6題圖第7題圖第9題圖

6、如圖所示，在aABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于,

點(diǎn)P,若NA=50°,則NBPC等于（）

A、90°B、130°C、270°D、315°

7、在AABC中，D,E分別為BC上兩點(diǎn)，且BD二DE=EC,則圖中面積相等的三角形

有（）

A.4對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.7雙

8、下列說法正確的是（）

A.ZiABC中，ZA=2ZB=4ZC,則AABC為直角三角形

B.銳角三角形中任意兩個(gè)角之和小于90°

C.三角形中至少有兩個(gè)角是銳角

D.兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等，則另外兩個(gè)角相等

9、如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PB=PC,則

A.點(diǎn)P在/4EC的平分線上B.點(diǎn)P在NACB內(nèi)平分線上

C.點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上D點(diǎn)P在邊BC的垂直平分線上

10、用隨便兩個(gè)全等的直角三角形，拼下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方

形；⑤等腰三角形：⑥等邊三角形，其中不一定能拼成的圖形是

A.①②③B.②③C.③④⑤D.③④⑥

11、如圖，平行四邊形ABCD中/C、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)0作直線分別交于AD、BC于點(diǎn)E、

E那么圖中全等的三角形共有

A.2對(duì)B.4對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì)

12、如圖，P是NA4c的平分線上一點(diǎn)，PE_LA8于￡,尸尸_L4C于F,下列結(jié)論中不正確

A.PE=PFB.AE=AF

BFC

第11題圖

第17題圖第18題圖

第12題圖

二、選擇題

13、已知a、b^c是三角形的三邊長，化簡：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|

14、等腰三角形的兩邊的長分別為2cm和7cm,則三角形的周長是.

15、在AABC中，三邊分別為AB=3,BC=4,AC=6,則△ABC這三邊依次

對(duì)應(yīng)的高的比hi：h2：lu=.

16、如圖，Z1+Z2+Z3+Z4的值為

17、如圖，AD是AA8C的中線，DE=2AEo若求5必曬

18、如圖，則NA+NB+NC+ND+NE+NF=

19、已知等腰三角形的一個(gè)外角是120。，則它是三角形.

三、解答題

20、等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分成9厘米和7厘米兩部分,

求這個(gè)三角形各邊長.

21、如圖，△ABC中，NA=40°,NB=72°,CE平分NACB,

CD_LAB于D,DF1CE于F,求NCDF的度數(shù)。

A

22、如圖，求證：NA+NB+NC+ND+NE=180°

23、如圖,AABC中,NA=90°,NC的平分線交AB于D,已知NDCB=2NB.?求NADC的度

24、8,C,。三點(diǎn)在一條直線上，ZLAAC和△￡（，）是等邊三角形.求證區(qū)石-4。

25、如圖，正三角形A8C的邊長為2,。為AC邊上的一點(diǎn)，延長A8至點(diǎn)E,使

連結(jié)。石，交BC于點(diǎn)P,

（。求證：DP=PE；

（2）若。為AC的中點(diǎn)，求8尸的長。

26、如圖，在△48。中，ZCAB=90°,尸是AC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)E〃AB交BC于點(diǎn)、E,。是

加延長線上一點(diǎn)，旦DF=BE.D

求證：AB.

F

B

E

27.如圖，已知N4?C=90。，。是直線44上的點(diǎn)，AD=BC.

(I)如圖1,過點(diǎn)人作人凡LA8,并截取八尸=B?連接。C、DF、CF,判斷△C。尸的形狀

并證明；

(2)如圖2,E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD,直線AE、CO相交于點(diǎn)P,NAP。的度數(shù)

是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

28.如圖1,已知NACB=NDCE=90。，4GBe=6,CD=CE,AE=3,ZCAE=45°,求4。的

長.

(2)如圖2,已知NAC8=NOCE=90。，ZABC=ZCED=ZCAE=30°,403,AE=8,求AD

的長.

第3章實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1>定義：如果一個(gè)走數(shù)x的平方等于a,即Y=。。那么，這近

r

算術(shù)平方根廣

數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。記作五，讀作“根號(hào)a”。a叫做被開

,方數(shù)，規(guī)定。的算術(shù)平方根還是0。

平方根

2、性殖：雙重非負(fù)性（a>0,V^>0）o負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。

\、3、y[a^=時(shí)（a是任意數(shù)），（Ji）?=。（a是非負(fù)數(shù)）。

1、定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即d=。。那么，這個(gè)x

叫做a的平方根。記作±JZ,讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。a叫做被開

【平方根[方數(shù)。規(guī)定。的算術(shù)平方根還是0。

2、性質(zhì)：（1）正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)。

（2）0的平方根是0。負(fù)數(shù)及方平方根。

3、次初教?次數(shù)是兩次的方程，結(jié)果?般都有兩7、值。

72?1.414,6H1.732,V5?2.236,V7?2.646

1、定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即丁=〃。那么，這個(gè)x叫做a的立方

根。記作為6,讀作“三次根號(hào)a”。a叫做被開方數(shù)。

2、性質(zhì)：（1）正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是0。

（2）必萬=<//'

“a取任意數(shù)

（3）（Vtf）3=a.

‘正整數(shù)

"正實(shí)數(shù)

整數(shù)10

實(shí)數(shù)Y0

〔負(fù)整數(shù)

有理數(shù)4、負(fù)實(shí)數(shù)

:可以看成分母是1的分?jǐn)?shù)）

有限小數(shù)

分?jǐn)?shù)（有理數(shù)和分?jǐn)?shù)是相同的概念）<

1無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)

"1、開方開不盡的方根

無理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)42、圓周率JI以及含有H

3、具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)（0.010010001)

一元一次不等式知識(shí)點(diǎn)匯總

【知識(shí)點(diǎn)一】不等式的有關(guān)概念

1、不等式定義：用符號(hào)“<”、“<"、”>”、“之”、“工”連接而成的數(shù)學(xué)式子，叫做不等

式。這5個(gè)用來連接的符號(hào)統(tǒng)稱不等號(hào)。

2、列不等式：步驟如下

（1）根據(jù)所給條件中的美系確定不等式兩邊的代數(shù)式：

（2）正確理解題目中的關(guān)鍵詞語，如：多、少、快、慢、增加了、減少了、不足、不到、

不大于、不小于、不超過等確切的含義：

（3）選擇與題意符合的不等號(hào)將表示不等關(guān)系的兩個(gè)式子連接起來。

3、用數(shù)軸表示不等式

（1）表示小于。的全體實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上表示。左邊的所有點(diǎn)，不包括。在內(nèi)。

（2）xNa表示大于或等于〃的全體實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上表示。右邊的所有點(diǎn)，包括。在內(nèi)。

（3）b<x<a{b<a）表示大于b而小于4的全體實(shí)數(shù)。

--

b

【知識(shí)點(diǎn)二】不等式的基本性質(zhì)

1、不等式的基本性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)1：若avb,b<c,則。（不等式的傳遞性）

（2）基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，所得到的不等式仍成立，

①若則+c,a-ob-c；②若avb,則4+CVZJ+C,

a—c<b—c。

（3）基本性質(zhì)3：①不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，所得的不等式仍成立；

若a>b,且c>0,則,—>—o

cc

②不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須把不等號(hào)的方向改變,

所得的不等式成立。

若4>方，且C<0,則4C<，—<—o

CC

2、比較等式與不等式的基本性質(zhì)

等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1若a=b,b=c,則。=c若avb,b<c,則avc

若a=b,若a>b,則a+c>〃+c,a-c>b-c

性質(zhì)2則a+c=A+c,a-c=b-c若a<b,則a+c<〃+c,a-cvb—c

若a=b,則ac=Z?c,

若a>b,且c>(),則ac>,—>—；

cc

性質(zhì)3ab八'

f若a>b,且c<0,則ac<be,—<—

cccc

【知識(shí)點(diǎn)三】一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：不等號(hào)的兩邊都是整式，而且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最

高次數(shù)是一次。

2、不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱不等式的

解。

3、一元一次不等式的解法：步驟如下

（1）去分母：在不等式兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)；（根據(jù)基本性質(zhì)3）

（2）去括號(hào)：把所有因式展開；（根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則）

（3）移項(xiàng)：把含未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的左邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的右邊；（根

據(jù)基本性質(zhì)2）

（4）合并同類項(xiàng)：將所有的同類項(xiàng)合并，得以＞〃或好（。工0）的形式；

（5）系數(shù)化為1：不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，或乘未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)。（根據(jù)基本性

質(zhì)3）

4、一元一次不等式的應(yīng)用：解有關(guān)應(yīng)用題步驟如下

（1）審題：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，抓住題設(shè)中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、

“不小于”等；

（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3）找：找出不等關(guān)系；

（4）歹U：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

（5）解：解出所列不等式的解集；

（6）答：寫出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。

【知識(shí)點(diǎn)四】一元一次不等式組

I、一元一次不等式組的定義：一般地，由幾個(gè)同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組

不等式。

2、一元一次不等式組的解:

穴等式組（0＜。＜人）在數(shù)軸上表示解集口訣

x>a

x>b大大取大

x>b1

0ab

x<a

x<a小小取小

x<b

0ab

x>a

a<x<b大小小大，取中

x<hi__

間

0(ib

x<a

無解大大小小，取不

x>b

0ab到

3、解一元一次不等式組的方法：步驟如下

（1）求分解，分別解不等式組中的每一個(gè)不等式，并求出它們的解；

（2）畫公解，將每一個(gè)不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并找出它們的公共部分；

（3）寫組解，將（2）步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集。

4、列一元一次不等式組解應(yīng)用題：步驟如下

（1）審：審清題意，找出己知量和未知量；

（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（只能設(shè)一個(gè)未知數(shù)）；

（3）找：找出反映題目數(shù)最關(guān)系的不等關(guān)系；

（4）歹U：用代數(shù)式表示不等關(guān)系中的量，列不等式組;

（5）解：解不等式組，非用數(shù)軸上表示它的解集；

（6）寫出答案（包括單位名稱）。

元一次不等式知識(shí)點(diǎn)匯總

【知識(shí)點(diǎn)一】不等式的有關(guān)概念

1、不等式定義：用符號(hào)“<”、“《"、”>”、“之”、“工”連接而成的數(shù)學(xué)式子，叫做不等

式。這5個(gè)用來連接的符號(hào)統(tǒng)稱不等號(hào)。

2、列不等式：步驟如下

（1）根據(jù)所給條件中的關(guān)系確定不等式兩邊的代數(shù)式；

（2）正確理解題目中的關(guān)鍵詞語，如：多、少、快、慢、增加了、減少了、不足、不到、

不大于、不小于、不超過等確切的含義；

（3）選擇與題意符合的不等號(hào)將表示不等關(guān)系的兩個(gè)式子連接起來。

3、用數(shù)軸表示不等式

（1）表示小于。的全體實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上表示。左邊的所有點(diǎn)，不包括。在內(nèi)。

（2）表示大于或等于〃的全體實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上表示。右邊的所有點(diǎn)，包括。在內(nèi)。

（3）OvxvaSva）表示大于Z?而小于。的全體實(shí)數(shù)。

b

【知識(shí)點(diǎn)二】不等式的基本性質(zhì)

1、不等式的基本性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)1：若a<b,b<c,則（不等式的傳遞性）

（2）基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，所得到的不等式仍成立，

①若WJa+c>b+c,a-ob-c；②若"b,則4+CVZJ+C,

a-c<b-co

（3）基本性質(zhì)3：①不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，所得的不等式仍成立；

若4>方，且C>0,則4C>%,—>—o

CC

②不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須把不等號(hào)的方向改變,

所得的不等式成立。

若4>方，且C<0,貝I」4C<6。，—<—o

CC

2、比較等式與不等式的基小性質(zhì)

等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1若a=b,b=c,則。=c若a<b,b<c,則。<c

若a=b,若a>b,則a+c>〃+c,a—c>b—c；

性質(zhì)2則a+c=b+c,a-c=b-c若a<b,則a+c<〃+c,a—c<b—c

若a=b,則ac=Z?c,

若a>b,且c>(),則ac>,—>—；

cc

性質(zhì)3ab八\

(若a>b,且cv(),則ac<,—<—

cccc

【知識(shí)點(diǎn)三】一元一次不等式

I、一元一次不等式的概念：不等號(hào)的兩邊都是整式，而且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最

高次數(shù)是一次。

2、不等式的解集；能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱不等式的

解。

3、一元一次不等式的解法：步驟如下

（1）去分母：在不等式兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)；（根據(jù)基本性質(zhì)3）

（2）去括號(hào)：把所有因式展開；（根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則）

（3）移項(xiàng)：把含未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的左邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的右邊；（根

據(jù)基本性質(zhì)2）

（4）合并同類項(xiàng)：將所有的同類項(xiàng)合并，得或，優(yōu)＜力（。。0）的形式；

（5）系數(shù)化為1：不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，或乘未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)。（根據(jù)基本性

質(zhì)3）

4、一元一次不等式的應(yīng)用：解有關(guān)應(yīng)用題步驟如下

（1）審題：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，抓住題設(shè)中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、

“不小于”等；

（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3）找：找出不等關(guān)系；

（4）歹U：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

（5）解：解出所列不等式的解集；

（6）答：寫出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。

【知識(shí)點(diǎn)四】一元一次不等式組

I、一元一次不等式組的定義：一般地，由幾個(gè)同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組

不等式。

2、一元一次不等式組的解:

不等式組在數(shù)軸上表示解集口訣

x>a

?x>b大大取大

x>b

0ab

x<a,—L?

x<a小小取小

x<b

0ab

x>a_1__!__.

■a<x<b大小小大，取

x<b

中間

0ab

x<a

無解大大小小，取

x>b

0ab不到

3、解一元一次不等式組的方法：步驟如下

（1）求分解，分別解不等式組中的每一個(gè)不等式，并求出它們的解；

（2）畫公解，將每一個(gè)不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并找出它們的公共部分；

（3）寫組解，將（2）步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集。

4、列一元一次不等式組解應(yīng)用題：步驟如下

（1）審：審清題意，找出已知量和未知量；

（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（只能設(shè)一個(gè)未知數(shù)）；

（3）找：找出反映題目數(shù)量關(guān)系的不等關(guān)系：

（4）歹用代數(shù)式表示不等關(guān)系中的品，列不等式組；

（5）解：解不等式組，棄用數(shù)軸上表示它的解集；

（6）寫出答案（包括單位名稱）。

二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總

知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念

形如石（。NO）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)

式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是石為二次根式的前提條件,

如有，等是二次根式，而J-/-7等都不是二次根

式。

知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍

1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)aMO時(shí)，石有意義,

是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零

即可。

2.二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時(shí)，而沒

有意義。

知識(shí)點(diǎn)三：二次根式石（a>0）的非負(fù)性

石表示a的算術(shù)平方根，也就是說，石是一個(gè)非負(fù)數(shù),

即石20（。20）。

注：因?yàn)槎胃街福?。?）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正

數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（。20）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即石之

0這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類

似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若瓜+樞=。,則a=0,b=0；若

4+?1=°,則a=0,b=0；若/=0,貝iJa=O,b=O。

知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（石）」的性質(zhì)

函）2=a（a>0）

文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)

叱"）

i1-4式0）

知識(shí)點(diǎn)六：（能產(chǎn)與必的異同點(diǎn)

1、不同點(diǎn)：（能尸與忑7表示的意義是不同的，（能尸表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平

方根的平方，而"表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（能尸中a20,

而正中a可以是正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù)。但（及尸與G都是非負(fù)數(shù)，即

（石尸2°,在之。。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，（而尸=。（12°）

。3次)

=b|=<

而7(d<0)

2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，（能尸="；。＜0時(shí)，（而尸

無意義，而后二一a.

知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算

（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，

就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么

先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的

正因式平方后移到根號(hào)里面.

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次

根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所

得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.

[b_4b

\fcib=4ci-4b(a>0,b>0)；(b>0,a>0).

V片石

（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，?乘法對(duì)加法的

分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用丁二次根式的運(yùn)算.

【例題精選】

二次根式有意義的條件：

例1：求下列各式有意義的所有X的取值范圍。

(l)V3-2x；(2)VI+i;(3)^^1；

H-2

____3

解：(1)要使J3-要有意義,必須3-2壯0,由3-2工之0得工V-,

a,__2

.?.當(dāng)XW士時(shí)，式子行不在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

2

(2)要使HT有意義，X+1為任意實(shí)數(shù)均可,

當(dāng)X取任意實(shí)數(shù)時(shí)VTTT均有意義。

(3)要使參工有意義，必須

國-2[|x|-2^0

二.xN-1且XW±2,但x=-2不在xN-l的范圍內(nèi)。

?二當(dāng)xN-1且x/2時(shí)，式子yj在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

國一2

小練習(xí)：(1)當(dāng)x是多少時(shí)，67二1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(2)當(dāng)x是多少時(shí)，J2-3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?②

x+1

(3)當(dāng)X是多少時(shí)，叵亙+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X

(4)當(dāng)時(shí)，Jx+2+\/i-2x有意義。

2.使式子-5)2有意義的未知數(shù)x有()個(gè).

A.0B.1C.2D.無數(shù)

3.已知y72T+4-2+5,求土的值.

y

4.若：3-x+Jx-3有意義,則4^'=.

5.若G+」一有意義，則〃7的取值范圍是__________________

m+\

最簡二次根式

例2：把下列各根式化為最簡二次根式：

(1)V96?3Z?(?>0,/?>0)

/?>0)

分析：依據(jù)最簡二次根式的概念進(jìn)行化簡，

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中天含能開得盡方的因數(shù)或因式。

解：(1)M&Jb=yj\6a2?6ab=4ad6ab(a>0,b>6j

⑵得腎離

=ppy>0,b>0)

同類根式：

例3：判斷下列各組根式是否是同類根式:

⑴-J175；-—；—?/85—

V163V4

分析：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾

個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，

首先要將其化為最簡二次根式。

解：(1)v-V175=-y/25x7=-5V7；

V16、16V164

2、號(hào)二摩二乒

3V43V43V43

.?.-同,-)3與二星是同類二次根式

V163V4

分母有理化：

例4：把下列各式的分母有理化：

(1)1區(qū)?(2)..----

分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式

相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，

如應(yīng)與血，石+6與石均為有理化因式。

解:

⑴底牌

石二峽房塔J屈+屈

(2)

2V3-A/2-(2V3-V2)(2V3+V2)-10

求值：例5：計(jì)算:

分析；迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須

掌握，要特別注意運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到

正確的運(yùn)算結(jié)果。

3

解:(1)原式=(3V2-2V2+V3-V2)*耳

=73-73

=3

(2)原式;廂/華卷I而+在壯

(V2-V3)V6

=J15x—^―=,3而砥一五)

711分一(1+@(6-右)

=3V30-6V5

化簡：

例6：化簡：

（1）-T￡――（=+，++4/7）

8—2雙'

分析：應(yīng)注意（1）式a>0,/?>0,（2）々>0,所以。=（七），〃=（茄），

。一劭可看作（右丫一4（妍丫可利用乘法公式來進(jìn)行化簡，使運(yùn)算變得簡單。

解：(D原式二^------廣八「——右+2新

4a-14b')

=(&+2y/b)-i-(y/~a+2A/^)

_I_4a-14b

y[a+2yl~ba-4h

例7：化簡練習(xí)：

(l)J_sb(s>o)

(2)|V6-2|-7(V6-3)2

解：(1)v-st3>0

:.st3<0,而s>0

/.z3<0,即TO

原式=\1-st?r2=\t\4-st=-rV^5/(vr<0)

(2)?/2<V6<3

z.V6-2>0,而遙-3<0

原式二怖-2卜微-曰

=V6-2-卜—3)]

=76-2+76-3=276-5

化簡求值：

例8：已知：a="+亞,b=―—也求：4力'+/。的值。

22

分析：如果把小b的值直接代入計(jì)算/，/的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊

徑，考慮到百+后與百-血互為有理化因子可計(jì)算。+4a?b,然后將求值

式子化為。+/?與。?8的形式。

解：°+b=6+五+6-叵=也,〃?屋正也V3-V21

22~2-4

ab3a3b=ab(b2+a2)

刈［(a+Z?)2-

將〃+/?與。?。的值彳弋入,

小結(jié)：顯然上面的解法非常簡捷，在運(yùn)算過程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)

算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)

的總結(jié)和積累。

例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

2/一4；【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+行)(x-

V2)..X—2%—3.

【提示】先將丁看成整體，利用x-\rpx-\-q=(x+a)(x+〃)其中h=p,

分解.再用平方差公式分解三一3.【答案】(/+1)(葉百)1—6).

例10、綜合應(yīng)用：

如圖所示的Rt