高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：余弦定理

第二講余弦定理

【知識要點】

a=l）+c-2bccosA,

2bc

證明過程如下：

證明：如圖A45C中,

CH=Z?sinA,AH=bcosA,BH=c-bcosA

b2+c2-a2

cosA=-------------

a2=CH2+BH2=b2sin2A+(c-bcosA)22bc

222

22na+c-b

=b+c-2&ccosAcosB=--------------

2ac

當(dāng)A、B是鈍角時，類似可證。正弦、余弦定理可用向量方22_2

法證明。cosC=------一

2.余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.a

c2=a2+b2-2abcosC.

b2=a2+c2-2accosB.若用三邊表示角，余弦定理可以寫為

3.余弦定理應(yīng)用范圍：

（1）已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求

出第三邊.

4="+"o/是直角=AABC是直角三角形

4.三角形ABC中緒>"+/o/是鈍角oAABC是鈍角三角形

a2<b2+c2o力是銳角"AABC是銳角三角形

【典型例題】

例1、設(shè)AA5C中，3/+3。2—3。2=4回0.求5111人的值.

例2、在aABC中，BC=a,AC=b,且°,〃是方程/—2省x+2=0的兩根，2cos（A+B）=1。

（1）求角C的度數(shù)；（2）求AB的長；（3）求AABC的面積。

例3、在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若片一〃=Ac,sinC=26sinB,

則A=

A.30°B.60°C.120°D.150°()

例4、已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=l,b=6，A+C=2B,

則sinC=.

例5、如圖，在AABC中，AC=2,BC=1,cosC=-.(1)求A3的值；(2)求sin(2A+C)

的值.

解

【課堂練習(xí)】

1.在△48。中，已知a=l,b=2,C=Q0°,則c等于

A./B.3C.y[5D.5

2.在△46。中，a=7,b=4c=y[13,則△力歐的最小角為

JIJIJIJI

3.在△力歐中，已知a=2,則8cosC+ccos夕等于

A.1B，A/2C.2D.4

4.在△/歐中，已知Z?2=ac且c=2a,貝！Jcos6等于（）

13A/2A/2

A.aB.-C.yD.拳

A「—b

5.在△加。中，sin2-=^—（a,b,c分別為角4B,。的對應(yīng)邊），則△相。的形狀為（）

2Lc

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

6.在中，已知面積1）,則角。的度數(shù)為（）

A.135°B.45°C.60°D.120°

8.已知a、b、c為△力歐的三邊長，若滿足（a+5—c）（a+b+c）=ab,則NC的大小為（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

9.在△4?。中，若2cos8sin4=sinC,則△4?。的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

10.在△48。中，已知sin/：sin6：sin。=3：5：7,則這個三角形的最小外角為

（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

11.△居「的三邊分別為a,b,c且滿足^=ac,26=a+c,則此三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

12.在△48。中，角4B,。所對的邊長分別為a,b,c,若。=120°,c=y[ia,則（）

A.a>bB.a(b

C.a=bD.a與力的大小關(guān)系不能確定

13.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

二、填空題

14.在△48。中，若甘一匕一=be,IJIlJA=.

15.△A56'中，已知a=2,3=4,C=QO°,則4=.

16.三角形三邊長為a,b,^a+ab+0（力0,力0）,則最大角為.

17.在中，BC=LB=q,當(dāng)△/氏7的面積等于時，tanC=.

o

三、解答題

19.在△/歐中，已知力=7,AC=8,AB=9,試求/。邊上的中線長.

20.在△力式'中，BC=a,AC=b,且a,6是方程Y—2m萬+2=0的兩根，2cosc4+而=1.

⑴求角。的度數(shù)；⑵求”的長；⑶求△力理的面積.

【課后作業(yè)】

1.在中，已知6=4,c=2,Z24=120°,則a等于（）

A.2^21B.6

C.2收或6D.2^15+673

2.在△4?。中，已知三邊a、b、c滿足（a+6+c）（a+6c）=3a4則NC等于（）

A.15°B.30°

C.45°D.60°

3.已知在△/回中，sin/：sin6：sinC=3：5：7,那么這個三角形的最大角是（）

A.135°B.90°

C.120°D.150°

4.已知4B、。是△/回的三個內(nèi)角，則在下列各結(jié)論中，不正確的為（）

A.sin2J=sin22?+sin26'+2sinfein6cos（8+0

B.sin2^=sin2T4+sin2（7+2sinJsin6cos（4+0

C.sin2C'=sinM+sin25-2sinJsin^'cos6'

D.sin2=sin2月+sinW2sin8sin6bos（4+而

5、在AABC中，bcosA=acosB,則三角形為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

二、填空題

1.已知△力比'中，A=60°,最大邊和最小邊是方程系-9x+8=0的兩個正實數(shù)根，那么邊

長是.

2.在△/歐中，已知a=7,b=8,cosC=,則最大角的余弦值是

3.在中，若"=6，AC=5,且cosC=,則成=.

4.已知△/回的面積為R5,BC=5,A=60°,則△力■的周長是.

5.在△力笈中，A=60°