高中數(shù)學人教B版《函數(shù)的單調(diào)性》青年教師參賽教學設(shè)計

20XX年全國高中數(shù)學青年教師展評課函數(shù)的單調(diào)性教學設(shè)計(新

疆奎屯三中)

一、教學內(nèi)容解析

函數(shù)的單調(diào)性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學符號

語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，

函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都要經(jīng)歷直觀感受、文字描述和嚴格定義三

個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分

析解釋定性結(jié)果的過程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法

依據(jù).

函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角

函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、解決各種問題中都有著廣

泛的應(yīng)用.函數(shù)單調(diào)性概念的建立過程中蘊涵諸多數(shù)學思想方法，對于進一步探索、研究函

數(shù)的其他性質(zhì)有很強的啟發(fā)與示范作用.函數(shù)的單調(diào)性是學習不等式、極限、導數(shù)等其它數(shù)

學知識的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學問題的常用工具，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)

合思想的重要素材.

二、教學目標

按照教學大綱的要求，根據(jù)教材和學情，確定如下教學目標：

1.從實際問題出發(fā)，使學生通過觀察、思考，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性.通過探究，討論

函數(shù)圖像的變化趨勢與y值隨自變量x的變化情況之間的關(guān)系.讓學生體驗“任意”二字的

含義，將圖形語言與自然語言建立聯(lián)系.在此過程中培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論

證的良好思維習慣.

2.從具體的二次函數(shù)y在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)入手，通過學生對“y值隨x的

增大而增大”的逐層深入認識，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言，教師再加以合理引導，順

利突破本課第一個難點。使學生從形與數(shù)兩方面理解增、減函數(shù)的概念，掌握運用函數(shù)圖像

和單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.在此，讓學生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，經(jīng)歷

從具體到抽象，從特殊到一般,從感性到理性的認知過程.

3.通過對增、減函數(shù)概念的深入挖掘，初步掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟，培養(yǎng)學

生歸納、概括、抽象的能力和語言表達能力，提高學生的推理論證能力.

三、學生學情分析

學生在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上對函數(shù)的增減性有一個初

步的感性認識，已具備了一定的觀察事物能力和抽象思維能力，但對于感性思維向理性思維

的過渡仍有一定的障礙，對于自然語言向符號語言的轉(zhuǎn)化，學生會覺得比較困難.另外，單

調(diào)性的證明是學生在函數(shù)學習中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證

能力是比較薄弱的.

四、重、難點分析

重點：增、減函數(shù)概念的形成及單調(diào)性的初步應(yīng)用.

難點：增、減函數(shù)的概念形成以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

五、教學策略分析

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)新課改的教學理念，結(jié)合本節(jié)課的教學內(nèi)容和學

生的認知水平，主要采用讓學生自主探究、獨立思考、合作交流、探究成果展示及教師啟發(fā)

引導的教學方式進行教學.同時使用多媒體輔助教學，增強直觀性，提高教學效果和教學質(zhì)

量.

在學生的學法上我重視讓學生利用圖形直觀啟迪思維，完成從感性認識到理性思維的

質(zhì)的飛躍.讓學生從問題中質(zhì)疑、嘗試、歸納、總結(jié)、運用，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題

和分析解決問題的能力.

六、教學過程

(-)創(chuàng)設(shè)情境

引例

某品牌電熱水壺，燒開一壺水需要6分鐘，水開后自動斷電，50分鐘后冷卻至室溫.

(1)你能描述一下，水溫隨時間的變化時如何變化的嗎？

(2)你能用圖像表示出這種變化關(guān)系嗎？

(3)你能將“圖像的變化趨勢”與“水溫隨著時間的增加而變化”相結(jié)合起來嗎？

這是一個實際問題，在描述上述變化關(guān)系時，把定義域分成了兩個區(qū)間去研究.函數(shù)圖

像上升、下降的趨勢反應(yīng)的是函數(shù)的一個基本性質(zhì)-----函數(shù)的單調(diào)性.

(通過樸素的實際問題，讓學生把增、減函數(shù)的圖形語言與自然語言對應(yīng)起來，同時

為理解函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)打下伏筆.)

(-)自主探究

1.個人獨立完成或?qū)W習小組合作完成.

任意寫出一個函數(shù)的解析式及定義域，畫出草圖，任意列出一些自變量和相應(yīng)的函數(shù)

值，將“圖像的上升、下降趨勢”與“y值隨x的變化”結(jié)合起來.

2.展示探究成果.

探究成果預設(shè)：

y=2x(xeR)y=—{x|x^O)

X<0

Xy

-3-4

-2-3

-1-2

0-1

10

21

32

-5-0.2

-4-0.25

-3-0.33

y=2x(x￡R),在(一oo,+8)上，y值隨x的增大而增大，圖像

-2-0.5

是上升的.

-1-1

y=—當xe(-8,0)時，y值隨x的增大而

-0.5-2

減小，圖像是下降的；當xe(0,+oo)時，y值也隨x的增大

而減小，圖像也是下降的.

教師追問：能不能說y的圖像在整個定義域上是下降的？

X

能不能說整個定義域上y值隨x的增大而減??？

3.教師用兒何畫板演示二次函數(shù)y=/的函數(shù)值y隨X的變

化血受化的也程，開仕總選取目義里給出相反日勺y值，讓學生冉次感

受圖像上升與y隨x的增大而增大相對應(yīng)；圖像下降與y隨x的增大而減小相對應(yīng).

(三)抽象出增、減函數(shù)的定義

1.問題引導：究竟如何理解“y隨x的增大而增大”呢？

學生探討，得出“y隨x的增大而增大”可以用符號語言表示為“當當時，都有

/(王)</區(qū))”■

函數(shù)y=Y,在xe(0,+8)上滿足，當再<*2時，/(%,)</(x2),則y=x?在

(0,+8)上是增函數(shù).

2.一般的，對于函數(shù)y=/(x),在定義域的某個區(qū)間(a,b)上，如何說明它是增函數(shù)

呢？

讓學生歸納出增函數(shù)的定義：

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,

如果對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量項，/，當王時，都有

/(%,)</(%2).那么就說/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

用圖像刻畫增函數(shù).

3.對比增函數(shù)的定義，由學生歸納出減函數(shù)的定義.

一般地，設(shè)函數(shù)y=.f(x)的定義域為/,

如果對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量再，々，當當<%2時，都有

/(%,)>f(x2),那么就說y=/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

用圖像刻畫減函數(shù)。

4、函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/(x)在這

一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

5.比較增函數(shù)、減函數(shù)的定義.

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對于區(qū)間D上的任意兩個自變量再，七，沒有例外.

6、深化增、減函數(shù)的概念。

讓學生找到增(減)函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞有哪些.

7、概念辨析

問題(1):函數(shù)y=/(x)在定義域的區(qū)間3")上有無數(shù)個自變量，/(x)的值隨自變

量x的增大而增大.能不能說明y=/(x)在區(qū)間(a,切上是增函數(shù)？

問題(2):函數(shù)y=/(x)在定義域的區(qū)間(a,/?)上有兩個自變量陽，％2,當再*；/時,

有/(項)</U2)，能不能說明y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)？

(四)例題講解

例1.課本P2s如圖，是定義在閉區(qū)間-5,5］上的函數(shù)y=/(x)的圖象，根據(jù)圖象說

出y=/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=/(x)是增函數(shù)還減函數(shù).

一5-2135

類型：根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.

練習1:根據(jù)下列函數(shù)的圖像，指出其單調(diào)區(qū)間.

兩個單調(diào)遞增區(qū)間能并在一起嗎？比較以下三個函數(shù)。

例2.課本P”物理學中的玻意爾定律p=K(k正為常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣

V

體，當體積V減小時，壓強p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。

類型：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

說明：這兩道例題介紹了

(1)判斷函數(shù)單調(diào)性的兩種方法：根據(jù)圖像觀察，根據(jù)定義證明；

(2)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①取值，并規(guī)定大??；

②作差/(芭)一/(々)，并判斷差值的正負；

③下結(jié)論.

2

練習2：證明函數(shù)/(幻=一+1在(―8,0)上是減函數(shù)。

X

證明：設(shè)七，》2是(一°°，°)上的任意兩個實數(shù)，且項<%2，

則/(匹+)

X[x2X]x2xxx2

由Xi,乙e(-8,0),得x/2>0,又為<%2，x2-X1>0

于是/(%))-f(x2)>0,即/(X])>f(x2)

2

所以，函數(shù)/(幻=一+1在(―8,0)上是減函數(shù)。

X

思考：對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量2，％2,當王<%2時，以下條

件能判斷y=/(x)的單調(diào)性嗎？

①(X,-x2)[/(%,)-f(x2)]>0；

②(玉一x2)[/(%))-f(x2)]>0;

③------1——-——>0

/Ui)-f(x2)

④

（五）本課小結(jié)

學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共

同完成小結(jié).

①概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

②證明方法和步驟：取值并規(guī)定大小、作差并判斷差值的正負、下結(jié)論.

③數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等.

（六）作業(yè)布置

1.習題L3第1,2題。

2.歸納以下函數(shù)的單調(diào)性。

y=kx+b(k*。);

y=ax1+bx+c,

1

y=_.

X

3.預習作業(yè)：

你知道二次函數(shù)的最值嗎？最值的含義是什么？

你知道什么樣的函數(shù)存在最值嗎？

（七）板書設(shè)計

課后反思：

i.給出生活實例和函數(shù)單調(diào)性的圖形語言，調(diào)動學生的參與意識，通過直觀圖形得出

結(jié)論，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。問題是數(shù)學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生

興趣的開始。這里，通過問題，引發(fā)學生的進一步學習的好奇心。

2.從具體的二次函數(shù)到一般函數(shù)，使學生把定義與直觀圖象結(jié)合起來，加深對概念的

理解，得出函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學語言。教師再用圖像說明，分析定義，提問等辦法，滲透數(shù)形

結(jié)合分析問題的數(shù)學思想方法。

3.通過安排基本練習題，使學生在完成必修教材基本學習任務(wù)的同時，拓展自主發(fā)展

的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜

悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發(fā)展、合作探究的學習

氛圍的形成。

4.讓學生體驗數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程應(yīng)該成為這節(jié)課的一個重要教學目標。函數(shù)的

單調(diào)性的定義是對函數(shù)圖象特征的一種數(shù)學描述，它經(jīng)歷了由圖象直觀感知到自然語言描

述，再到數(shù)學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數(shù)學的理性精神，是一個很有

價值的數(shù)學教育載體。

函數(shù)的單調(diào)性--課堂練習單

探究：

任意寫出一個具體函數(shù)的解析式.

(1)畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢.

(2)用列表法列出一些自變量x的值，并計算出相應(yīng)的y值，觀察x增大時,y值如何變化.

(3)你能不能將x增大時y值的變化情況與圖像的特征結(jié)合起來？

Xy

Xy

概念辨析：

問題(1):函