高中數(shù)學(xué)：用函數(shù)單調(diào)性解數(shù)學(xué)題

高中數(shù)學(xué)：用函數(shù)單調(diào)性解數(shù)學(xué)題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性又是函數(shù)的重要

性質(zhì)。在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，

構(gòu)造出一個(gè)適當(dāng)?shù)膯握{(diào)函數(shù)，往往能化難為易，化繁為簡(jiǎn)。

下面舉例說(shuō)明。

求代數(shù)式的值

例1.已知5+2才+/+2x+2y=0,求&+?附的值。

解：已知條件可化為S+2?+(x+2y)=(-X)5+(-%)

設(shè)〃x)=N+x,則/(x+2y)=〃—x)

而/⑶=N+x在R上是增函數(shù)

則有x+29=-x,即x+y=O

所以(x+y嚴(yán)7=0

小結(jié)：本題關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為(X+24+5+2?=(-X)'+(-x),

再構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)/⑶=9+盯利用單調(diào)性求解。

二.解方程

例2.解方程4，+尸=后

解：易見(jiàn)X=2是方程的一個(gè)解

原方程可化為(二芯)d夜)=1

=e(0,D)

而（因?yàn)?/p>

g（x）=

在R上是減函數(shù)，同樣在R上是減函數(shù)

這說(shuō)明x>2與x<2的數(shù)都不是方程的解，從而原方程僅有唯一

解x=2。

小結(jié)：解該類(lèi)型題有兩大步驟：首先通過(guò)觀察找出其特解而，

然后等價(jià)轉(zhuǎn)化為〃x）"（a為常數(shù)）的形式，最后根據(jù)“X）的單調(diào)

性得出原方程的解的結(jié)論。

三.求函數(shù)的值域

_cos,x+6cosx+10

例3.求函數(shù)發(fā)一打芯/一（一見(jiàn)的值域。

解：令cosx=￡,則

./d+3+*

因?yàn)镺VxW不，所以-

而外）在Z[T，1]內(nèi)遞增

所以匯⑴

517

又｛1）=5,川）：

而2八,4

517

所以區(qū)’司為所求原函數(shù)的值域。

四.解不等式

例4.解不等式1%5(1+豉)>1限6%

解：設(shè)￡=1陶6二，則x=165,m=4'

原不等式可化為1強(qiáng)(1+的>￡

則1+甲>3，即I引151

設(shè)/⑷=(9+4)

顯然/⑷是R上的減函數(shù)，且1=八1),那么不等式

即/⑷<1

因此有l(wèi)ogsx<l,解得0<x<16

小結(jié)：解不等式其實(shí)質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，正負(fù)值問(wèn)

題。用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)處理此類(lèi)問(wèn)題，不僅可優(yōu)化解題過(guò)程，且

能讓我們迅速獲得解題途徑。

五.證不等式

例5.設(shè)4>0,5>0,o,?>o,求證

222

證明：當(dāng)m,n中至少有一個(gè)為0時(shí)，則有

產(chǎn)+產(chǎn)*_aM+bM.ax+bK

2—2,2,結(jié)論成立。

設(shè)加>0,?>0

因?yàn)閥=/（a>0）在（0，+8）上單調(diào)遞增

所以爐-泊與1-3*必同號(hào)，或同為0（當(dāng)且僅當(dāng)a=8時(shí)）

從而之0

=>aK+x+bK+x>aV+axbK

因此，原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)aS或於=0,或％=0時(shí)取

“二”號(hào)）。

小結(jié)：原不等式等價(jià)于

+bx+x>axbx+aV-bM）（aK-^）>0,這可由幕函數(shù)

丁=犬3>0）在（0,+電上遞增而得到。

六.解恒成立問(wèn)題

1+2、+3%

例6.已知函數(shù)/⑶=愴―3——對(duì)區(qū)間（―］上的一切X值恒

有意義，求a的取值范圍。

1+2"+3%

解：依題意，-3-

對(duì)（田，I上任意x的值恒成立

整理為“>一（3一〔9對(duì)（―’I上任意X的值恒成立。

設(shè)g(x)=一目一?，只需a>ga)mw

而g(x)在(9,1]上是增函數(shù)

貝！Jg(x)1Mx=g(l)=-l

所以a>-1

七.求范圍

例7.給定拋物線(xiàn)C：J=4盯F是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)/

與C相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)法=4盛。若，中，9],求/在y

軸上的截距的變化范圍。

解：設(shè)冏再，為，§(和乃)

7->

由尸8=4&得

今-]=>1(1-%!)(1)

<

.乃=一初(2)

又將=%⑶

乃=%(4)

聯(lián)立(1)(2)(3)(4),解得與=/2

所以8(42②或(4,-271)

所以/的方程為(兄T"=20(x—1)或(4--1)

ri2JT比—2、反

當(dāng)“[4,9]時(shí)，/在y軸的截距為二耿目

令〃')=答，則

口一271早

/'(^)=——5—=02<0

(4T)(4T)

所以〃㈤在[4,9]上是減函數(shù)

.五也二或一32=/

故4N-133^-14

所以直線(xiàn)/在y軸上截距的取值范圍是:

.4,4]u[i（

八.解數(shù)列問(wèn)題

例8.已知數(shù)列｛“是等差數(shù)列，4=1，4+與+.一+%=145。

（1）求數(shù)列N｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列&｝的通項(xiàng)°,且""），Sn是數(shù)列

｛/｝的前n項(xiàng)和，試比較X與1°g""+】的大小，并證明你的結(jié)

論。

解:(1)由4+…+%=145,4=1

有%+等""

得d=3

因止匕&=4+5—1)3=%—2

0、log/l+1)+log/l+J)+…+logJ1+

(2)\47\3w-27

=沖+1)(1+小(+與］

3°g*￡+l=l0ga43+l

(1+C1+與

設(shè)/⑺瘍TT(n為正整數(shù))

白1++

(1+1)1+為綱+1

則s

32

_J27?+54?+36?+8>1

=佃7+5病+27/+4〉

所