高中數(shù)學(xué)教案 曲線和方程

課題：7.5曲俵/。方程（-）曲俵彳。方程

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”

與“方程的曲線”的概念及其關(guān)系，并能作簡(jiǎn)單的判斷與推理

2.在形成概念的過(guò)程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)

合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，以及坐標(biāo)法、待定系數(shù)法等常用的

數(shù)學(xué)方法

3.培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、合情推理、合作交流及獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，

以及主動(dòng)參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神

教學(xué)重點(diǎn)：理解曲線與方程的有關(guān)概念與相互聯(lián)系

教學(xué)難點(diǎn)：定義中規(guī)定兩個(gè)關(guān)系（純粹性和完備性）

授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教材分析：

曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數(shù)”的范疇，它們通過(guò)直角坐標(biāo)系

而聯(lián)系在一起，“曲線和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”

的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).這正

體現(xiàn)了幾何的基本思想，對(duì)解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響.曲線與方程的相互

轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)方法論上的一次飛躍.本節(jié)教材中把曲線看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，蘊(yùn)

涵了用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作

曲線的代數(shù)反映，又包含了對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化的思想方法

由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學(xué)生用解析法研

究幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析

幾何學(xué)習(xí)的入門之徑.求曲線的方程的問(wèn)題，也貫穿了這一章的始終，所以應(yīng)

該認(rèn)識(shí)到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一

根據(jù)大綱要求，本節(jié)內(nèi)容分為3個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，具體的課時(shí)分配是：第

一課時(shí)講解“曲線與方程”與“方程與曲線”的概念及其關(guān)系；第二課時(shí)講解

求曲線方程的一般方法，第三課時(shí)為習(xí)題課，通過(guò)練習(xí)來(lái)總結(jié)、鞏固和深化本

節(jié)知識(shí)，并解決與曲線交點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題?？紤]到本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和靈活性，

可以對(duì)課本例題和練習(xí)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，或進(jìn)行變式訓(xùn)練

針對(duì)第一課時(shí)概念強(qiáng)、思維量大、例題習(xí)題不多的特點(diǎn)，整節(jié)課以啟發(fā)學(xué)

生觀察思考、分析討論為主。當(dāng)學(xué)生觀察例題回答不出“為什么”時(shí)，可以舉

幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)作檢驗(yàn)，這就是“從特殊到一般”的方法；或引導(dǎo)學(xué)生看圖，這

就是“從具體（直觀）到抽象”的方法；或引導(dǎo)學(xué)生回到最簡(jiǎn)單的情形，這就

是以簡(jiǎn)馭繁；或引導(dǎo)學(xué)生看（舉）反例，這就是正反對(duì)比，總之，要使啟發(fā)方

法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

溫故知新，揭示課題

問(wèn)題：(1)求如圖所示的AB的垂直平分線的方程;

(2)畫出方程x+y=O和方程y=Y所表示的曲線

觀察、思考，求得(1)的方程為丁=%，(2)題畫圖如下

講解：

第⑴題是從曲線到方程，曲線C(即AB的垂直平分線)=點(diǎn)的坐標(biāo)

(x,y)=方程f(x,y)=0

第(2)題是從方程到曲線，即方程f(x,y)=0=解(x,y)(即點(diǎn)的坐標(biāo))=＞曲

線C.

教師在此基礎(chǔ)上揭示課題，并提出下面的問(wèn)題讓學(xué)生思考

問(wèn)題：

方程f(x,y)=0的解與曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)具備怎樣的關(guān)系，才叫方程

的曲線，曲線的方程？

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)復(fù)習(xí)以前的知識(shí)來(lái)引入新課，然后提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情

境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和要求

二、講解新課：

1.運(yùn)用反例，揭示內(nèi)涵

由上面得出：“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”和“以方程的解為坐標(biāo)的

點(diǎn)都在曲線上”后，不急于拋物線定義，而是讓學(xué)生判斷辨別

問(wèn)題：

下列方程表示如圖所示的直線C,對(duì)嗎？為什么？

(1)y[x--Jy-0;

(2)x2-y2=0；

(3)|x|-y=O.

上題供學(xué)生思考，口答.方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲線C的方程.

第(1)題中曲線C上的點(diǎn)不全都是方程五—J5=o的解，如點(diǎn)(T,T)

等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；

第⑵題中，盡管“曲線C上的坐標(biāo)都是方程的解”，但以方程/—y2=o

的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線C上，如點(diǎn)(2,-2)等，即不符合“以方程的解為坐

標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；

第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，

“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”.事實(shí)上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲

線應(yīng)該是下圖的三種情況：

上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例子,

又觀察、分析了以上問(wèn)題中所出現(xiàn)的方程和曲線間所建立的不完整的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.討論歸納，得出定義

討論題：在下定義時(shí)，針對(duì)(1)G-6=o中“曲線上有的點(diǎn)的坐標(biāo)

不是方程的解”以及(2)x2-y2=0中“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上”

的情況，對(duì)“曲線的方程應(yīng)作何規(guī)定？

學(xué)生口答，老師順其自然地給出定義.這樣，我們可以對(duì)“曲線的方程”

和“方程的曲線”下這樣的定義：

在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)

數(shù)解建立了如下關(guān)系：

(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(純粹性)

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).(完備性)

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線

設(shè)計(jì)意圖：

上述概念是本課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓學(xué)生自己通過(guò)討論歸納出來(lái)，老師再說(shuō)

清楚這兩大性質(zhì)（純粹性和完備性）的含義，使學(xué)生初步理解這個(gè)概念

3.變換表達(dá)，強(qiáng)化理解

曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C；一個(gè)關(guān)于x,y的二元方程的解

可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因而二元方程的解也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作F

請(qǐng)大家思考：如何用集合C和點(diǎn)集F間的關(guān)系來(lái)表達(dá)“曲線的方程”和“方

程的曲線”定義中的兩個(gè)關(guān)系，進(jìn)而重新表述以上定義

關(guān)系（1）指集合C是點(diǎn)集F的子集，關(guān)系（2）指點(diǎn)集F是點(diǎn)集合C的子集.

這樣根據(jù)集合的性質(zhì)，可以用集合相等的概念來(lái)定義“曲線的方程”與“方程

的曲線”，

⑴CuE

即：一\oC=F

(2)FeC

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)集合的表述，使學(xué)生對(duì)曲線和方程的關(guān)系的理解得到加深和強(qiáng)化，在

記憶中上也趨于簡(jiǎn)化.

三、講解范例：

例1解答下列問(wèn)題，且說(shuō)出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的

哪一個(gè)關(guān)系？

6點(diǎn)根（3,-4）,加2（-2遙,2）是否在方程為/+3；2=25的圓上?

⑵已知方程為/+；/=差的圓過(guò)點(diǎn)％（J7,附，求m的值.

學(xué)生練習(xí)，口答；教師糾錯(cuò)、小結(jié)

依據(jù)關(guān)系（1）,可知點(diǎn)在圓上，“2不在圓上.

依據(jù)關(guān)系（2）,求得加=±3五

例2證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是V+y2=25.

由學(xué)生自己閱讀課本解答，教師適時(shí)插話，強(qiáng)調(diào)證明要緊扣定義，分兩步

進(jìn)行.

給出推論，升華定義：

（1）兩曲線G：/（北歷=0,。2：△（乂）'）=0的交點(diǎn)的坐標(biāo)必為方程組

fi(x,y)=o

的實(shí)根

f2(x,y)=0

(2)兩曲線G：y=/(x)，C2：y=o(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必為方程

/(%)=0(x)的實(shí)根

四、課堂練習(xí)：

1.如果曲線。上的點(diǎn)滿足方程/(x,y)=o,則以下說(shuō)法正確的是()

A.曲線。的方程是八不力=0

B.方程尸(*,y)=0的曲線是C

C.坐標(biāo)滿足方程以％。=0的點(diǎn)在曲線C上

D.坐標(biāo)不滿足方程尸(x,舊=0的點(diǎn)不在曲線C上

分析：判定曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須注意兩點(diǎn)：(1)曲線上的點(diǎn)的坐

標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說(shuō)“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；(2)以這個(gè)方

程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說(shuō)“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有

點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說(shuō)曲線的方程，方程和曲線

解：由已知條件，只能說(shuō)具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D

2.判斷下列結(jié)論的正誤，并說(shuō)明理由.

(1)過(guò)點(diǎn)1(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為產(chǎn)0;

(2)到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為六-2;

(3)到兩坐標(biāo)軸的距離乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為x片1;

的頂點(diǎn)4(0,-3),B(1,0),C(-1,0),〃為%中點(diǎn)，則中

線/。的方程為尸0

分析：判斷所給問(wèn)題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義，

即考查曲線上的點(diǎn)的純粹性和完備性.

解：(1)滿足曲線方程的定義.??.結(jié)論正確

(2)因到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程還有一個(gè)；尸2,即不具備完備性.

結(jié)論錯(cuò)誤.

(3)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程應(yīng)為1x1-Iy|=1,

即x尸土1.

...所給問(wèn)題不具備完備性

???結(jié)論錯(cuò)誤

(4)中線是一條線段，而不是直線，

，產(chǎn)0(-3WK0),

二所給問(wèn)題不具備純粹性.

結(jié)論錯(cuò)誤.

3.方程(3A-4J^12)?[7og2(AH-2y)-3]=0的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,-3)、B(0,

57

4C(—,---)、D(4,0)中的()

34

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

分析：方程表示的兩條直線3『4『12=0和戶2廠9=0,但應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真

數(shù)大于0,

戶2了>0

解：由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,得戶2y>0.

.?"(0,-3)、C(己5,——7)不合要求

34

將8(0,4)代入方程檢驗(yàn)，不合要求.

將〃(4,0)代入方程檢驗(yàn)，合乎要求.

故選B.

4.已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,V5)>C(4,-----),D(3sec夕，V5tan

3

，)，其中在曲線5--9>2=45上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

分析：由曲線上的點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，若滿

足這個(gè)方程，說(shuō)明這是這個(gè)方程的解，這個(gè)點(diǎn)就在該方程表示的曲線上.

解：將點(diǎn)A(-3,0)、B(0,右)、C(4,-----)、D(3sec0,垂)tan

3

代入方程5/一9;/=455X2-9J2=45檢驗(yàn)，只有點(diǎn)力和點(diǎn)6滿足方程.

故選B.

5.如果兩條曲線的方程￡(x,y)=0和y)=0,它們的交點(diǎn)材(瞼%),求

證：方程A(x,y)+A4(x,力=0表示的曲線也經(jīng)過(guò)"點(diǎn).(人為任意常數(shù))

分析：只要將"點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程.

￡。+入K(x,0=0,看點(diǎn)"的坐標(biāo)是否滿足方程即可

證明：..,〃(■%,外)是曲線￡(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點(diǎn)，

Fi(xo,ya)=0,Fi(劉,㈤=0.

Pi(xo,㈤+)U,%)=0(XGR)

MAO,%)在方程E(X,y)+AK(x,y)=0所表示的曲線上.

評(píng)述：方程F\{x,y)+\Fi(x,y)=0也稱為過(guò)曲線R(x,y)=0和E人x,y)=0的

交點(diǎn)的曲線系方程

五、小結(jié)：“曲線的方程”、“方程的曲