高中數(shù)學 必修2 教案4 .2 .3 直線與圓的方程的應(yīng)用

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

(-)教學目標一

1.知識與技能.

(1)理解掌握，直線與圓的方程在實際生活中的應(yīng)用］

(2)會用"數(shù)形結(jié)合"的數(shù)學思想解決問題.一

2.過程與方法.

用坐標法解決幾何問題的步驟：_

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾

何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；.

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；.

第三步：將代數(shù)運算結(jié)果"翻譯"成幾何結(jié)論、

3.情態(tài)與價值觀一

讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學生分析問題與解決問

題的能力.一

(二)教學重點、難點.

重點與難點：直線與圓的方程的應(yīng)用.

教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

你能說出兩點間的距離公學生思考后作答一

啟發(fā)

式直線方程的四種形式及圓的

教師再引入課題.并引導(dǎo)學

方程的兩種形式嗎？

復(fù)習引入生回顧，

現(xiàn)在我們通過幾個例子說明

從而引入

直線與圓的方程在實際生活以及

新課.

平面幾何中的應(yīng)用.

3.閱讀并思考教科書上的師：指導(dǎo)學生觀察教科書上的

例4,你將選擇什么方法解決圖形特征，利用平面坐標系求解

例4的問題？_

生：自學例4,并完成練習題

例4圖是某圓拱形橋一1、2..

孔圓拱的

師：分析例4并展示解題過指導(dǎo)

示意圖.A&&。冬人?

程，啟發(fā)學生利用坐標法求，注意學生從直

這個圓的圓拱跨度AB=

給學生留有總結(jié)思考的時間.觀認識過

，拱高，建造時

應(yīng)用舉例20mOP=4m

渡到數(shù)學

每間隔4m需要用一根支柱支

思想方法

撐，求支柱M的高度（精確

的選擇.

至!]0.01m）.

解

析:建P

立圖所"從小44Bx

示的直角坐標系，￡更圓心在y

軸上.設(shè)圓心的坐標7S（o,b）,

圓的半徑是(那么圓的方程是

*+儼一6)2=fi.

下面確定b和「的值.一

因為P、B都在圓上，所

以它們的坐標(0,4),(10,0)

都滿足方程*+儼-4)2=足

于是，得到方程組.

Jo2+(4-b)2=r,

[102+(0-/>)2=r2

解得一

b=-10.5,戶=14.52-

所以，圓的方程是一

樂+(y+10.5)2=14.52.

把點外的橫坐標x=-2

代入圓的方程，得.

(-2)2+0+10.5)2=

14.52,_

22

取y+10.5=714.5-(-2){P2

的縱坐標y>0平方根取正值).

所以一

y=J1452-(-2>-10.5

al4.36-10.5

=3.86(m)

4.你能分析一下確定一個教師引導(dǎo)學生分析圓的方程使學

圓的方程的要點嗎？中，若橫坐標確定，如何求出縱坐生加深對

標的值.圓的方程

的認識.

5.你能利用"坐標法"解師：引導(dǎo)學生建立適當?shù)钠矫骒柟?/p>

決例5嗎？直角坐標系，用坐標和方程表示相"坐標

應(yīng)的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)法"，培養(yǎng)

例5已知內(nèi)接于圓的四

化為代數(shù)問題.一學生分析

邊形的對角線互相垂直，求證

問題與解

圓心到一生：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?/p>

決問題的

等邊的距于離這條,探求解決問題的方法.

能力.一

證明：如圖，以四邊形ABCD

邊所對邊長的一半.

互直垂直的對角線CA所在直

線分別為x軸，y軸，建立直角坐

標系.設(shè)4a,0),鳳0,b),qc,

0),以0,d].

過四邊形ABCD外接圓的圓

心。分別作/CBD、力。的垂線，

垂足分別為MN、￡分別是線段

AQBD、力。的中點.由線段的中

點坐標公式，得一

a+c

“f=—^-

b+d

%，-JN-2

ad

所以一

I。⑻噌+*+§+宗夕

=-\lb2+c2

2

又18cl=揚+°2

所以|O'E|=J|8C|.

6.完成教科書第140頁教師指導(dǎo)學生閱讀教材，并解

使學

的練習題2、3、4.決課本第140頁的練習題2.3,4,

生熟悉平

教師要注意引導(dǎo)學生思考平面幾

面幾何問

練習2趙州橋的跨度是

何問題與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的依

題與代數(shù)

據(jù).一

問題的轉(zhuǎn)

化，加深

練習2解：建)■.

37.4m,圓拱高約為7.2m.求立如圖所示的直角(1V"坐標

7

這座圓拱橋的拱圓的方程.一坐標系.Q"=T"法”的解

練習3某圓拱橋的水面7.2m,\A^=37.4m.即有題步驟.

跨度20m拱高4m.現(xiàn)有T臺，

4-18.7,0),6(18.7,0),

寬10m,水面以上高3m,這

C(0,7.2)

條船能否從橋下通過？_

設(shè)所求圓的方程是(x-a)2+

練習4等邊中，點

(y-Z?)2=戶.

D、￡分別在邊BC、ACh,

且|BD|=1|BC|,\CE\=于是有一

1AA

3+18.7)2+從=產(chǎn),

■5-18.7)2+-=<2,

相交于點P.a2+S-7.2>=，

求證API.CP.

解此方程組，得

8=0,b=-20.7,r=27.9.

所以這這圓拱橋的拱圓的方

程是

京+(y+20.7)2=27.92(0<y<

7.2)

練習3?

-------

解：建立如圖Q?！辍?/p>

C

所示的坐標系.

依題意，有

4-10,0),5(10,0),汽0,

4),久~5,0),85,0).

設(shè)所求圓的方程是(x-a)2+

(y-6)2=足于是有

(4+10)2+6=產(chǎn),

■(a-10)2+b2=r2,

a2+3-4)2_/

解此方程組，得

<3=0,b=-10.5,r=14.5.

所以這座圓拱橋的拱圓的方

程是

〃+(y+10.5)2=14.52(0<y<

4).

把點。的橫坐標x=-5代入上式，

得卜=3.1.

由于船在水面以上高3m,3<3.1,

所以該船可以從橋下穿過.

練習4解：以

8為原點，6C邊所

在直線為x軸，線力等圣

段8c長的:為單位長，建立如圖

6

所示的坐標系.則

A(3,G),8(0,0),C(6,0).

由已知，得以2,0),E(5,G).

直線2。的方程為y=3&x-2).

直線展的方程為

y=(x—5)+5/3.

解以上兩方程聯(lián)立成的方程組，得

所以，點。的坐標是(竺二有).

77

直線叱的斜率葭.=-*.

因為kADk,,e=3岳X(-*)=-1,

所以，4U.GR

練習題直角8c的斜學生獨立解反饋

邊為定長6,以斜邊的中點。決練習題，教師AA學生掌握

為圓心作半徑為長定長n的組織學生討論交"坐標

圓，8C的延長線交此圓于P、流.法"解決

Q兩點，求證|/耳2+|/Q2+

問題的情

證明：如圖，以。為原點，

|PQ2為定值

況，鞏固

分別以直線PQ為X軸，建立直角

所學知識.

7.你能說出練習題蘊含了坐標系.

什么思想方法嗎？于是有8(-：,0),C(R0),

22

nn

P(---0),2(-,0)

設(shè)勿，由已知，點/在

圓八2二史上.

4

/尸+夜+P晝

-(X+夕2+y2+(無一,2+y2+〃2

=2x2+2y2+-n2=-+-n2(定值)

.222

8.小結(jié)：師：指導(dǎo)學生完成練習題.

對知

(1)利用“坐標法"解決生：閱讀教科書的例3,并完

識進行歸

問題的需要準備什么工作？成.

納概括，

)如何建立直角坐標教師引導(dǎo)學生自己歸納總結(jié)

(2體會利用

歸納總結(jié)

系，才能易于解決平面幾何問所學過的知識，組織學生討論、交

"坐標

題？流、探究.

法”解決

實際問題

(3)f爾認為學好"坐標法"

的作用.

解決問題的關(guān)鍵是什么？

(4)建立不同的平面直角

坐標系，對解決問題有什么直

接的影響呢？

布置作業(yè)習案4.2第2課學生獨立完成鞏固

課后作業(yè)

時所學知識

備選例題

例1一圓形拱橋，現(xiàn)時的水面寬為22米，拱高為9米，一艘船高7.5米，船頂寬4

米的船，能從橋下通過嗎？

【解析】建立坐標系如圖所示：

Q-11,0),ZXH,0),M0,9)

可求得過CD、例三點的圓的方程是儲+(>+胃)2=(三

CIIJI

故4點坐標是(2，女)，則(y+―)2=(―)2-4

得J4?8.82，(取外>0)

：.yi>7.5,因此船不能從橋下通過.

例2設(shè)半徑為3km的圓形村落,48兩人同時從村落中心出發(fā)，2向東，8向北，

/出村后不久改變前進方向，斜著沿切于村落圓周的方向前進，后來恰好與8